Bài giảng số 1: Các dạng phương trình quy về bậc nhất

[r]

Trang 1

http://edufly.vn Khóa học phương trình hệ phương trình quy về bậc hai

BÀI GIẢNG SỐ 01: CÁC PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ BẬC NHẤT

A.CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Giải và biện luận phương trình dạng ax + b = 0

Phương pháp:

+ Nếu a 0 phương trình có nghiệm duy nhất x b

a

 

+ Nếu a 0và b 0phương trình vô nghiệm

+ Nếu ab 0phương trình nghiệm đúng với  x R

Ví dụ 1:Giải và biện luận các phương trình sau:

a) 2mx 2xm 4 c) 2

(2m 1)x 2 m4x

b) m x( m) x 1 d) 2

( 1) 1 (4 3)

m x    m x

Giải:

a) Ta có: 2mx 2xm 4 2 2  m x m  4 0 (1)

+ Nếu2 2  m 0 m 1 thì phương trình (1) có nghiệm duy nhất 4

m x m





 + Nếu2 2  m 0 m 1 thì phương trình (1) trở thành 0x + 5 = 0 ( vô nghiệm)

Vậy: Với m 1 phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 4

m x m





 Với m 1 phương trình đã cho vô nghiệm

b) Ta có: m x( m) x 1   2

     (1)

+ Nếu m  1 0 m 1 thì (1) có nghiệm duy nhất

2 1

1 1

m



Trang 2

+ Nếu m  1 0 m 1 thì (1) trở thành 0x + 0 = 0 (luôn đúng) (1) nghiệm đúng với

x R

 

Vậy: Với m 1 thì pt đã cho có nghiệm duy nhất x   1 m

Với m = 1 thì pt đã cho nghiệm đúng với  x R

c) Ta có: 2

(2m 1)x 2 m4x  2 

2m 3 x m 2 0 (1)

Vì 2

m x m





 d) Ta có 2

( 1) 1 (4 3)

3

m

 



      



thì (1) có nghiệm duy nhât

2 2

x

3

m

 



      



- Với m  1 Khi đó (1)0x 0 0( luôn đúng) (1) nghiệm đúng với  x R

- Với m  3 Khi đó (1)  0x  8 0( vô lý) (1) vô nghiệm

Vậy: Với 1

3

m m

 





 



thì (1) có nghiệm duy nhất 1

3

m x m





 Với m  1 thì (1) nghiệm đúng với  x R

Với m  3thì (1) vô nghiệm

Dạng 2: Điều kiện để nghiệm phương trình bậc nhất thỏa mãn điều kiện cho trước

Phương pháp:

Cho phương trình f(x, m) = 0 (1) Giả sử điều kiện cho ẩn số (nếu có) là D

Biến đổi (1) về dạng ax = - b (2) Khi đó:

Trang 3

1) Phương trình (1) vô nghiệm

0, 0 0

a b D a











 

 







2) Phương trình (1) có nghiệm

0 0

a b D a

 











 

 







3) Phương trình (1) có nghiệm duy nhất

0

a b D a















Ví dụ 2:

a) Tìm m để phương trình  2 

4m 2 x 1 2mx vô nghiệm

b) Tìm m để phương trình xmx 1 0 có nghiệm duy nhất

c) Tìm m để phương trình m 1x  5 m 1xm có nghiệm thỏa mãn   3 x 3.

Giải:

a) Ta có:  2 

4m 2 x 1 2mx  2 

4m 1 x 2m 1

    (1)

Để pt vô nghiệm (1) vô nghiệm thì

2

1

2

m m

m



 





 



Vậy với 1

2

m  thì pt đã cho vô nghiệm

b) Ta có: xmx 1 0

1

x





  



Trang 4

Để phương trình có nghiệm duy nhất thì m = 1

c) Ta có: m 1x  5 m 1xm

5 2

m x

   

 

Để pt có nghiệm thỏa mãn   3 x 3. thì

5

2

m

 

Dạng 3: Giải và biện luận phương trình quy về bậc nhất

a)Phương trình dạng phân thức

Ví dụ 3: Giải và biện luận các phương trình sau:



  b)  1 2

0 3

;





Giải:

a) Đk: x  1



  (1)

(1)  xm x 1  x 3 x 1

+ Nếu 5 m 0 m  5 Khi đó (2)  3

5

m x

m







Nếu

3 1

5

1

1 5

m







 



thì 3

5

m x

m





 là nghiệm

Trang 5

duy nhất của pt (1)

Nếu

3 1

5

1

1 5

m

m m

m







 



( thỏa mãn m  5) thì pt (1) vô nghiệm

+ Nếu 5 m 0 m  5 Khi đó (2) trở thành 0x  8(vô lý)

Vậy : Với 5

1

m m

 





 



thì pt(1) có nghiệm duy nhất 3

5

m x

m







Với 1

5

m

 



  



thì pt (1) vô nghiệm

b) Đk: x 3m

Ta có  1 2

0 3



 (1)

 1 2 0

1

2 0 (2)

x

mx

 





Ta đi giải và biện luận (2)

