Chuyên đề luyện thi đại học - cao đẳng môn Toán: 6 Chuyên đề ôn thi phần Hình học phẳng

Đề thi Olympic Mông Cổ Đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác ABC cắt các cạnh của tam giác tại A1, B1, C1 sao cho tứ giác BA1B1C1 nội tiếp... Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ Cho tam

6 Chuyên đề Hình học phẳng

Dạng 1 Chứng minh các bài toán liên quan đến góc – độ dài đoạn thẳng

1 1 Phương pháp

1.2 Một số ví dụ

Bài 1 (Đề thi Olympic Belarus) Cho hai đường chéo AC và BD của tứ giác ABCD cắt

nhau tại M Đường phân giác của góc ACD cắt tia BA ở K Nếu

MA MC  MA CD  MB MD thì BKCCDB

Bài 2 (Đề thi Olympic Belarus) Cho tam giác ABC vuông tại C, gọi M là trung điểm

của cạnh huyền AB, H là chân đường cao hạ từ C và P là điểm trong tam giác sao

choAP AC Hãy chứng minh rằng PM là phân giác góc BPH khi và chỉ khi

3

A 



Bài 3 (Đề thi Olympic Italia) Cho tứ giác lồi ABCD với

Bài 4 (Đề thi Olympic Mông Cổ) Đường phân giác của các góc A, B, C của tam giác

ABC cắt các cạnh của tam giác tại A1, B1, C1 sao cho tứ giác BA1B1C1 nội tiếp Chứng

minh rằng BC AC AB

ACAB BABC CA CB

Bài 5 (Đề thi Olympic Rumani) Cho tam giác nhọn ABC và điểm M là trung điểm của

BC Tồn tại duy nhất 1 điểm N nằm ở miền trong tam giác ABC sao cho

,

ABNBAM ACN CAM Chứng minh rằng BAN CAM

Bài 6 (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho 1 vòng tròn tâm O, 2 đường tiệm cận xuất

phát từ điểm S nằm bên ngoài đường tròn có tiếp điểm là P, Q Đường thẳng SO giao

với đường tròn tại A, B với B gần S hơn A Cho X là một điểm nằm trong cung nhỏ

PB và đường SO giao với các đường QX và PX lần lượt tại C, D Chứng minh rằng

ACAD AB

Bài 7 (Đề thi Olympic Thổ Nhĩ Kỳ) Cho tam giác ABC, các đường phân giác trong và

ngoài của góc A lần lượt cắt đường thẳng BC tại D và E Cho F là giao điểm thứ hai

(khác A) của AC với đường tròn w có đường kính DE Vẽ tiếp tuyến tại A với đường

tròn ngoại tiếp của tam giác ABF và giao với đường tròn w tại A và G Chứng minh

rằng AF AG

Bài 8 (Đề thi Olympic Canada) Cho O là một điểm nằm trong hình bình hành ABCD

sao cho AOBCOD Chứng minh rằng OBC ODC

Bài 9 (Đề thi Olympic Đức) Một hình vuông Sa nội tiếp một tam giác nhọn ABC với 2

đỉnh nằm trên cạnh BC và 1 đỉnh nằm trên cạnh AB, 1 đỉnh nằm trên cạnh AC Các

hình vuông Sb, Sc được xây dựng tương tự Với những trường hợp nào của tam giác

ABC thì các hình vuông Sa, Sb, Sc là bằng nhau

1.3 Bài tập áp dụng

Bài 10 (China – 1988) (p 48) ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn có tâm O, bán kính

R Các tia AB, BC, CD, DA cắt đường tròn tâm O bán kinh 2R lần lượt tại A’, B’, C’,

D’ Chứng minh rằngA B' 'B C' 'C D' 'D A' '2ABBC CD DA Khi nào đẳng

thức được nghiệm đúng?

