Gọi O là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD một khoảng R.. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=..[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT TRẦN QUỐC TUẤN ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG 12
TỔ TOÁN Môn: Toán (Lần 1) – Năm học 2017 – 2018
Thời gian: 180 phút (không kể TG giao đề)
Câu 1(4.0 điểm)
1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình x3−3 x2− 9 x+3 m=0 có ba nghiệm thực phân biệt
2 Chứng minh hàm số y=1
4 x
4
− mx3+3
2(m
2
+1) x2+x +m có đúng một điểm cực trị với mọi giá trị của tham số m
Câu 2(5.0 điểm)
1 Tìm tập xác định của hàm số y=√log1
3
(16 − x2)+2
2 Giải hệ phương trình
¿
√x2+x − 2√y =√xy − 2√x +1
10( √3 x +1 −√y+1)=6 x2+7 y − 12
¿{
¿
Câu 3(3.0 điểm)
1 Cho tam giác ABC có ba cạnh AB=c , AC=b , BC=a Đường cao AH=h Chứng
minh rằng nếu S Δ ABC=1
4(a+b −c )(a+c − b) thì bc=h√b2+c2
2 Một nhóm 6 bạn học sinh cùng học lớp 12 chơi thân nhau (có cả nam và nữ), trong đó
có Vinh và Ngọc Nhóm bạn dự kiến chụp mấy kiểu hình kỷ niệm trước khi chia tay năm cuối cấp Sắp ngẫu nhiên 6 bạn thành một hàng dọc để chụp hình, tính xác suất để hai bạn Vinh và Ngọc được đứng cạnh nhau?
Câu 4(5.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 2a Gọi M là
trung điểm của cạnh AD và H là giao điểm của BM với AC Biết SH vuông góc với mp(ABCD)
và góc giữa SB với mp(ABCD) bằng 600
1 Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.
2 Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng BM và SD theo a.
3 Gọi O là điểm cách đều tất cả các đỉnh của hình chóp S.ABCD một khoảng R Tính R theo a
Câu 5(3.0 điểm)
Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn 2 ab+a+b=4 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P= 2a a+2+
2 b
b+2+
4 ab
a+b − a
2−b2
Trang 2ĐÁP ÁN
1
(4.0đ)
1
(2.0đ) * x
3−3 x2− 9 x+3 m=0 ⇔ x3− 3 x2−9 x=− 3 m (1)
* Xét hàm y=¿ x3−3 x2− 9 x Tính y’, giải pt y’ = 0 …
* BBT: ……
* Từ BBT suy ra (1) có ba nghiệm khi −27<−3 m<5 ⇔−5
3<m<9
0.5 0.5 0.5 0.5 2
(2.0đ) * TXĐ: D = R* y '=x3
−3 mx2+3(m2+1)x +1
y '=0 ⇔ g (x)=x3
−3 mx2+3 (m2+1) x+1=0 (1)
* Ta có x −m¿
2
+3>0 , ∀ x ∈ R
g '(x )=3 x2−6 mx+3(m2+1)=3¿
Suy ra hàm số g(x) đồng biến trên R => pt (1) có đúng 1 nghiệm x0=a
Mặt khác, với hai số x1, x2: x1<a<x2 , ta có: y ' (x1)<0< y ' (x2) nên y’
