De dap an HSG toan 10

Tìm tọa độ điểm E là giao điểm của BC với đường phân giác ngoài của góc A 2.. Gọi I là trung điểm của CD, tính AI .BD.[r]

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT PĐP

THI CHỌN LỚP

NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn: Toán – Lớp 10 – THPT

Câu 1 (2,5 điểm)

Cho hàm số yx2 2x  có đồ thị (P) và đường thẳng (d) có phương trình2

y x m 

1.Vẽ đồ thị (P)

2.Tìm m để đường thẳng d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho

2 2 82

Câu 2 (3,5 điểm)

1.Giải và biện luận phương trình: (m+1) (m +2) x 2 x +1 =m+2

2 Giải phương trình 2

3 x2−4 x+1+

13

3 x2+2 x+1=

6

x

3 Giải hệ phương trình

1







Câu 3 (2,0 điểm)

1.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC biết A(1; -2); B(3; -5) và C(2; 2) Tìm tọa độ điểm E là giao điểm của BC với đường phân giác ngoài của góc A

2 Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a; AD = 2a Gọi I là trung điểm của CD, tính  AI BD. Từ đó suy ra góc giữa hai vectơ ⃗AI và ⃗BD

Câu 4 (1,5 điểm)

1.Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu:

sin 2sin sin

2cos os

A

B c C





 2.Cho hai điểm A và B cố định Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn điều kiện:

MA2 + MB2 = k (với k là số thực dương cho trước)

Câu 5 (0,5 điểm)

Giải hệ phương trình:

4

y x xy





 



SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG THPT PĐP

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN LỚP

NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn: Toán – Lớp 10 – THPT

1.1

Nêu đúng txd, đỉnh I(1; 1), trục đối xứng, chiều biến thiên

0.5

0.5

Hoành độ giao điểm của d và (P) là nghiệm phương trình:

Để d cắt (P) tại hai điểm phân biệt A, B  (1) có hai nghiệm phân biệt 

Với điều kiện (*), gọi hai giao điểm là A x x( ;1 1m B x x), ( ;2 2m), trong đó x x là các 1, 2

nghiệm của (1) Theo định lý Viet ta có: x1x2 3,x x1 2 2 m

0,25

Ta có: OA2OB2 82 2  2 2  2

x  x m x  x m 

 2 2   2

       x1 x22 2x x1 2 m x 1 x2m2  41

0,25

9 2(2 m) 3m m 41 m 5m 36 0

4 9

m m





 

 Đối chiếu điều kiện (*) ta được m = 4 là giá trị cần tìm

0,25

2.1

Giải và biện luận phương trình: (m+1) (m+2) x 2 x +1 =m+2 1,5

ĐKXĐ x ≠ −1

2

Ta có: (m + 1)(m +2)x = (m + 2)(2x + 1) ↔ (m + 2)(m - 1)x = m +2

0,5

*Với m = -2 PT có vô số nghiệm ≠ −12

*Với m = 1 PT vô nghiệm

*Với m ≠ -2 và m ≠ 1 thì x= m−11

Nếu m = -1 thì PT vô nghiệm

Nếu m ≠ -1 thì PT có 1 nghiệm x= m−11

0.25 0.25

0.25 0.25

2.2

Giải phương trình 2

3 x2−4 x+1+

13

3 x2+2 x+1=

6

Pt ↔

2

3 x−4 +1

x

+ 13

3 x+2+1

x

=6

Đặt 3x + 1x – 4 = t →2t + 13

t +6=6 Giải được t = 1

2 và t = -4

0,25

Với t = 1

2 có 3x +

1

x – 4 =

1

2 → 6x2 - 11x + 4 = 0 → x=

4

3; x=

1 2 Với t = 4 có 3x + 1x – 4 = 4 → 3x2 + 1 = 0 → PTVN 0,250.25

2.3

Giải hệ phương trình

1





hpt

đặt

a xy x

b xy y





 , ta có hệ:

2 2 3

1

ab







1

a

a





1 1

a

b





 



 hoặc

2 1 2

a b













0,25

với

a xy x

x y

b xy y

với

3

2

2

y x



2

3 2

x x

y x





 



(vô nghiệm)

0,25

3.1 A(1; -2); B(3; -5) và C(2; 2) Tìm tọa độ điểm E là giao điểm của BC với đường

phân giác ngoài của góc A

1.0

AB = 2 √2 ; BC = √10 ; AC = √2

EB

EC=

AB

AC=2 →⃗EB=2⃗ EC

→{ 3−x E=2(2−xE)