Bài 11 (China – 1995) (p 78) Cho 2 tia OA, OB trong mặt phẳng và P là điểm nằm

giữa 2 tia này Hãy xác định điểm X nằm trên tia OA sao cho nếu XP kéo dài cắt OB

tại Y thì tích XP.PY có giá trị nhỏ nhất

Bài 12 (China – 1996) (p 84) Trong tam giác ABC có 0 0

C A BC Tìm giá trị bé nhất của độ dài cạnh lớn nhất của tam giác nội tiếp trong ABC (tức là tam giác

có 3 đỉnh nằm trên 3 cạnh khác nhau của tam giác ABC

Bài 13 (China – 2001) (p 91) ABCD là tứ giác nội tiếp Tâm đường tròn ngoại tiếp

nằm trong ABCD Cạnh ngắn nhất có độ dài bằng 4 t 2 và cạnh dài nhất có độ dài

bằng t với 2  t 2 Các tiếp tuyến tại A và B cắt nhau tại A’, các tiếp tuyến tại B và

C cắt nhau tại B’, các tiếp tuyến tại C và D cắt nhau tại C’ và các tiếp tuyến tại D và A

cắt nhau tại D’ Tìm giá trị lớn nhất và giá trị bé nhất của A B C D' ' ' '

ABCD

S

Bài 14 (Bắc Kinh – 1964)(p105) Trong tam giác ABC có góc A không nhọn, người ta

dựng hình vuông nội tiếp B1C1DE (cạnh DE nằm trên đoạn BC, còn các đỉnh B1, C1

lần lượt nằm trên đoạn AB và AC) Tiếp theo, từ tam giác AB1C1, lại dựng hình vuông

B2C2D1E1 nội tiếp tam giác đó (dựng như hình vuông ban đầu) Quá trình dựng như

trên được thực hiện một vài lần Chứng minh rằng, tổng diện tích tất cả các hình vuông

nội tiếp trong tam giác bé hơn nửa diện tích tam giác ABC

Bài 15 (Bắc Kinh – 1966) (P109) Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B

sao cho 2 điểm O và O’ tương ứng nằm trên nửa mặt phẳng bờ AB Cát tuyến PQ đi

qua A cắt (O) và (O’) lần lượt tại P và Q

a Trong trường hợp nào thì A nằm giữa P và Q?

b Giả sử A nằm giữa P và Q, hãy xác định vị trí cát tuyến PQ để độ dài PQ lớn

nhất

c Hãy xác định vị trí của cát tuyến PQ để PA = QA

Bài 16 (IMO Hong Kong – 2000) (p180) Tam giác ABC vuông có BCCAAB Gọi

D là 1 điểm trên cạnh BC, E là 1 điểm trên cạnh BA kéo dài về phía điểm A, sao cho

BD  BE  CA Gọi P là điểm trên cạnh AC sao cho E, P, D, P nằm trên 1 đường

tròn, Q là giao điểm thứ 2 của BP với vòng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh

Bài 18 (IMO 1960) (40 – p24) Cho tam giác vuông ABC với cạnh huyền BC có độ

dài a Chia BC thành n phần bằng nhau, với n là một số nguyên dương lẻ Khi đó, tam

giác ABC được chia thành n tam giác nhỏ và tam giác nhỏ ở chính giữa có góc tại đỉnh

a bằng α Gọi H là khoảng cách từ A đến BC Chứng minh rằng 2

tích là S Chứng minh rằng a2 b2 c2  4 3S Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 20 (IMO 1961) (40 – p30) Gọi P là điểm tuỳ ý nằm trong tam giác ABC PA cắt

BC ở D, PB cắt AC ở E, PC cắt AB ở F Chứng minh rằng có ít nhất một trong các tỉ

số sau đây không lớn hơn 2: AP BP CP; ;

PD PE PF

Bài 21 (IMO 1964) (40 – p43) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh là a, b, c Ta lần

lượt vẽ các tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp của tam giác này song song với 3 cạnh

tam giác Mỗi tiếp tuyến hợp với hai cạnh kia của tam giác để tạo thành một tam giác

mới, như thế ta được 3 tam giác mới tạo thành Lại vẽ 3 đường tròn nội tiếp ở 3 tam

giác mới đó Hãy tính tổng diện tích 4 hình tròn nội tiếp nói trên

Bài 22 (IMO 1966) (40 – p47) Chứng minh rằng tam giác ABC cân nếu

Bài 23 (IMO 1966) (40 – p48) Gọi K, L, M lần lượt là các điểm tuỳ ý nằm trên các

cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC Chứng minh rằng trong các tam giác AML,

