TOÀN TẬP HÀM SỐ VD VDC – HÀM ĐẶC TRƯNG

THẦY HUY ĐEN HÀM ĐẶC TRƯNG... NỘI DUNG TÀI LIỆU Dạng 1: Sử dụng hàm đặc trưng giải phương trình ..... Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong khoảng 20; 20 để phương trình có nghiệm... G

THẦY HUY ĐEN

HÀM ĐẶC TRƯNG

HÀM ĐẶC TRƯNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

Nội dung cần lưu ý

Nếu hàm số y f x luôn đơn điệu và liên tục trên tập Dthì số nghiệm trên Dcủa phương trình

 

f x a không nhiều hơn một (tối đa 1 nghiệm) và f u  f v uv,u v, D

Nếu hàm số y f x luôn đơn điệu tăng và liên tục trên tập D, yg x luôn đơn điệu giảm và

liên tục trên tập D thì số nghiệm trên Dcủa phương trình f x g x  không nhiều hơn một (tối đa 1

nghiệm)

   :  /  

,

f don dieu D

u v D

Hệ quả

Nếu hàm số y f x luôn đồng biến và liên tục trên tập D thì f u  f v uv,u v, D

Nếu hàm số y f x luôn nghịch biến và liên tục trên tập D thì f u  f v uv,u v, D

NỘI DUNG TÀI LIỆU

Dạng 1: Sử dụng hàm đặc trưng giải phương trình 2

Dạng 2: Sử dụng hàm đặc trưng giải bất phương trình 22

Dạng 3: Sử dụng hàm đặc trưng giải bài toán cặp nghiệm x y;  41

Dạng 4: Sử dụng hàm đặc trưng giải bài toán max min 60

Bài tập tự luyện 75

Đáp án chi tiết (Xem trong link lớp live 9+) 92

B CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Dạng 1: Sử dụng hàm đặc trưng trong giải phương trình

Phương pháp:

Nếu hàm số y f x luôn đơn điệu và liên tục trên tập Dthì số nghiệm trên Dcủa phương trình

 

f x a không nhiều hơn một (tối đa 1 nghiệm) và f u  f v uv,u v, D

Nếu hàm số y f x luôn đơn điệu tăng và liên tục trên tập D, yg x luôn đơn điệu giảm và

liên tục trên tập D thì số nghiệm trên Dcủa phương trình f x g x  không nhiều hơn một (tối đa 1

nghiệm)

   :  /  

,

f don dieu D

u v D

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình

log 2xm 2 log xx 4x2m1 có hai nghiệm thực phân biệt?

Lời giải

Ví dụ 2: Phương trình 2 2 2 2 3 2 log 4 3 3 5 8 x x x x x x        có nghiệm các nghiệm x x1; 2 Hãy tính giá trị của biểu thức A  x12 x22 3 x x1 2 A 31 B  31 C 1 D  1 Lời giải

Ví dụ 3 : Cho phương trình 5xmlog5xm Có bao nhiêu giá trị m nguyên trong khoảng 20; 20 để phương trình có nghiệm A 15 B 14 C 19 D 17 Lời giải

Ví dụ 4: Cho 0x2020 và log22x2 x 3y8y.Có bao nhiêu cặp số x y nguyên ;  thỏa mãn các điều kiện trên? A 2019. B 2018 C 1 D 4 Lời giải

Ví dụ 5: Phương trình   2 3 2 2 1 log 3 8 5 1 x x x x      có hai nghiệm là a và a b Giá trị của b là A 1 B 4. C 2 D 3 Lời giải

Ví dụ 6: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình   3  3 f f x m x m có nghiệm x  1;2 biết f x( )x53x34m A 16 B 15 C 17 D 18 Lời giải

Ví dụ 7: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m   2021; 2021 để phương trình

