CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên x+y... cùng dấu Và..[r]
Trang 1
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7 NĂM HỌC: 2013-2014
MÔN TOÁN
Thời gian 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Bài 1 ( 5 điểm)
a) Số A được chia thành 3 số tỉ lệ theo 52 : 34 : 61 Biết tổng các bình phương của ba số đó bằng 24309 Tìm
số A b) Cho a c = c b Chứng minh rằng : a2+c2
b2
+c2 = a b
Bài 2 ( 4 điểm)
a) Cho y +z +t x = z +t +x y = t +x + y z = x + y +z t
CMR: Biểu thức sau có giá trị nguyên
A= x + y z +t + y +z t +x + x + y z +t + y +z t+z
b)Chứng minh rằng:
B = 3
1
+3 2
1
+
1
33 +….+
1
32012 +
1
32013 <
1 2
Bài 3:(2 điểm)
Cho đa thức f(x) = x14 – 14x13 + 14x12 - … + 13x2 – 14x + 14
Tính f(13)
Bài 4:(7 điểm)
Cho tam giác ABC có AB<AC Gọi M là trung điểm của BC , từ M kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác của góc A , cắt tia này tại N, cắt tia
AB tại E và cắt tia AC tại F Chứng minh rằng :
a) BE = CF
b) AE = AB+AC2
c) Tính AE, BE theo AC = b, AB = c
Bài 5:(2 điểm)
Tìm số nguyên x để M đạt giá trị nhỏ nhất ,tìm giá trị nhỏ nhất đó
M =
14 4
x
x
Trang 2
ĐÁP ÁN THI HSG MÔN: TOÁN 7
NĂM HỌC 2013-2014
Thời gian làm bài: 120 phút ( không kể thời gian giaođề)
Bài 1
(.5điểm)
2 3 1 24 45 10
5 4 660 60 60 =
24 : 45 : 10 Giả sử số A được chia thành 3 phần x,y,z Theo đề bài ta có
24 45 10
x,y,z cùng dấu
Và
24309 2701
24 45 10 24 45 10
= 9 = 32
x2 = 242 32 = 722
x = 72
Hs tính tương tự
y = 135 ; z = 30
… Vậy A = 237 hoặc A = - 237
0.5
0,5 0.5
1.0 0,5
a c a c
c b c b
( 1)
Lại có
2
c b b
a
(2)
Từ (1) và (2) suy ra ĐPCM
0.5
0.75 0,25
Bài2
(.4điểm)
2a
Ta có y +z +t x =
y
z +t +x = t +x + y z =
t
x + y +z =
0.5 1,5 0,5
Trang 3x y z t
x y z t
Suy ra 3x = y+z+t ; 3y = z+t+x; 3z = t+x+y; 3t = x+y+z
Từ đó HS suy ra được x+y = (z+t); y+z = (t+x)
Z+t = (x+y); t+x = (y+z)
Khi đó tính được A =
4 Vậy A có giá giá trị nguyên
2b
B = 3
1
+32
1
+
1
33 +…
32012 + 1
32013
3B = 1+ 3
1
+32
1
+
1
33
+….+ 1
32012
3B – B = 1 - 1
32013
hay 2B = 1 - 1
32013
Suy ra B = 2013
2 2. 3
<
1 2
Vậy B < 12
0.5 0.5 0,5
Bài 3
(13+1).x13 +(13+1).x12
- …+(13+1).x2– (13+1).x+(13+1) = x14- (x+1).x13 +(x+1).x12 -
…+ (x+1).x2 – (x+1).x + (x+1)
= x14 – x14-
x13 + x13 +x12 - … +x3
0,5
1,0 0,5
Trang 4+ x2 – x2 – x + x +1
= 1
( Vì thay 14 = 13 + 1 = x+1 ) Vậy f(13) = 1 Bài 4 (5 điểm) 4a Vẽ hình đúng
A
Kẻ BI song song AC ( I È F) Chứng minh được
1 2
BIM = CFM (g.c.g)
F
BI = CF (1)
B
N M C
E I
CM được BEI cân
tại B BE = BI (2)
Từ (1) và (2) ta có
ĐPCM
0.25
1,0 0,25
1,0 0,5
4b
CM được ANE =
AN F (g.c.g)
AE = A F
Ta có AE = AB +
BE ; A F = AC – C F AE+A F = AB +
BE + AC – C F Hay 2 AE = AB +AC ( do AE = A F; BE
= FC) AE =
AB+AC 2
0.5 0.5 0.75 0,5
2
Trang 5Chứng minh được BE
= 2
AC AB
Vậy BE = 2
b c
0,75 0,5
Bài 5
(2 điểm)
M =
14 4
x x
1
x
M nhỏ nhât khi và chỉ khi
10
4 x
nhỏ nhất Xét x < 4 thì
10
4 x
<
0 ; x > 4 thì
10
4 x
> 0
Ta chỉ xét x < 4 thì
10
4 x
nhỏ nhất 10
4 x lớn nhất Nên suy ra 4 – x
=1( vì mẫu nguyên,dương nhỏ nhất)
Vây x = 3 khi đó Min M = -11