BKM, CLK có ít nhất một tam giác có diện tích nhỏ hơn hoặc bằng ¼ diện tích tam

giác ABC

Bài 24 (IMO 1975) (40 – p66) Cho tam giác ABC bất kỳ Ta dựng bên ngoài tam giác

đó các tam giác BCP, CAQ, ABR sao cho:

Bài 25 (IMO 1982) (40 – p80) Trên các đường chéo AC và CE của lục giác đều

ABCDEF ta lấy 2 điểm M và N sao cho AM CN k

MC  CE  Biết B, M, N thẳng hàng, hãy tìm k

Bài 26 (IMO 1984) (40 – p81) Giả sử ABCD là tứ giác lồi sao cho đường thẳng CD là

tiếp tuyến với đường tròn đường kính AB Chứng minh rằng, điều kiện cần và đủ để

đường thẳng AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD là hai đường thẳng BC

và AD song song nhau

Bài 27 (IMO 1987) (40 – p85) Cho tam giác ABC nhọn, đường phân giác trong góc A

cắt BC tại L và cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác tại N Từ L ta hạ các đường vuông

góc LK và LM theo thứ tự xuống các cạnh AB và AC Chứng minh rằng diện tích tứ

giác AKMN bằng diện tích tam giác ABC

Bài 28 (IMO 1989) (40 – p89) Cho tứ giác lồi ABCD có tính chất như sau:

Bài 29 (IMO 1991) (40 – p91) Cho tam giác ABC và điểm I là tâm đường tròn nội

tiếp tam giác Các đường phân giác trong của các góc A, B, C lần lượt cắt các cạnh đối

diện tại A’, B’, C’ Chứng minh rằng 1 . . 8

AI BI CI

AA BB CC

Bài 30 (IMO 1991) (40 – p92) Cho tam giác ABC và một điểm P nằm trong tam giác

Chứng minh rằng có ít nhất một trong ba góc PAB PBC PCA, , nhỏ hơn hoặc bằng 300

Bài 31 (IMO 2000) (40 – p108) Cho 2 đường tròn cắt nhau tại M và N; C và A là 2

điểm trên đường tròn thứ nhất và B, D là 2 điểm trên đường tròn thứ 2 sao cho AB là

tiếp tuyến của cả hai đường tròn Điểm M nằm giữa C và D, trên đường thẳng CD, và

AB // CD Các dây cung NA và CM, NB và MD cắt nhau tại P, Q tương ứng Hai tia

CA và DB gặp nhau tại E Chứng minh rằng PE = QE

Dạng 2 Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc – song song

2.1 Phương pháp

2.2 Một số ví dụ

Bài 1 Gọi P là giao điểm của hai đường chéo AC và BD của tứ giác lồi ABCD trong

đó AB = AC = BD Gọi O và I là tâm đường tròn ngoại và nội tiếp của ta

Bài 2 Cho O là tâm đường tròn w ngoại tiếp tam giác nhọn ABC Đường tròn w1 với

tâm K đi qua các điểm A, O, C mà cắt các cạnh bên AB và BC tại M và N Đặt L là

điểm đối xứng với K qua đường thẳng MN Chứng minh rằng BLAC

Bài 3 (Đề thi Olympic Đài Loan) Cho tam giác nhọn ABC, AC > BC và M là trung

điểm AB Các đường cao AP và BQ gặp nhau ở H, đường thẳng AB và BQ cắt nhau ở

R Chứng minh rằng RH CM

Bài 4 (Đề thi Olympic IrLand) Cho tam giác ABC, M là điểm nằm trong tam giác

Gọi D, E, F lần lượt là hình chiếu của M xuống BC, CA, AD Tìm tập hợp tất cả các

điểm M thoả mãn

2

FDE 



Bài 5 (IMO 1985) Cho tam giác ABC Một đường tròn tâm O đi qua các điểm A và C

và lại cắt đoạn AB và BC theo thứ tự tại 2 điểm phân biệt K và N Giả sử các đường

tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và KBN cắt nhau tại đúng hai điểm phân biệt B

và M Chứng minh rằng góc OMB vuông

Bài 6 (IMO 1993) Cho D là điểm nằm trong tam giác nhọn ABC sao cho

b Chứng minh rằng hai tiếp tuyến tại điểm C của đường tròn ngoại tiếp các tam

giác ACD và BCD vuông góc với nhau

2.3 Bài tập áp dụng

Bài 5 (China – 1990) ABCD là tứ giác lồi có AB không song song với CD Một

đường tròn qua A và B tiếp xúc với CD tại X; một đường tròn qua C và D tiếp xúc với