2021m 2021mx x có hai nghiệm thực phân biệt

A 2018 B 2019 C.2021 D 2022

Lời giải

Ví dụ 8: Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ bên Tìm giá trị của t ham số m để phương trình     3 2 2 2 1 m m f x f x     có đúng ba nghiệm thực phân biệt A m  2 B m  26 C m  10 D m 1 Lời giải

Ví dụ 9 : Cho hàm số y f x  liên tục trên  và có đồ thị như hình vẽ Có bao nhiêu giá trị của tham số m để phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt     3 2 2 4 3 2 5 m m f x f x     A 0 B 1. C 2. D 3 Lời giải

Ví dụ 10: Có bao nhiêu số nguyên a   200 ; 200 để phương trình     ln 1 ln 1 x x a e e   x  x a có nghiệm thực duy nhất A 399 B 199 C 200 D 398 Lời giải

1 2 3

6

1

 O 1

4

y

x

Ví dụ 11: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để tồn tại các số thực x, y thỏa mãn đồng thời 3x 5y10 x 3y 9 1 2 2 e   e    x y và 2      2 5 5 log 3 x  2 y  4  m  6 log x  5  m   9 0 A 3 B 5 C 4 D 6 Lời giải

Ví dụ 12: Xét các số thực dương ,x y thỏa mãn  2  2 1 2 2 2019 ( 1) x y x y x      Giá trị nhỏ nhất Pmin của biểu thức P2y x bằng A min 1 4 P  B min 1 2 P  C min 7 8 P  D min 15 8 P  Lời giải

Ví dụ 13: Biết rằng phương trình

2

2 2

2

x

x



có hai nghiệm xab c và

xa b c với a b c, , là các số nguyên dương Tính tích a b c

Lời giải

Ví dụ 14: Cho phương trình sau:   2 2 2 1 2 1 1 log 2 3 log 1 2 2 2 x x x x x x               Gọi S là tổng tất cả các nghiệm phương trình trên Giá trị của S là: A S   2 B 1 13 2 S   C S 2 D 1 13 2 S   Lời giải

Ví dụ 15 : Nghiệm nhỏ nhất của phương trình

2

5

1

2 log x 2x 6x 1 0

x



c

 , t

rong đó a c, ,b ,b

a

  tối giản Tính giá trị của biểu thức: Pa  b c

A P 6. B P 4. C P  8 D P  5

Lời giải

Ví dụ 16: Tất cả các nghiệm của phương trình  2021 2021 2021x 4041 2021 xlog 2021 2x1 thỏa mãn bất phương trình nào sau đây? A x  2 1 0 B x23x0 C x2 x 0 D x22x 3 0 Lời giải

Ví dụ 17: Cho phương trình sau:  2  3 2

2

log x 2x1 x x 4x  Biết rằng phương trình 2 0

trên có 1 nghiệm dương có dạng x o a b c , trong đó a b ; , c là số nguyên tố Tính giá trị biểu

thức T 2a3bc

A T  8 B 25

4

T  C 17

2

T  D 31

2

T 

Lời giải

Ví dụ 18: Có bao nhiêu cặp số nguyên dương x y với ;  x 2020 thỏa mãn     3  2 3xy 3 1 9 y log 2x1 A 3 B 1010 C 4 D 2020 Lời giải

Ví dụ 19: Có bao nhiêu cặp số x y là các số nguyên không âm thỏa mãn

2 1 x2y log (x2 )y 2 log x y 2xyx 2 xy 4x4y ?

Lời giải

Ví dụ 20: Tìm các giá trị m để phương trình sin 5 cos 5   sin 5 cos 10 3 x xm log x x m 5 có nghiệm A 6m 6. B  5 m C 5 5 6m 5 6 D  6m5 Lời giải

Ví dụ 21 : Cho hai số thực x y, thỏa mãn log 3 2 2  3  3 2 x y x x y y xy x y xy          Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 2 3 6 x y P x y      A 43 3 249 94  B 37 249 94  C 69 249 94  D 69 249 94  Lời giải

