Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó.. Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình[r]
Trang 1UBND TỈNH BẮC NINH
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
NĂM HỌC 2015 - 2016
Môn: Toán – Lớp 12
Hoành độ của M và N là nghiệm của pt:
2
1 1
x
x m
x x
- = - + Û íïï
ï ¹
0,5
Vì D = m2 - 2m + 25> 0, "m và x = - 1 không là nghiệm của ( )1 nên ( )1 luôn có hai
nghiệm phân biệt khác - 1, m" Þ ( )d luôn cắt ( )C tại hai điểm phân biệt
0,5
Do các điểm O và A thuộc đường thẳng D : y = - x nên để OA MN là hình bình hành thì
5 2
Gọi M x( ;1 - x1 + m),N x( ;2 - x2 + m) với x x là nghiệm của 1, 2 ( )1 Ta có 1 2
1 2
3
-ï
0
m
m
é = ê
êë
0,5
+ m = 0 thì O A M N, , , thẳng hàng nên không thỏa mãn
+ m = 2 thỏa mãn
Chú ý:
Học sinh sử dụng điều kiện OA = NM
uuur uuuur
vẫn cho tối đa điểm
Nếu không loại trường hợp m = 0 trừ 0,5đ
0,5
PTÛ 2 cos2 cosx x = +1 sin 2x + cos2x Û cos 2 (2 cosx x - 1)= 1+ 2 sinxcosx 0,5
(cos x sin x)(2 cosx 1) (cosx sin )x
(cos sin )(2 cos 1) cos sin (2)
ê
êë
1,0
2
2 4
x
p p p
p
é
÷
¢
Vậy pt có nghiệm là
4
x = - p + k p, , 2 ( )
2
x = p + k p x = k p k Î ¢
0,5
( )
2
2
x y
x ³ - £ y £ - Phương trình ( )1 Û (x - y - 2)(x + 2)+ ( 2x- 1- 2y + 3)= 0
0,5
Trang 2Trường hợp 1:
1 2
3 2
x
y
ìïï = ïïï
ïï = -ïïïî
, không thỏa mãn hệ phương trình
Chú ý:
Nếu không xét trường hợp 2 - 1x + 2y + 3 = 0 thì trừ 0,25đ
Trường hợp 2: 2x - 1+ 2y + 3 ¹ 0
x y
Û x- y - 2= 0 ( Vì ( 2) 2 0,
x
x ³ - £ y £ - )
0,5
Thế vào phương trình ( )2 ta được
4x - 4x - 4 2x - 1+ x - 1 1- x - 3x + 7= 0 3 , ĐK 1;1
2
x é ù
Î ê úë û
Với 1;1
2
x é ù
Î ê úë û ta có
2
2
x
ìï - - <
ïïï
Kết hợp với phương trình ( )3 ta có
1,0
2
- - - > - ³ " Î ê úë û)
Với x = 1 thỏa mãn phương trình ( )3 Þ y = - 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) (x y =; 1; 1 - )
0,5
Cách 2
( )3 é(2x 1)2 - 5ù 2x 1 ( 1 x)3 - 3 1( x)- 4
Û ( 2x - 1)5 - 5 2x - 1 = ( 1- x)3 - 3 1( - x)- 4
Đặt 2x - 1= a, 1- x = b với 0;1 , 0; 1
2
Xét hàm số ( ) 5
5
f a = a - a trên é ùê ú0;1 ,
( ) 3 2
g b = b - b - trên 0; 1
2
Sử dụng phương pháp hàm số ta được
f a ³ - " Î ê úa é ùë û, ( ) 4, 0; 1
2
£ - " Î ê ú
Từ đó phương trình ( )3 có nghiệm duy nhất x = 1Þ y = - 1
Vậy hệ có nghiệm duy nhất ( ) (x y =; 1; 1 - )
Trang 33.1 2,0
M
E
B
A
Tọa độ điểm A thỏa mãn
( )
1; 3
A
0,5
Cách 1: Xét hai tam giác A EM và CDM
90
A EM = + EBD = MDC
EA = ED = BD = CD ( Vì DMDE,DDBE là hai tam giác đồng dạng)
90
Cách 2: Ta có DMDE,DMBD đồng dạng nên · ·
ME BD = DE MD
A M CM A E EM CD DM A E DM EM CD
Do đó, A M ^ CM
0,5
Đường thẳng CM qua 9 8;
5 5
Mæçç ö÷÷
÷
çè ø, vectơ pháp tuyến
;
A M = æçç - ö÷÷
÷
uuuur
có phương trình
Tọa độ điểm C thỏa mãn 4 7 4 0 6 ( )6; 4