AB tại Y Hai đường tròn này cắt nhau tịa U, V Chứng minh rằng UV cắt XY tại

trung điểm của XY khi và chỉ khi BC song song DA

Bài 6 (Hồng Kông – 1999) Gọi I và O lần lượt là tâm của các vòng tròn nội tiếp và

ngoại tiếp tam giác ABC Giả sử tam giác ABC không đều (do đó I khác O) Chứng

minh rằng 0

AIO  BC ABCA

Bài 7 (IMO – Hồng Kong – 1997) Từ một điểm P nằm ở ngoài đường tròn tâm O, kẻ

2 tiếp tuyến với đường tròn tại A và B Gọi M là điểm nằm trên đoạn AB và cho C, D

là các điểm trên đường tròn sao cho M là trung điểm của CD Giả sử các tiếp tuyến của

đường tròn tại C, D cắt nhau tại Q Chứng minh rằng OQPQ

Bài 8 Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC, P là điểm nằm trên cạnh AM sao cho

PM = BM, H là chân đường vuông góc hạ từ P xuống BC Đường thẳng qua H vuông

góc với PB gặp đoạn AB tại Q Đường thẳng qua H vuông góc với PC gặp đoạn AC

tại R Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác QHR tiếp xúc với cạnh BC tại

H

Bài 9 Từ đỉnh A của hình vuông ABCD, ta vẽ hai tia Ax, Ay đi qua miền trong của

hình vuông đó Giả sử các điểm M, K là hình chiếu của các điểm B, D lên Ax; L, N

tương ứng là hình chiếu của B và D lên Ay Chứng minh rằng các đoạn thẳng KL, MN

vuông góc với nhau và bằng nhau

Bài 10 Cho tam giác ABC cân tại A Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác, D là

trung điểm cạnh AB, E là trọng tâm tam giác ACD Chứng minh rằng IE vuông góc

tại I thì IA vuông góc với AC

Dạng 3 Chứng minh 3 điểm thẳng hàng – 3 đường thẳng đồng quy

3.1 Phương pháp

- Áp dụng định lý Cê – va, Menelaus, Pascal, …

- Áp dụng định lý về phương tích – trục đẳng phương

3.2 Một số ví dụ

3.2.1 Ứng dụng các đinh lý hh phẳng (Cê – va, Menelaus, Pascal, …)

Bài 1 (Đề thi Olympic ChiLê – 2000) Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp Các đường

thẳng AB và CD cắt nhau tại P Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại Q Gọi E và F

là giao điểm của tiếp tuyến từ Q với đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Chứng minh

rằng P, E, F thẳng hàng

Bài 2 (Đề thi HSG QG 2011) Cho đường tròn (O), đường kính AB P là một điểm trên

tiếp tuyến của (O) tại B (P khác B) Đường thẳng AP cắt (O) lần thứ hai tại C D là

điểm đối xứng của C qua O Đường thẳng DP cắt (O) lần thứ hai tại E

a Chứng minh rằng AE, BC, PO đồng quy tại M

b Tìm vị trí của P để diện tích tam giác AMB lớn nhất Tính diện tích lớn nhất đó

theo R là bán kính của (O)

Bài 3 (IMO – Hong kong – 1998) Cho tam giác ABC Các tam giác ABX, BCY và

CAZ cân và đồng dạng nhau, chúng ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn

