CHUYEN DE BAI TOAN DAO HINH HOC HAY

CHUYEN DE BAI TOAN DAO HINH HOC HAY qưeqửẻytyiuiio;tgvchghkfggdfhghỵghjkgvdsfdfjhj,vzsxzdffgjvbcfgfjghjkmjh,vvxghgjh,jmvcvxfchhk,j,vvxchvm,j,jáhfjghkjtsdsdfdnhghjghjkfdfsdfsgfgjghkghfdzsdfdfhgfhjmnhgnmcxvcxfhgmnbm,bvcvnbvmbnmfgdfgbvb n ,mnvb mnm,mnnmn,bhnvmnm,nmbnnm,bnbbmnm,bn mnm,nmv

CHUYÊN ĐỀ BÀI TOÁN ĐẢO HÌNH HỌC

Thái Thị Thư Mệnh đề thuận, mệnh đề đảo và cách lập mệnh đề đảo

* Khái niệm: mệnh đề là một khẳng định, nó có thể hoặc là đúng hoặc là sai

* Mệnh đề đảo: cho mệnh đề P => Q thì mệnh đề đảo của nó là Q => P

* Cách lập mệnh đề đảo: Ở đây ta chỉ xét những mệnh đề thuận là mệnh đề đúng

+) Mệnh đề thuận Nếu có P thì có Q, mệnh đề đảo là Nếu có Q thì có P

+) Mệnh đề thuận Nếu có P và có Q thì có R, có thể lập các mệnh đề đảo là:

- Nếu có R thì có Q và có P (đây được xem là dạng đảo hoàn toàn)

- Nếu có R và có P thì có Q (đây được xem là dạng đảo không hoàn toàn ,mệnh đề

thuận và đảo đều có P là giả thiết chung )

- Nếu có R và có Q thì có P(mệnh đề thuận và đảo đều có Q là giả thiết chung)

+) Mệnh đề thuận dạng Nếu có P, có Q, có R thì cóH, hoặc nếu có P, có Q, có R, có I

…

Có nhiều cách lập mệnh đề đảo bằng cách đổi chỗ giả thiết và kết luận cho nhau, hoặc giữ lại một phần giả thiết của mệnh đề thuận làm giả thiết chung

* Mỗi bài toán được xem là một mệnh đề đúng

*Ví dụ 1:Ta xét Bài 65 (SGK toán 7- tập 1- Tr 137)

Cho cân tại A ( ) Vẽ BH  AC (H AC); CK  AB (K AB)

Chứng minh:

a AH = AK

b Gọi I là giao điểm BH và CK Chứng minh AI là tia phân giác của

phân giác của

Chứng minh:

a Hướng dẫn học sinh chứng minh

Để chứng minh: AH = AK

Cần chứng minh = (cạnh huyền –góc nhọn)

và có = = ; chung; AB = AC(gt)

Yêu cầu học sinh trình bày chứng minh bài toán

b.Cách 1: Ở bài này vì học sinh chưa học các đường đồng quy trong tam giác nên

việc chứng minh AI là tia phân giác của ta cần

Cách 2: Khi học sinh đã học các đường đồng quy trong tam giác ta có AI cũng là

đường cao của ; mà cân tại A suy ra AI cũng là phân giác của (tính chất của tam giác cân)

Sau đó yêu cầu học sinh trình bày chứng minh

Từ bài toán trên tôi lại đặt vấn đề bài toán trên có bài toán đảo hay không? Ta có thể lập được bao nhiêu bài toán đảo?Với đối tượng học sinh lớp 7 tôi hướng dẫn học sinh từng bước lập bài toán đảo đó là đổi chỗ các GT VÀ KL để được mệnh đề đúng

là

mệnh đề đúng

Bài toán đảo 1: Cho ( < ), Vẽ BH AC (H ,

CK sao cho AK = AH Chứng minh cân tại A

H K

Tương tự từ kết luận thứ 2 ta có bài toán đảo thứ sau:

là

mệnh đề đúng

=>*Bài toán đảo 2: Cho ( < )

