M, N là các điểm lần lượt chuyển động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất.
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN
Năm học : 2009 – 2010
Môn : Tóan Thời gian : 120 phút ( không kể thời gian phát đề )
Câu 1 : ( 2 ñieåm ) Phân tích biểu thức sau ra thừa số
phương của một đa thức khác
Câu 3 : ( 4 ñieåm ) Cho biểu thức :
− +
−
+
+
−
+
10 2 : 2
1 3
6
6 4
2 3
2
x
x x
x x x
x x
a) Rút gọn p b) Tính giá trị của biểu thức p khi /x / =
4 3
c) Với giá trị nào của x thì p = 7 d) Tìm giá trị nguyên của x để p có giá trị nguyên
Chứng minh : abc + 2 ( 1 + a + b + c + ab + ac + bc ) ≥ 0
Câu 5 : ( 3ñieåm)
Qua trọng tâm G tam giác ABC , kẻ đường thẳng song song với AC , cắt AB
và BC lần lượt tại M và N Tính độ dài MN , biết AM + NC = 16 (cm) ; Chu vi tam giác ABC bằng 75 (cm)
Câu 6 : ( 4 ñieåm ) Cho tam giác đều ABC M, N là các điểm lần lượt chuyển
động trên hai cạnh BC và AC sao cho BM = CN xác định vị trí của M , N để độ dài đoạn thẳng MN nhỏ nhất
- Hết
Trang 2-ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG HUYỆN
Năm học : 2008 – 2009
Môn : Tóan
= x4 + 9x2 + k2 – 6x3 + 2kx2 – 6kx ( 1/2ñ )
= x4 – 6x3 + ( 9 + 2k )x2 – 6kx + k2 ( 1/2 ñ )
Đồng nhất 2 vế ta có :
a = 9 + 2k (1) ( 1/2ñ )
b = - 6k (2)
1 = k2 (3)
Từ (3) ta suy ra : k = ± 1 ( 1/2 ñ )
Ta có : A = x4 – 6 x3 + 11 x2 – 6x + 1 = ( x2 – 3x + 1 )2 ( ½ ñ )
2
1 2
2 ) 2 )(
2
+
+
−
−
−
x x
= x−x−x+ x++x− : x+62 =−x−12 = 2−1x
) 2 )(
2 (
2 )
2 ( 2
( ½ ñ )
/x/ =
4
3
nên x =
4
3
hoặc x = -
4
3
( 1/4 ñ )
+ Nếu x =
4
3
4 4
3 2
Trang 3+ Nếu x = -
4
3
4 4
3 2
1
=
2
1
=
7
13
Cộng 2 vế của (1) cho 1 + a + b +c + ab + bc + ca Ta có :
Ta biết : 1 + a + b + c + ab + bc + ac =
2
1
2
1
Câu 5 : ( 3ñieåm )
A
M
K
G
B C
N
ta có :
3
2
; 3
1
=
=
BK
BG BK
GK
( ¼ ñ )
Do MN // AC nên
3
1
=
=
=
BK
GK BC
CN AB
AM
( ¼ ñ )
Mà
3
1
= +
+
BC AB
NC AM
( ¼ ñ )
vì AM + NC = 16 (cm) và AB + BC = 75 – AC ( 3/4 ñ )
Trang 4Do đó :
3
1 75
16
=
3
2 27 3
AC
MN
(cm) ( 3/4ñ )
Câu 6 : ( 4 ñieåm ) A
Q
( 1/2 ñ )
p H
N
B M C
Gọi p và Q là chân đường vuông góc kẻ từ M và N xuống AB
⇒ ANQ = 300 ( 1/2 ñ )
2
1
AN ( 1/2 ñ )
Tương tự đối với tam giác MpB ta có pB =
2
1
Do đó : AQ + pB =
2
1 2
1 2
2
1
( 1/2 ñ )
2
1 2
1
Vậy đọan MN có độ dài nhỏ nhất bằng
2
1