Đường thẳng đi qua M vuông góc với tia phân giác của góc BAC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F giao điểm của đường thẳng đó với tia phân giác goch BAC là H.. dưới dạng số thập phân l[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HUYỆN YÊN MÔ
(ĐỀ CHÍNH THỨC)
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2015 – 2016 MÔN TOÁN
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
(Đề này gồm 05 câu, 01 trang)
Câu 1: (6,0 điểm)
1 Thực hiện phép tính
a) A= 5
15 +
14
25 -
12
9 +
2
7 +
11
25 b) B =
2 3 4 9 5 7 25 49
(2 3) 8 3 (125.7) 5 14
2 Tìm x, y, z biết
a) (3 − 9
10−|x+2|):(1910− 1−
2
5)+ 4
5=1 b) x3= y
4 , 3y=z
5 và
2 x −3 y +z=6
Câu 2: (3,0 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thoả mãn 3xy – 5 = x2 + 2y
b) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n thì:
3n 2n 3n 2n
chia hết cho 10
Câu 3: (3,0 điểm)
1 Cho ®a thøc A(x) = x + x2 + x3 + + x99 + x100
a) Chøng minh r»ng x= -1 lµ nghiÖm cña A(x)
b) TÝnh gi¸ trÞ cña ®a thøc A(x) t¹i x =
1 2
Câu 4: (6,0 điểm)
Cho ABC ( AB > AC), M là trung điểm của BC Đường thẳng đi qua M vuông góc với tia phân giác của góc BAC cắt cạnh AB, AC lần lượt tại E và F (giao điểm
của đường thẳng đó với tia phân giác goch BAC là H) Chứng minh rằng:
a) EH = HF
b) 2BME ACB B
c)
2
4
FE
d) BE = CF
Câu 5: (2,0 điểm) Giải bằng máy tính cầm tay
a) Tính giá trị của đa thức P(x) = 1 + x + x + x + + x2 3 10 tại x = 2,13 (kết quả ghi
dưới dạng số thập phân lấy trên màn hình).
b)Tìm 2 chữ số cuối của: A= 22010 + 22011 + 22012 + 22013 + 22014 + 22015+ 22016
-Hết -Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm.
Trang 2Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ ký của giám thị 1: Chữ ký của giám thị 2:
NĂM HỌC 2015- 2016
MÔN: TOÁN 7
Câu 1
(6đ)
1a.
1,0 đ
A= 155 + 1425 - 129 + 72 + 1125
=
3 25 2
3 25 7
= (−1+1) +
2
7
= 0 + 72 = 72
0,5 0,5
1b.
1,5đ
A
10
2 3 2 3 5 7 5 7
2 3 2 3 5 7 5 2 7
2 3 3 1 5 7 1 7
2 3 3 1 5 7 1 2
10 3
12 4
5 7 6
2 3 2
2 3 4 5 7 9
1 10
7 2
0,5 0,5 0,5
2.a
1,5 đ
Ta có (3 − 9
10 −|x+2|):(1910− 1−
2
5)+ 4
5=1
⇔(3010 −
9
10 −|x+2|):(1910 −
10
10 −
4
10)=1 −4
5
⇔(2110 −|x +2|): 5
10=
1 5
⇔ 21
10 −|x +2|=
1
5.
5
10=
1 10
⇔|x+2|= 21
10 −
1
10=2
⇔ x+2=− 2 ;2
⇔ x=− 4 ;0
Vậy x = 0; -4
0,25 0,25 0,25
0,25 0,25
0,25
2.b
2,0 đ Từ giả thiết:
x
3=
y
4⇒ x
9=
y
12 (1)
3y=z
5⇒ y
12=
z
20 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: x9= y
12=
z
20 (*)
0,5 0,5
Trang 3Ta có: x9= y
12=
z
20=
2 x
18 =
3 y
36 =
z
20=
2 x −3 y +z 18− 36+20=
6
2=3
Do đó: x9=3⇒ x=27
12y =3⇒ y=36
20z =3⇒ z=60
KL: x=27 , y=36 , z=60
0,5
0,5
Câu 2
(3,0đ)
a.