(CK cắt BH tại I) Chứng minh cân tại A

(tính chất của tam giác cân)

hay I là trực tâm của

=> CI (đpcm)

I A

H K

A

I

H K

1

2

1 2

là mệnh đề

đúng

Tôi yêu cầu học sinh tự lập bài toán đảo và chứng minh

Để rèn luyện thêm tư duy sáng tạo cho học sinh tôi đưa ra bài toán nâng cao hơn một

tí

* Ví dụ 2 : Cho có AB <AC M là trung điểm cạnh BC

CMR: >

+) Hướng dẫn học sinh tìm lời giải: để so sánh hai góc và ta cần chuyển

hai góc này ở trong cùng một tam giác, sau đó sử dụng định lý quan hệ giữa góc và

cạnh trong một tam giác

Chứng minh: Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Không dừng lại tại đây, tôi tiếp tục hỏi học sinh, liệu điều ngược lại có đúng không?

Em hãy phát biểu và chứng minh điều đó

Mệnh đề đảo 1: => AB < AC là mệnh đề đúng

=> Ta có* bài toán đảo1: Cho , M

là trung điểm BC sao cho

> Chứng minh: AB < AC

Việc chứng minh bài toán đảo hoàn toàn tương

tự như chứng minh bài toán thuận

Chứng minh: Trên tia đối của tia MA lấy

điểm D sao cho MD = MA

=>

Xét trong có

=> AC > AB(định lý) hay AB < AC (đpcm)

=> M là trung điểm BC.Đây là mệnh đề sai

Vậy với bài toán này ta có một bài toán đảo

Ví dụ 3 Cho tam giác ABC cân tại A, = Kẻ CH vuông góc với AB Chứng minh rằng CH =

Bài toán thuận => CH =

Từ đó tôi yêu cầu học sinh lập ra các bài toán đảo bằng cách tiếp tục đổi chỗ các GT với KL ta được

*Mệnh đề đảo 1: => là mệnh đề đúng

Từ đây yêu cầu học sinh phát biểu bài toán đảo 1

*Bài toán đảo 1: Cho tam giác ABC cân tại A, có đường cao CH thõa mãn

=> *Bài toán đảo 3: Cho tam giác ABC có , kẻ đường cao CH sao cho

Chứng minh rằng tam giác ABC cân tại A

Học sinh tự lập bài toán đảo

phía đối với BC) suy ra Lấy

M là trung điểm AB ,xét

có:

 cân tại D(DM là đường cao đồng

thời là đường trung tuyến)=> =

Vậy đến đây nhiều bạn học sinh xem như đã giải xong bài toán, nhưng việc học toán không nên dừng lại ở đây mà ngoài phát triển bài toán thì một trong những cách đào sâu, khai thác một bài toán là xét mệnh đề đảo của nó

:

=>Ta có *bài toán đảo 1:

Chứng minh rằng trong một tứ giác hai tia phân giác của hai góc kề một cạnh vuông góc với nhau thì tứ giác đó là hình thang

Chứng minh: Cho tứ giác ABCD Kẻ Ax là tia phân giác của , Dy là tia phân giác

của Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang ta cần chứng minh AB // CD

Ta có *bài toán đảo 2: Cho hình thang ABCD từ D kẻ tia Dy vuông góc với tia phân

giác của tại O Chứng minh rằng Dy là tia phân giác của

D

B

C

Tương tự ta có bài toán đảo tiếp theo

Ta có* bài toán đảo 3: Cho hình thang ABCD từ A kẻ tia Ax vuông góc với tia phân

giác của tại O Chứng minh rằng Ax là tia phân giác của

2

1

Học sinh chứng minh tương tự như Ta có bài toán đảo 2

Cũng là bài toán về hình thang ta xét trong SGK toán 8- tập 2

Sau khi học sinh đã quen với việc lập mệnh đề đảo trước khi phát biểu bài toán đảo

tôi yêu cầu học sinh tự thực hiện ở ngoài vở nháp từ ví dụ tiếp theo

Ví dụ 5 Ta xét bài 39 (SGK - Toán 8- tập 2 - Tr 79)

