Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải một số bài toán liên quan tới lũy thừa và lôgarit – giải tích lớp 12

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI LŨY THỪA VÀ LÔGARIT – GIẢI TÍCH LỚP

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT HOẰNG HOÁ 4

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KHAI THÁC TÍNH CHẤT HÀM ĐẶC TRƯNG ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN TỚI LŨY THỪA VÀ

LÔGARIT – GIẢI TÍCH LỚP 12

Người thực hiện: Thịnh Thị Hồng Chức vụ: Giáo viên

SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA, NĂM 2020

MỤC LỤC Trang

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài 1

1.2 Mục đích nghiên cứu 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 3

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm 3

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 3

2.3 Các giải pháp thực hiện 4

2.3.1 Các kết quả cơ bản của hàm đặc trưng 4

2.3.2 Một số ví dụ về việc tìm hàm đặc trưng và cách khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải một số bài toán liên quan đế lũy thừa và lôgarit ………… 5

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm 14

2.4.1 Trước khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm…… ……… …… …14

2.4.2 Sau khi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm……… ….15

3 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học là một trong những môn học khó, học sinh muốn học tốt cần phải hiểu được bản chất của các vấn đề, biết được định hướng khai thác các tính chất đặc trưng của bài toán để vận dụng giải các bài tập Mặt khác bài tập toán rất đa dạng và phong phú, trong phân phối chương trình số tiết ôn tập lại không nhiều so với nhu cầu luyện tập các dạng bài tập cho học sinh Chính vì thế, giáo viên khi giảng dạy cần phải định hướng cho học sinh cách khai thác giả thiết một cách tốt nhất, hiệu quả nhất nhằm giúp các em có định hướng trong việc giải bài tập Hướng dẫn cho học sinh định hướng khai thác giả thiết sẽ tạo cho học sinh có cảm giác mình đã giải được bài toán, tạo cho học sinh niềm say mê,

sự hứng thú và yêu thích môn học

Trong các đề thi trung học phổ thông Quốc gia, đề thi học sinh giỏi những năm gần đây, các câu hỏi có liên quan tới tính chất đơn điệu của hàm đặc trưng rất đa dạng và phong phú, đặc biệt là các câu hỏi liên qua tới lũy thừa và lôgarit, đồng thời nhóm câu hỏi này thường nằm trong các câu hỏi thuộc nhóm câu hỏi vận dụng hay vận dụng cao Gặp những câu hỏi liên quan đến chủ đề này học sinh thường lúng túng trong việc tìm ra hàm đặc trưng, cách khai thác tính chất của hàm đặc trưng Giúp học sinh trong việc tìm ra hàm đặc trưng, cách khai thác tính chất của hàm đặc trưng là một trong những phương pháp giảng dạy hiệu qủa nhất giúp học sinh tự tìm tòi và sáng tạo trong việc giải các bài tập liên quan tới vấn đề này

Qua thực tế 13 năm giảng dạy ở trường trung học phổ thông tôi đã tìm tòi và nghiên cứu tính chất của hàm đặc trưng và cách khai thác các tính chất này nhằm giúp học sinh giải được các dạng bài tập khó có liên quan tới lũy thừa và lôgarit Vì vậy tôi chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm để nghiên cứu là:

“Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải một số bài toán liên quan tới lũy thừa và lôgarit – Giải tích lớp 12”

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Mục đích của đề tài này là giúp các em học sinh tìm tòi được hàm đặc trưng và cách khai thác tính chất của hàm đặc trưng để giải các bài toán có liên quan tới lũy thừa và lôgarit (như: biện luận số nghiệm của phương trình; giải phương trình hai ẩn; tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất) Từ đó các em

có thể phân loại và đưa ra các phương pháp giải các bài tập liên qua tới lũy thừa và lôgarit một cách nhanh nhất, chính xác và đạt hiệu quả cao nhất

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài “Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải một số bài toán liên quan

tới lũy thừa và lôgarit – Giải tích lớp 12” tập trung nghiên cứu một số kỹ

năng chỉ ra hàm đặc trưng và cách khai thách tính đơn điệu của hàm đặc nhằm tìm ra định hướng giải một số bài toán về lũy thừa và loogarit trong chương trình giải tích lớp 12 THPT