−5− yE=2(−2− yE)

0.25 0.25 0.25 0.25

Vậy E(1; 1)

3.2 Cho hỡnh thang vuụng ABCD, đường cao AB = 2a, đỏy lớn BC = 3a; AD = 2a Gọi I

là trung điểm của CD, tớnh  AI BD. Từ đú suy ra gúc giữa hai vectơ ⃗AI và ⃗BD

1.0

4.1

Tam giỏc ABC cú đặc điểm gỡ nếu:

sin 2sin sin

2cos os

A

B c C







1.0

Ta cú: (1)

2

2.

b c

a c b a b c





2

0 2

2

0 2

2

c b

   tam giỏc ABC vuụng tại A

0.25

0.25

0.25 0.25

4.2 Cho hai điểm A và B cố định Tỡm tập hợp điểm M thỏa món:MA2 + MB2 = k

0.5

Gọi E là điểm thỏa món: ⃗ EA+2⃗ EB=⃗0 ta cú:

MA2+MB2 = k ↔(⃗ME +⃗ EA)2+(⃗ME +⃗ EB)2=k ↔ 3 ME2=k−EA2−2 EB2( ¿ )

Mà ⃗ EA+2⃗ EB=⃗0 ⇒ EA=

2

3 AB; EB=

1

3 AB nờn (∗)⇔3 ME

3 AB

2

⇔ ME2= 1

3 ( k − 2

3 AB

2

)

0.25

Nếu k <2

3 AB

2

: Quỹ tích điểm M là rỗng

Nếu k=2

3AB

2

: Quỹ tích điểm M là một điểm E

Nếu k >2

3 AB

2

: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm E, bán kính

R=√1

3(k −2

3AB

2

0.25

Giải hệ phương trình:

4

y x xy





 



0.5

Điều kiện xác định:

;

x y

(2) x y x(4 1) x 4x 1 y 4y 1

thay vào (1) ta được

(2x 3) x (2y 3) y 2 (2x 3)(2y 3)

do

(2x 3) x (2y 3) y 2 (2x 3)(2x 3)

0.25

Suy ra (1)  x x(2  3) y y(2  3)  (x y )(2x 2y 3) 0   x y thay vào (2) ta được

2

x

x x









lo¹i

Vậy hệ phương trình có nghiệm

1 1

;

2 2

0.25

3

(2đ)

Tam giác ABC có đặc điểm gì nếu :

sin 2sin sin

2cos os

A

B c C





 (1)

2.0

Ta có: (1)

2

b c

a c b a b c



1.0

2

0 2

2

c b

   tam giác ABC vuông tại A

0.5

1 1 2,0 điểm

(2 3) 4 1 (2 3) 4 1 2 (2 3)(2 3) (1)

y x xy





 



Điều kiện xác định:

;

x y

(2) x y x(4 1) x 4x 1 y 4y 1

thay vào (1) ta được

0,5

(2x 3) x (2y 3) y 2 (2x 3)(2y 3)

0,5

Do

(2x 3) x (2y 3) y 2 (2x 3)(2x 3)

Suy ra (1)  x x(2  3) y y(2  3)  (x y )(2x 2y 3) 0   xy thay vào (2) ta được

2

x

x x









lo¹i

Vậy hệ phương trình có nghiệm

1 1

;

2 2

0,5

c) Gäi E lµ ®iÓm tho¶ m·n: ⃗ EA+2⃗ EB=⃗0 ta cã:

MA2+2 MB2= k

⇔ ( ⃗ ME+⃗ EA )2+ ( ⃗ ME+⃗ EB )2= k

⇔ 3 ME2= k−EA2−2 EB2 (∗)

MÆt kh¸c tõ ⃗ EA+2⃗ EB=⃗0

⇒ EA= 2

3 AB; EB=

1

3 AB

Nªn

(∗)⇔ 3 ME2= k − 2

3 AB

2

⇔ ME2= 1

3 ( k − 2

3 AB

2

)

NÕu k <2

3 AB

2

: Quü tÝch ®iÓm M lµ rçng

NÕu k=2

3 AB

2

: Quü tÝch ®iÓm M lµ mét ®iÓm E

Nếu k >2

3 AB

2

: Quỹ tích điểm M là đờng tròn tâm E, bán kính

R=√1

3(k−2

3AB

2