Cho hình thang ABCD (AB//CD) Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC

và BD

a Chứng minh OA.OD = OB.OC

b Đường thẳng qua O vuông góc với AB và CD theo thứ tự tại H và K

Chứng minh rằng

Hướng dẫn học sinh chứng minh bài toán

Chứng minh:

a Hướng dẫn học sinh chứng minh

theo sơ đồ suy ngược tiến sau:

Để c/m: OA.OD = OB.OC

AOB COD Yêu cầu học sinh trình bày cụ thể

D

B

C H

K

Mặt khác theo câu (a) ta có (2)

Từ (1) và (2) => (đpcm)

Sau khi giải xong bài toán ta lại xem bài toán có bài giải đảo hay không? Và ta lập được bao nhiêu bài toán đảo?

* Bài toán đảo 1: Cho tứ giác ABCD Gọi O là giao điểm hai đường chéo sao cho:

OA.OD = OB.OC Chứng minh rằng tứ giác ABCD là hình thang

Chứng minh:

Hướng dẫn học sinh chứng minh bài

toán đảo 1 theo sơ đồ sau:

Để c/m: tứ giác ABCD là hình thang

AB//CD

(so le trong)

Cần c/m: AOB  COD

O A

Ta chứng minh bổ đề: Cho tứ giác ABCD, AC BD tại O, AM//BC, BN//AD (M ;

Ta sử dụng định nghĩa: Tứ giác ABCD và A’B’C’D’

có các cạnh tương ứng song song thì chúng đồng dạng với nhau

Tứ giác ABNM và tứ giác DCBA có BN//AD; AM//BC, MN//CD, AB//CD

=>tứ giác ABNM  tứ giác CDAB

Ta có: = k => OAB  OCD theo tỉ số k

=> = hay =

Vì tứ giác ABNM  tứ giác DCBA nên ta có 2 khả năng :

+)Nếu = k => OAB  ODC (c.g.c)

=> => Tứ giác ABCD nội tiếp (điểm A và D cùng nhìn đoạn

BC dưới những góc bằng nhau)

+) Nếu = k => OAB  OCD (c.g.c)

=> => AB // CD => tứ giác ABCD là hình bình hành nên tứ giác

ABCD cũng là một hình thang

Vậy với khẳng định thứ hai của bài toán thì điều ngược lại là không hoàn toàn đúng

Có nghĩa “Cho tứ giác ABCD Gọi O là giao điểm của hai đường chéo AC

cho thì tứ giác ABCD là hình thang” là mệnh đề sai

1

Đến đây tôi khẳng định với học sinh rằng : không phải mọi bài toán đều có bài toán

đảo

Mặc dù vậy thì trong quá trình học toán, nếu chúng ta có thói quen xem xét bài toán

đảo thì cũng sẽ phát hiện nhiều bài toán mới khá thú vị, thậm chí là rất hay Sau đây là 1 số bài toán mà tôi đã tiếp tục hướng dẫn học sinh giải và đi tìm bài toán

đảo

Ví dụ 6 Ta xét bài 22 (SGK toán 9 – tập 2- tr 76) Trên (O) đường kính AB, lấy

điểm M (khác A và B).Vẽ tiếp tuyến của (O) tại A Đường thẳng BM cắt tiếp tuyến

đó tại C Chứng minh: MA 2

= MB.MC

Đối với bài toán này đa số các em

giải được theo hai cách:

nửa đường tròn) hay AM  CB

*Bài toán đảo 1:

Cho (O) đường kính AB, từ một điểm C nằm ngoài (O) kẻ CB cắt (O) tại M; sao cho:

MA 2 = MB.MC Chứng minh CA là tiếp tuyến của (O)

Chứng minh:

Sau khi học sinh phát biểu được bài toán đảo, tôi tiếp tục hướng dẫn các em chứng

minh Để chứng minh CA là tiếp tuyến của (O) ta cần sử dụng dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến, tức là cần chứng minh CA  OA tại A

Xét CAM và BAM có:

(Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

(do MA2 = MB.MC)

=> CAM  ABM (c.g.c)