(1,0đ)
Theo đề ta có 3xy – 2y = x 2 + 5 y(3x – 2) = x 2 + 5 (1)
Do x, y nguyên nên suy ra x 2 + 5 chia hết cho 3x – 2
9.(x 2 + 5) chia hết cho 3x – 2
9.x 2 + 45 chia hết cho 3x – 2 9.x 2 - 6x + 6x – 4 + 49 chia hết cho 3x – 2
3x.(3x - 2) + 2(3x – 2) + 49 chia hết cho 3x – 2
49 chia hết cho 3x – 2 3x – 2 {− 49;− 7 ;−1 ;1;7 ; 49}
3x {− 47 ;−5 ;1; 3 ; 9 ;51} x {1; 3 ;17}
Thay x lần lượt vào (1) ta được y {6 ; 2;6} Vậy các cặp số (x, y) là (1;6), (3;2), (17;6)
0,25
0,25 0,25 0,25
b
(2,0đ)
3n2 2n23n 2n= 3n23n 2n2 2n =3 (3n 21) 2 (2 n 21) =3 10 2 5 3 10 2n n n n110 = 10( 3n -2n-1)
Vậy 3n2 2n23n 2n 10 với mọi n là số nguyên dương
0,5 0,5 0,5 0,5
Câu 3
(3đ)
1.a
(1,0đ)
A(-1) = (-1)+ (-1)2 + (-1)3+ + (-1)99 + (-1)100 = - 1 + 1 + (-1) +1 +(-1) + (-1) + 1 = 0
( v× cã 50 sè -1 vµ 50 sè 1) Suy ra x = -1 lµ nghiÖm cña ®a thøc A(x)
0,5 0,5
1.b
(2,0đ) + Víi x= 12 th× gi¸ trÞ cña ®a thøc A = 2 3 98 99 100
2 2 2 2 2 2
2.A 2
2 2 2 2 2 2 ) = 2 3 98 99
2 A =( 2 3 98 99 100
2 2 2 2 2 2 ) +1 - 100
1
1
2
A A
100
1 1 2
A
0,5
0,5 0,5 0,5
Trang 4Cõu 4
(6đ)
(0,5đ)
Vẽ hỡnh viết gt+ Kl đỳng cho 0,5đ
0,5
a
(1,0) C/m đợc AEH AFH(g-c-g) Suy ra EH = HF (đpcm) 1,0
b
(1,5đ)
Từ AEH AFH Suy ra E1 F
Xét CMF có ACB là góc ngoài suy ra CMF ACB F
BME có E1
là góc ngoài suy ra BME E 1 B
vậy CMF BME (ACB F ) ( E1 B )
hay 2BME ACB B (đpcm)
1,5
c
(1,5đ)
áp dụng định lí Pytago vào tam giác vuông AFH :
ta có HF 2 + HA 2 = AF 2 hay
2
4
FE
(đpcm)
1,5
d
(1,5đ)
C/m AHEAHF g c g( ) Suy ra AE = AF và E1 F
Từ C vẽ CD // AB ( D EF ) C/m đợc BMECMD g c g( ) BE CD (1)
và có E1 CDF
(cặp góc đồng vị)
do do đó CDF F CDF cân CF = CD ( 2)
Từ (1) và (2) suy ra BE = CF
0,25 0,5 0,25
0, 5
Cõu 5
(2đ)
a
(1,0đ)
Cỏch 1: Ta cú thức P(x) = 1 + x + x + x + + x2 3 10 =
11
x - 1
x - 1 Thay x = 2,13 ta được kết quả P(2,13) =
11
2,13 - 1 2,13 - 1 3622,355813.
Cỏch 2: Nhập vào mỏy: 10 X
x=0
2,13
ta được kết quả P(2,13)
3622,355813.
b
(1,0đ)
HD: A = 22000(210 + 211 + 212 + 213 + 214 + 215+ 216)
= (220)100 x 130048
mà 220 = (210)2 =10242 = 1048576
Ta nhận thấy bất kỳ một số cú đuụi là 76 thỡ lũy thừa luụn luụn cú
đuụi là 76 (dựng mỏy để kiểm tra)
Do đú: A = 130048 x (…76) = … 48 Vậy 2 số cuối của A cú giỏ trị là 48
0,5
0,5
Ghi chỳ:
1
C H
M E
D B
A
F
Trang 5- Bài hình học nếu học sinh không vẽ hình hoặc hình sai cơ bản thì không chấm
- Mọi cách giải khác, nếu đúng vẫn cho điểm tối đa tương ứng