Ví dụ 22: Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để phương trình   3 3 3 3 2 3 3x  m x x 9x 24xm 3x 3x1 có ba nghiệm phân biệt bằng A 4 5 B 3 8 C 3 4 D 2 7 Lời giải

Ví dụ 23: Cho phương trình  12  2    2 2 2x log x 2x3 4x m log 2 x m 2 với m là tham số thực Có bao nhiêu giá trị nguyên của m trên đoạn 2021; 2021 để phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt A 4042 B 4039 C 4041 D 4040 Lời giải

Ví dụ 24: Phương trình 2 3 2 2 1 log 3 8 5 ( 1) x x x x      có hai nghiệm là a và a b Giá trị của b là A 1 B 4. C 2 D 3 Lời giải

Ví dụ 25: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số mđể tồn tại các số thựcx y, thỏa mãn đồng thời e3x5y10e x3y9 1 2x2yvà       2 2 5 5 log 3x2y4  m6 log x5 m  9 0 A 3 B 5 C 4. D 6 Lời giải

Ví dụ 26: Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2

2 2

A 2 B 3. C 1. D 0

Lời giải

Ví dụ 27 : Tìm số giá trị nguyên của m thuộc 20 ; 20 để phương trình 2 2 2 2 log (x mx x 4)(2m9)x 1 (1 2 ) m x 4 có nghiệm? A 12 B 23 C 25 D 10 Lời giải

Ví dụ 28: Tổng tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

2

2

2 1 2

2 3

3x  x  x m logx x 2 xm 2 có đúng ba nghiệm phân biệt là

Lời giải

Ví dụ 29: Phương trình 2 3 3  3 2  2 1 2x  m x x 6x 9xm 2x 2x 1 có 3 nghiệm phân biệt khi và

chỉ khi m( ; )a b đặt T b2 a2 thì: A T 36 B T 48 C T 64 D T 72 Lời giải

Ví dụ 30: Gọi 0 a b 3 x c   là một nghiệm lớn hơn 1 của phương trình   1 1 2 1 2 3 1 2 1 3 x x x x                    Giá trị của Pa b c  là A P 6 B P 0 C P  2 D P  4 Lời giải

Ví dụ 31: Cho hàm số f x( )3ln x 3lnx Biết rằng phương trình    3    3 2 3 3 3 2 2 2 3 log 2 9 7 6 log ln 3 x f x x f x x              có nghiệm x0 được viết dưới dạng là: 0 3 a x b c   với a b c, , nguyên dương Từ đó giá trị của biểu thức Pa b  là c A 3 B 1 C 5 D 4 Lời giải

Ví dụ 32: Biết phương trình: 2 2 2 2 3 2 log 4 3 3 5 8 x x x x x x        có nghiệm các nghiệm x x1; 2 Hãy tính giá trị của biểu thức Ax1x2 A 3 B 2 C 4 D  1 Lời giải

Ví dụ 33 : Tìm số nghiệm của phương trình 2   2 3 1 3 log x   x 1 log 1 2 x 2x 1 x  x 1 A 2 B 1 C 3 D 4 Lời giải

Ví dụ 34: Tổng tất cả các nghiệm của phương trình:  3 2  3 2  2  2022 2022 log x x 10x2 3x 9x 45x27log 2x 5x7 là: A 3 B 6 C 3 6 D 6 Lời giải

Ví dụ 35: Phương trình  

 

1







Lời giải

Ví dụ 36: Tìm số nghiệm của phương trình   4  2 3 1 log 3 1 1 4 2 1 log 2 x x x x x      A 2 B 1 C 3 D 4 Lời giải

Ví dụ 37: Phương trình 2021  2021 2 1 76 5 1 1 22 log 1 log 4 1 2 x x 9 3 x x x 3x               có bao nhiêu nghiệm? A 2 B 1 C 3 D 0 Lời giải

Ví dụ 38: Số nghiệm dương của phương trình 2 2 3 3 1 log 1 1 1 2 2 2 1 log 2 2 x x x x x                  là A 0 B 3 C. 2 D. 1 Lời giải