=> =

Mà + = 900 => =900

=> OA  CA tại A hay CA là tiếp

tuyến của (O)

Hoặc tôi yêu cầu học sinh phát biểu bài toán đảo một cách tổng quát hơn như sau:

*Bài toán đảo 2: Cho góc nhọn xMy , lấy A sao cho:

MA 2 = MB.MC Chứng minh rằng MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

ABC Đây là bài toán tổng quát hơn Bài toán đảo 1

Để chứng minh bài toán đảo này tôi hướng dẫn đi theo 3 hướng chứng minh:

Cách 1: Để chứng minh MA là tiếp

tuyến của (ABC) ta cần chứng minh

MA  OA(O là tâm (ABC)) hay

=

Ta có=> CAM ABM (c.g.c)(theo

bài toán đảo 1) => = (1)

Dựng O là giao điểm của hai đường

trung trực của ABC

MA  OA hay MA là tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp ABC

Cách 2: Gỉa sử MA không phải là tiếp

tuyến của (ABC) suy ra MA cắt

(ABC) tại điểm thứ hai là

Bài 23 (SGK-toán 9- tập 2-Tr 76) là bài toán tổng quát của bài 22 (SGK toán 9- tập 2-Tr 76)

Ví dụ 7 Ta xét tiếp bài 23 (SGK-toán 9- tập 2-Tr76): Cho (O) và một điểm M cố định không nằm trên đường tròn Qua M kẻ hai đường thẳng,đường thẳng thứ nhất cắt (O) tại A và B Đường thẳng thứ 2 cắt (O) tại C và D

Đối với bài toán này thì đa số học sinh giải được sau khi tôi hướng dẫn các em chia

bài toán làm 2 trường hợp và giải tương tự Bài 22(SGK toán 9 – tập 2- tr 76) Sau

khi các em giải xong tôi lại tiếp tục đặt câu hỏi “liệu bài toán này có bài toán đảo hay không? Em hãy phát biểu và chứng minh”

*Bài toán đảo:

Cho hai đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M, sao cho MA.MB = MC.MD Chứng minh ABCD nội tiếp

D

bù) (2)

Từ (1) và (2) => = 1800 hay

tứ giác ABCD là tứ giác nội tiếp

* TH2: Đường thẳng AB và CD cắt nhau tại M nằm trong đoạn AB và CD

D

B A

Sau khi đưa ra những bài toán cơ bản trong SGK, tôi lại muốn thử sức các em ở bài toán nâng cao hơn, đó là những bài toán ngoài SGK

Ví dụ 8: Cho ABC cân tại A (A<90 0

) Đường cao AH và BK cắt nhau tại I Chứng minh rằng KH là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp AKI

Chứng minh:

Cách 1: Lấy O là trung điểm AI

=> O là tâm đường tròn ngoại tiếp AKI

Bây giờ để chứng minh KH là tiếp tuyến của

đường tròn ngoại tiếp AKI

OK  KH

1 2

=> HK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại

tiếp AKI ( theo kết quả của bài toán đảo của ví

dụ 5).Vậy bài toán đảo còn là công cụ để giải

toán

I A

K O

Đến đây tôi lại đặt vấn đề với học sinh, vậy điều ngược lại có đúng không? Em hãy phát biểu và chứng minh điều đó? Việc lập mệnh đề đảo học sinh tự làm ở vở nháp

*Bài toán đảo: Cho ( < 90 0 ) Đường cao AH và BK cắt nhau tại I HK là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp Chứng minh cân tại A

Trong có AH là đường cao

đồng thời là đường phân giác =>

cân tại A

I A

K O

Cũng trong chương trình SGK toán 9 ta xét bài toán:

*Ví dụ 9: Bài 30 (SGK toán 9-Tập 1- Tr 116)

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với

AB (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AB)

Qua điểm M thuộc nửa đường tròn (M khác A và B) kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax và By ở C và D Chứng minh rằng:

= (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

= (t/c 2 tiếp tuyến cắt nhau)

=> (g.g)

Vậy AC.BD = R2

- const (đpcm) Đây là bài toán cơ bản trong SGK toán 9 mà giáo viên chúng ta ai cũng phải hướng dẫn , định hướng cho học sinh giải được Nhưng sau khi bái toán đã được giải xong tôi lại gợi ý cho học sinh khai thác bài toán theo các hướng khác nhau Trong đó tôi

có đặt vấn đề , liệu điều ngược lại có đúng không? Cụ thể hơn là bài toán trên có 3

kết luận Vậy chúng ta có thể phát biểu được bao nhiêu bài toán đảo? Em hãy phát biểu và chứng minh các bài toán đảo đó?