, ,

XA  XB YB  YC ZC  ZA Chứng minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng

quy

3.2.2 Trục đẳng phương – Tâm đẳng phương

Bài 1 Cho tam giác ABC, bên ngoài tam giác này, vẽ các tam giác cân BCD, CAE,

ABF có các cạnh đáy tương ứng là BC, CA, AB Chứng minh rằng ba đường thẳng

vuông góc kẻ từ A, B, C xuống EF, FD, DE đồng quy

Bài 2 Cho 4 điểm A, B, C, D theo thứ tự đó nằm trên đường thẳng Gọi E, F là các

giao điểm của 2 đường tròn: đường tròn (O1) đường kính AC, đường tròn (O2) đường

kính BD Lấy điểm P là điểm bất kỳ trên đường thẳng EF CP cắt (O1) tại M và BP cắt

(O2) tại N Chứng minh AM, DN, EF đồng quy

Bài 3 Cho tam giác ABC có trực tâm H và D, E là các điểm tuỳ ý trên các cạnh AB,

AC Giả sử các đường tròn đường kính BE và CD cắt nhau tại hai điểm F, G Chứng

minh F, G, H thẳng hàng

Bài 4 Cho tam giác ABC không cân có O là tâm đường tròn ngoại tiếp, D, E, F là

chân các đường phân giác trong góc A, B, C Gọi K là trực tâm của tam giác DEF

Chứng minh rằng đường thẳng OK là trục đẳng phương chung của các đường tròn

Apollonius của tam giác ABC

3.2.3 Dạng khác

Bài 1 Cho tam giác ABC Các tam giác ABX, BCY, CAZ cân và đồng dạng nhau,

chúng nằm ở ngoài tam giác ABC và thoả mãn XA = XB, YB = YC, ZC = ZA Chứng

minh rằng các đường thẳng AY, BZ, CX đồng quy

Bài 2 Cho tam giác ABC không vuông, không cân, nội tiếp đường tròn (O) Gọi A1,

B1, C1 lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB Trên tia OA1 láyA2 sao cho tam

giác OAA1 đồng dạng với tam giác OA2A Trên các tia OB1, OC1 tương tự cho các

điểm B2, C2 Chứng tỏ rằng các đường thẳng AA2, BB2, CC2 đồng quy tại 1 điểm

Bài 3 Cho A, B, C, D là 4 điểm phân biệt trên 1 đường thẳng và được sắp theo thứ tự

đó Các đường tròn đường kính AC và BD cắt nhau tại X và Y Đường thẳng XY cắt

BC tại Z Đường thẳng CP cắt đường tròn đường kính AC tại C và M, đường thẳng BP

cắt đường tròn đường kính BD tại B và N Chứng minh rằng các đường thẳng AM, DN

và XY đồng quy

DA sao cho KLMN là tứ giác nội tiếp có bán kính bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp

các tam giác ANK và CLM Tìm quỹ tích các giao điểm của đường chéo của tứ giác

KLMN

Bài 2 (Đài Loan – 1997) Gọi AB là đoạn thẳng cho trước Tìm tất cả các điểm C trong

mặt phẳng (chứa AB) sao cho trong tam giác ABC, đường cao kẻ từ A và đường trung

tuyến kẻ từ B có độ dài bằng nhau

Bài 3 (IMO 1965) Cho tam giác OAB có góc O nhọn, M là điểm tuỳ ý trên cạnh AB,

P và Q lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ M xuống OA và OB tương ứng

Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác OPQ Quỹ tích H sẽ là gì nếu M di động trong

miền trong của tam giác OAB

Bài 4 Cho đường tròn (C) có tâ I, bán kính R và điểm O cố định sao cho OI = 2R Gọi

(C1) và (C2) là hai đường tròn thay đổi qua O, tiếp xúc với (C) và trực giao với nhau,

M là giao điểm thứ hai của (C1) và (C2) Tìm tập hợp điểm M

Bài 5 Cho điểm A cố định ở miền trong của hình tròn tâm O bán kính R Gọi EF là

dây cung thay đổi luôn đi qua A của đường tròn (O) Tìm tập hợp các giao điểm M của

hai tiếp tuyến với đường tròn kẻ từ E và F

Bài 6 Gọi B, C là hai điểm cố định nằm trên một vòng tròn cho trước, A là điểm

chuyển động trên đường tròn đó Điểm I trên đoạn AB sao cho IA k k 0

IB  Tìm tập hợp các điểm M, hình chiếu của điểm I lên đường thẳng AC