Ví dụ 39 : Tìm số nghiệm của phương trình 1 2021 7 3 log 7 7.3 56 14 0 8 2 x x x x x x               A 0 B 2 C. 1 D 3 Lời giải

Ví dụ 40: Cho hàm số  2  ( ) ln 1 x x f x  x  x e e Hỏi phương trình   2 2 2 1 1 log 2 3 log 1 2 2 0 2 2 1 x f x x f x x x                              có bao nhiêu nghiệm thực? A 3 B 0 C 2 D 1 Lời giải

Ví dụ 41: Tính tổng S của tất cả các nghiệm của phương trình 1 5 3 ln 5 5.3 30 10 0 6 2 x x x x x x               A S  1 B S 2 C S   1 D S  3 Lời giải

Ví dụ 42: Cho phương trình log3 2 1 3 log25 3

Biết rằng phương trình trên

có nghiệm duy nhất có dạng là xa b c (với a b c  ; ; , c tối giản) Tính giá trị của

Dạng 2: Sử dụng hàm đặc trưng trong giải bất phương trình

Phương pháp: Cần nhớ Hệ quả

Nếu hàm số y f x luôn đồng biến và liên tục trên tập D thì f u  f v uv,u v, D

Nếu hàm số y f x luôn nghịch biến và liên tục trên tập D thì f u  f v uv,u v, D

Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m   2019; 2019 để bất phương

1m x 3 2m x  13m3m x10m m  đúng0 với mọi x  1;3 Số phần tử của tập S là

Ví dụ 2: Cho bất phương trình 3 x4x2m32x2 1 x2x21 1 m Tìm tất cả các giá

trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  1

Ví dụ 5: Cho f x 2022x2022x Gọi S là tập hợp các số nguyên dương m thỏa

log10xlog x 3 mlog100x với m là tham số thực Có

bao nhiêu giá trị của m nguyên dương để bất phương trình có nghiệm thuộc 1; 

A 1 B 3 C vô số D 2

Ví dụ 12: Có bao nhiêu số nguyên x   2021; 2022 thỏa mãn bất phương trình

Ví dụ 19: Tính tổng các nghiệm nguyên dương của bất phương trình sau

Ví dụ 21 : Tích của nghiệm nguyên âm lớn nhất và nghiệm nguyên dương nhỏ nhất của bất

phương trình 4x212x24x 6 16x2 bằng bao nhiêu?

Lời giải

Ví dụ 24: Biết rằng bất phương trình

3 2

6 4

x x x

x x x x

   có tập nghiệm S a b c d;  với a b c d , , , và c  Tính giá trị của biểu thức S1 a  b c d

Ví dụ 26: Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m nhỏ hơn 2018 để phương trình

Ví dụ 33: Số nghiệm nguyên của bất phương trình

2

2 7

Ví dụ 40: Tập nghiệm của bất phương trình 4  

2

2 2

Ví dụ 42: Tập nghiệm của bất phương trình  

Ví dụ 44: Số nghiệm nguyên của bất phương trình 3 3   

Dạng 3: Sử dụng hàm đặc trưng giải bài toán cặp nghiệm x y; 

Phương pháp:

Sử dụng linh hoạt hàm đặc trưng, kỹ năng đánh giá, cô lập,… nói chung dạng này đòi hỏi sự

tâm linh khá cao

Ví dụ 3 : Có bao nhiêu số nguyên x sao cho tồn tại số thực dương y thỏa mãn 2x2y2 2.2y x ?

Ví dụ 6: Cho x y, là các số thực thỏa mãn bất phương trình: log22x2 x 3y8y Biết

0x20, số các cặp x y, nguyên không âm thỏa mãn bất phương trình trên là

Ví dụ 7: Cho 0 x2020 và log (22 x2) x 3y8y.Có bao nhiêu cặp số ( ; )x y nguyên

thỏa mãn các điều kiện trên?

Lời giải Lời giải