đổi dấu khi x đi qua điểm x = a
* Vậy hàm số đã cho có một cực trị với mọi m
0.5
0.5 0.5
0.5 2
(5.0đ)
1
(2.0đ) * ĐK: log13
(16 − x2)+2≥ 0
⇔
16 − x2>0
16 − x2≤ 9
¿{
⇔
− 4<x ≤−√7
¿
√7 ≤ x <4
¿
¿
¿
¿
¿
* Vậy TXĐ: D=¿∪¿
0.5
1.0 0.5
2
(3.0đ)
Xét hệ:
¿
√x2
+x − 2√y =√xy − 2√x +1(1)
10( √3 x +1 −√y+1)=6 x2+7 y − 12(2)
¿{
¿
* ĐK: x ≥ 0 , y ≥ 0
* (1)⇔( √x +2) ( √x+1 −√y)=0⇔ y=x +1
* Thay vào (2) được: 10( √3 x +1 − √x+2)=6 x2+7 x −5
⇔ 10(2 x − 1)
√3 x +1+√x+2=(2 x −1)(3 x+ 5)
⇔(2 x −1)(10√3 x +1+√x +2 − 3 x −5=0)
⇔
2 x −1=0(3)
¿
10
√3 x +1+√x +2 − 3 x −5=0(4)
¿
¿
¿
¿
¿
* (3) => x = 1/2 => y = 3/2
0.25 0.5 0.25
1.0
0.5
0.5
Trang 3* Nhận xét: Với x ≥ 0⇒√3 x+1+√x +2>2⇒10
√3 x+1+√x +2<5
=> (4) vô nghiệm Vậy hệ có một nghiệm (1/2; 3/2) 3
(3.0đ)
1
(1.5đ)
* Gọi p là nửa chu vi của tam giác ABC Ta có
S Δ ABC=√p (p − a)( p −b)( p −c )=1
4(a+b − c)(a+c − b)
a+c − b¿2
a+b − c¿2¿
⇔ 1
16 (a+b +c)(b+c −a)(a+c − b)(a+b −c )=
1
16 ¿
⇔ ⇔b2
+c2=a2 => Tam giác ABC vuông tại A
* AH là đường cao của tam giác vuông ABC nên ta có: 1
h2= 1
b2+1
c2 hay bc=h√b2+c2
0.5
0.5
0.5 2
(1.5đ)
* Gọi biến cố A: “ … Vinh và Ngọc đứng cạnh nhau”
* Số khả năng có thể là P6=6 !=720
* Số khả năng thuận lợi cho A là 5 !.2 !=240
Vậy P A=240
1 3
0.5 0.5 0.5 4
(5.0đ)
1
(1.5đ) * Chứng tỏ được SBH
❑
=600
* BH=2
2a√5
3 ⇒ SH= 2 a√15
3
9
0.5 0.5
0.5
2
(2.0đ)
* Dựng DN // BM Dựng HI DN, HK SI
* BM // (SDN) nên d (BM , SD)=d (H ,(SDN))
Chứng minh được HK⊥(SDN)⇒ HK=d (H ,(SDN))
* Tính được HI=2 a
√5 , từ đó tính được HK=
a√35
Vậy d (BM , SD)= a√35
7
0.5 0.5 0.5
0.5 3
(1.5đ) * Gọi
E là giao điểm của AC và BD Dựng
Et qua E và Et⊥(ABCD) Mặt phẳng trung trực của cạnh SC cắt Et tại O Vì ABCD
là hình vuông nên O cách đều A, B, C, D
Và vì OS = OC nên O cách đều 5 đỉnh của hình chóp S.ABCD
* Dễ thấy OA = R chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAC
* S ΔSAC=SA SC AC
* SA=2 a√7
3 , SC=
a√23
3 , AC=2 a√2 và S ΔSAC=2 a2√30
3 Từ
đây tính được R= a√2415
0.5
0.5
0.5
S
A
D
K M
S
A
D H
M O
E F
Trang 4* Đặt t=a+b ,t ≥2 , ⇒ab= 4 −t
2
* P=¿
a+b¿2−2 ab
¿= =4
3+
8
t − t
2−t +2=f (t)
4 ab+4(a+b)+4
4 ab
a+b −¿
* f ' (t)=−8
t2−2 t − 1<0 , ∀ t ≥ 2 => f(t) nghịch biến trên (2;+∞)
Nên f (t)≤ f (2)=4
3, ∀ t ≥2
* Vậy MaxP=4 /3 khi a = b = 1
1.0
0.5
0.5
……… Hết ………