*Bài toán đảo 1: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By là các tia

vuông góc với AB (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một mặt phẳng có bờ AB) Lấy C Ax; D Ay sao cho = 90 0 Chứng minh CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O đường kính AB

Chứng minh:

Kẻ OM  CD tại M Ta cần chứng minh M thuộc (O; )

Ta có: Tứ giác AOMC nội tiếp ( + = )

=>CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn (đpcm)

Tiếp tục khai thác bài toán từ kết luận hai của bài toán ta có bài toán đảo thứ tiếp theo

*Bài toán đảo thứ 2: Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By là các

tia vuông góc với AB tại A bà B (Ax, By và nửa đường tròn cùng thuộc một nửa mp

có bờ AB) Trên tia Ax, By lần lượt lấy điểm C và D sao cho:

CD = CA + BD Chứng minh CD là tiếp tuyến của nửa đường tròn tâm O đường kính AB

*Bài toán đảo thứ 3:

Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Gọi Ax, By là các tia vuông góc với AB tại A và B(Ax, By và nửa đường tròn cùng nằm 1 phía mặt phẳng có bờ AB) Điểm M chuyển động trên nửa đường tròn Qua M vẽ đường thẳng d cắt Ax, By theo thứ tự tại

Xét và có = = 900

( gt) => (c.g.c)

=> = Xét trong có + = 900

=> + = 900

Mà + + + = 1800

=> + = 900

Hay = 900=> (Theo bài toán đảo 1 ta có CD là tiếp tuyến)

Hoặc: Do = (cm trên) => (do OB = OA = R)

=> CD là tiếp tuyến của (O) hay đường thẳng d là tiếp tuyến của (O)(đpcm)

Những bài toán trong SGK tôi muốn các em vươn tầm hơn với những bài toán khó Giải nó đã khó, lập được bài toán đảo và giải bài toán đảo lại càng khó hơn Nhưng không ngại khó nếu các em kiên trì tìm tòi thì mọi thứ rất đơn giản

Cách 1:Để chứng minh bài toán ta sử dụng kết

quả của bài toán sau:

Cho tam giác đều ABC nội tiếp (O) và một

điểm M trên cung BC không chứa A Chứng

minh MA = MB + MC

Thật vậy trên MA lấy điểm N: MB = MN (1)

Xét có : MN = MB=> = =

600 (góc nội tiếp cùng chắn cung AB)

là tam giác đều

Bây giờ sử dụng kết quả của bài toán này ta giải

bài toán trên:

Hoặc sử dụng định lý Ptô lê mê ta có tứ giác ABMC nội tiếp => AB.MC + BM.AC = AM.BC => AM = MB + MC

Cách 2: Ta có tứ giác ABMC nội tiếp

=> AB.MC + BM.AC = AM.BC

(định lý Ptô lê mê)

=> AM = MB + MC

Ta có 3 điểm K, H, I thẳng

hàng(đường thẳng Xim- xơn)

Tứ giác BKMH và tứ giác HICM nội

tiếp nên = hay MH là tia

phân giác của và =

*Bài toán đảo: Cho tam giác đều nội tiếp (O) và 1 điểm M Gọi H, I, K lần lượt là

chân đường vuông góc hạ từ M đến BC, CA, AB sao cho: +

Chứng minh M thuộc (O)

Chứng minh:

Giả sử AM cắt (O) tại M’ Khi đó đều

nội tiếp (O) và M’ Gọi H’, K’, I’ lần

lượt là chân đường vuông góc kẻ từ M’ đến

BC; AB; AC

=> + (*)