+ Nếu m 0. Khi đó (2) x 2

m



+ Nếu m 0 Khi đó (2)0x 2 0( vô nghiệm)

Vậy với m 0.pt (1) có 2 nghiệm x 1,x 2

m



  

Với m 0 pt (1) có nghiệm duy nhất x = - 1

b)Phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

Ví dụ 4: Giải và biện luận các phương trình sau:

Trang 6

a) 3xm  2x 2m b) 2

1

x m  m x

Giải:

a) Ta có: 3xm  2x 2m

3

5

m

 







5

m

          thì phương trình có nghiệm duy nhất x =

0

5

m

    thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt x = -3m,

5

m

x 

b) Ta có: 2

1

2 2

1



Giải và biện luận (1)

+ Nếu 2

1m 0m 1.Khi đó (1) có nghiệm duy nhất 12 1

m x

+ Nếu 2

1m 0m 1

Với m 1 (1)0x0(luôn đúng) nên pt (1) nghiệm đúng với  x R

Với m  1 (1)0x 2( vô lý) nên pt vô nghiệm

Giải và biện luận 2:

Vì 2

1m 0nên pt (2) có nghiệm duy nhất 12

1

m x m







Vậy: Với m  1 pt (1) có 2 nghiệm 1

1

x m





1

m x m





 Với m = 1 pt nghiệm đúng với  x R

Trang 7

Với m = -1 pt có nghiệm duy nhất 12

1

m x m







Dạng 4 Tìm điều kiện để phương trình quy về bậc nhất có nghiệm

Ví dụ 5:Tìm m để phương trình sau vô nghiệm

2 2 (1)

Giải:

Cách 1:

Đk: x  1

(1) x m x1  x2 x1 2 x 1

m 2x  4 m (2)

Trường hợp 1: Nếu m 2  0 m  2 Khi đó (2)0x6(vô lý) pt vô nghiệm

Trường hợp 2: Nếu m 2  0 m  2 Khi đó (2) 4

2

m x

m





Do đó (1) vô nghiệm

4

1 2

1 4

1 2

m m

m







 



 

 Vậy với m = - 2 hoặc m = 1 phương trình (1) vô nghiệm

Nhận xét: Trong lời giải trên chúng ta trình bày theo các bước của bài toán giải biện luận, tuy

nhiên cũng có thể trình bày dưới dạng:

Cách 2:

Đk: x  1

Viết lại pt dưới dạng: (m2)x 4 m

Trang 8

Phương trình (1) vô nghiệm

2 0

1 2 4

1 2

m m

m m m

  





 





  

 





     





  

 



   

  



Tuy nhiên cách trình bày này có thể khiến 1 số em thấy phức tạp Do vậy, nếu bài toán yêu cầu” Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm ( hoặc vô nghiệm) thì tốt nhất các em làm theo cách 1

Ví dụ 6: Tìm m để phương sau có nghiệm:

3 2 2 2 1 (1)

x

Giải:

Đk: x > 2

(1)3xm  x 2 2x2m1

2

m

x



Để phương trình có nghiệm thì 3 1 2 3 1 4 3 3 1

2

m

Vậy với m 1 phương trình (1) có nghiệm

B.BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải và biện luận các phương trình sau:

a)  2 

m  x m x c) m x m 3m x  2 6

b) m x mxm 2 d) 2   

m x mx m

Trang 9

ĐS: a) 2 2 3,

1

m



 b) Nếu m 1 pt nghiệm đúng với x

Nếu m 1 pt có nghiệm duy nhất xm 2

c) Nếu 2

3

m m











pt vô nghiệm

Nếu 2

3

m





 



pt nghiệm đúng với x

d)Nếu 1

2

m











pt có nghiệm

2

m x m



 Nếu m 1, pt nghiệm đúng với x

Nếu m 2, pt vô nghiệm

Bài 2:

a) Tìm m để phương trình 1



  vô nghiệm

b) Tìm m để phương trình    



có nghiệm

ĐS: a) m = 0, m = 1, m = 3 b) 1 < m < 9

Bài 3:

a) Tìm a và b để phương trình a x  2b2x 1x 1 có nghiệm   x

b) Tìm m để phương trình 2mx  1 xm vô số nghiệm

c) Tìm m để phương trình sau có nghiệm

ĐS: a) 3, 1

a b b) không tồn tại m

Bài 4: Giải và biện luận các phương trình sau:

a)

2

0

x m



 b)

2

1

   c)



Trang 10

ĐS: a) Nếu m = 1 hoặc m = 2 thì pt có 1 nghiệm

Nếu 1

2

m











thì pt có 2 nghiệm

b) Nếu a b  1 thì phương trình có nghiệm duy nhất 1

1

a b x

a b

 



  Nếu a b  1 thì phương trình vô nghiệm

c) Nếu a = b = 0, pt nghiệm đúng với  x R

Nếu 0

0

a b











, pt nghiệm đúng với x 1

b

 

Nếu 0

0

a b











, pt nghiệm đúng với x 1

a

 

Nếu b  a 0, pt có nghiệm duy nhất x = 0

Nếu a0,b0,a b 0,ab, pt có 2 nghiệm x = 0, x 2

a b





Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	371,2 KB