C
0,5
Gọi B b b -( ; 5 2) ta có
( 1)2 (5 5)2 26 0
2
b
b
é = ê
êë
b= Þ B - thỏa mãn
( )
b= Þ B loại do M nằm ngoài DA BC
Chú ý: Nếu không loại điểm B( )2; 8 trừ 0,25 điểm
0,5
Vì A Î d B1; Î d2 nên ta đặt A(- 1+ a; 2- + 2 ;a a B) (, 2+ 2 ;1b + b;1+ b)
Do A B song song với ( )P nên A Buuur ^ nuurP = (1;1; 2- )Û b= a- 4
Suy ra, A B = (a- 5;- a- 1; 3- )
uuur
A B = a- + -a- + - = a - a +
0,5
Trang 4Suy ra, 3 5 2 2 8 35 45 1
5
a
a
é = -ê
êë
a = - Þ A - - - A Buuur - - (thỏa mãn) Þ PT của
1
d y
ìï = - + ïï
ï = -íï
ï = - + ïïî
0,5
a = Þ A A Buuur - - (thỏa mãn) Þ PT của
4
5
x
ìï = ïï
íï
ïïî
Chú ý: Nếu học sinh không kiểm tra lại điều kiện A B / /( )P thống nhất vẫn cho điểm tối đa
0,5
6
y
x
N M
B A
Dựng hình chữ nhật A BNC
A M BN = A M A C =
Ta có
A B A M A B A M
A B A CM
A B BN A B A C
·
( )2
8 3
A BNM
x y
Khi đó A M = BN = A C = 4
/ /
A B CN Þ CN ^ A MC Þ CN ^ CM Þ MN = CM + CN
60
MA C = hoặc · 0
120
MA C =
0,5
Trường hợp 1: · 0
60
MA C = Þ DAMC đều Þ CM = 4Þ MN = 42 + 62 = 2 13
120
MA C =
Chú ý: Nếu học sinh chỉ tính đúng được một kết quả của MN thì cho 0,5 điểm trong tổng số
1,0 điểm
0,5
1 2
2
x
1 2
d x x
+
0
1,0
Trang 5Đặt ( 2 )
2
1
dx
x
+ Đổi cận x = 0Þ t = 0; x = 3 Þ t = ln 2( + 3)
0,5
Do đó
ln 2 3 ln 2 3 2
2 2
t
+
2
f x = x + x + = a + a x + a x + + a x
n
n n
f = n = a + a + a + + na = Þ n.3n = 324
1,0
n > Þ n > = (Loại)
Nếu 1£ n < 4Þ n.3n < 4.34 = 324 (Loại)
Mà n = 4 thỏa mãn n.3n = 324. Vậy n = 4 là giá trị cần tìm
Chú ý: Nếu học sinh chỉ nhẩm được trường hợp n = 4 cho 0,25 điểm
1,0
Ta chứng minh a b a b £ 1Û alna +blnb£ 0
Ta có lnx £ x - 1," >x 0 Thật vậy, xét hàm số f x( )= lnx - x + 1
x
Từ BBT suy ra, f x( )£ f( )1 = 0Þ lnx £ x - 1," >x 0
3 lna a- a - a £ 3a a- 1 - a - a = - a- 1 a+ 2 £ 0," >a 0
4
3 lna a a a
Þ £ - Tương tự Þ 3 lnb b£ b- b4
3 lna a + 3 lnb b£ a- a + -b b = 0Þ alna +blnb£ 0 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b= 1
0,75
1£ a b a b Û a lna+b lnb³ 0
( )
2 2
4 4
a+ b= a + b ³ + ³ + Þ a+ £b Þ a bÎ
0,25
4 3
x
g x
( )
g x = có nghiệm duy nhất x = 1 trên ( )0;2
3a lna+ 3b lnb³ a - a +b - b= 0
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b= 1
0,5
1 Hướng dẫn chấm này chỉ trình bày sơ lược một cách giải Bài làm của học sinh phải chi tiết, lập luận chặt chẽ, tính toán chính xác mới được tính điểm tối đa
2 Với các cách giải đúng nhưng khác đáp án, tổ chấm trao đổi và thống nhất điểm chi tiết nhưng
không được vượt quá số điểm dành cho bài hoặc phần đó Mọi vấn đề phát sinh trong quá trình
chấm phải được trao đổi trong tổ chấm và chỉ cho điểm theo sự thống nhất của cả tổ
3 Điểm toàn bài là tổng số điểm của các phần đã chấm, không làm tròn điểm