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

1.4.1 Nghiên cứu lí luận.

-Nghiên cứu cơ sở lí luận để làm sáng tỏ cách chỉ ra hàm đặc trưng và khai thác tính chất của hàm đặc trưng nhằm tìm ra định hướng giải toán, áp dụng để giải các dạng bài tập liên quan tới lũy thừa và lôgarit nói riêng và bài tập toán nói chung

1.4.2 Nghiên cứu thực tiễn.

- Nghiên cứu nội dung sách giáo khoa và tìm hiểu chương trình giải tích lớp 12 THPT, nghiên cứu các tài liệu tham khảo có liên quan để xác định các dạng bài tập có liên quan tới lũy thừa và lôgarit, cách chỉ ra hàm đặc trưng Từ đó xác định các cách tìm hàm đặc trưng để vận dụng giải các bài tập nhanh và chính xác nhất

1.4.3 Thực nghiệm sư phạm

- Tiến hành giảng dạy song song với việc tìm hiểu các học sinh lớp 12 trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá Trên cơ sở phân tích định tính

và định lượng kết quả thu được trong quá trình thực nghiệm sư phạm để đánh giá tính khả thi và tính hiệu quả của các biện pháp do đề tài sáng kiến đưa ra

- Thời gian tiến hành thực nghiệm sư phạm: Từ tháng 9 năm 2019 đến tháng 06 năm 2020

- Địa điểm: Trường THPT Hoằng Hoá 4 – Hoằng Hoá – Thanh Hoá

1.5 Những điểm mới của sáng kiến kinh nghiệm.

- Đề tài “Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải một số bài toán liên

quan tới lũy thừa và lôgarit – Giải tích lớp 12” đã đưa ra một số phân tích và

định hướng trong việc tìm hàm đặc trưng để giải bài toán liên quan tới lũy thừa và lôgarit

- Từ các phân tích định hướng này giúp các em học sinh có thể phân loại và đưa ra phương pháp giải phù hợp để giải một số dạng bài tập thường gặp lũy thừa và lôgarit trong các đề thi THPT quốc gia

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

Việc dạy học toán học trong nhà trường phổ thông không chỉ giúp học sinh hiểu được sâu sắc và đầy đủ các kiến thức toán học phổ thông mà còn giúp các em vận dụng các kiến thức đó giải quyết nhiệm vụ của bài tập toán Để đạt được điều đó, học sinh phải có những định hướng đúng đắn nhất trong việc giải toán Kỹ năng biến đổi giả thiết để tìm ra định hướng giải toán là thước đo độ sâu sắc và vững vàng những kiến thức toán mà học sinh đã được học

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

Qua thực tế khảo sát học sinh các lớp trực tiếp giảng dạy và học sinh các khối lớp trong trường tôi nhận thấy việc định hướng tìm ra lời giải của học sinh tương đối thụ động, phụ thuộc vào giáo viên giảng dạy, đặc biệt việc giải các bài toán khó còn rất hạn chế Khi gặp một dạng bài tập toán học sinh thường lúng túng trong quá trình phân tích, phân loại dạng bài tập và sử dụng kiến thức liên quan để giải quyết bài toán đó Các tài liệu tham khảo hiện có thường chỉ giải một số bài tập cụ thể, vì vậy học sinh không áp dụng được cho các dạng bài tập

ở dạng tương tự Các năm gần đây, để phân loại học sinh khá giỏi,trong các đề thi thường xuyên xuất hiện một số câu hỏi khó về lũy thừa và lôgarit có sử dụng

tính chất của hàm đặc trưng để giải Khi gặp những dạng bài tập này đòi hỏi học sinh phải sử dụng nhiều kỹ năng biến đổi trong toán học kết hợp với bản chất hàm đặc trưng mới đưa ra cách giải nhanh và chính xác Xuất phát từ thực trạng

đó tôi đã viết đề tài “Khai thác tính chất hàm đặc trưng để giải một số bài

toán liên quan tới lũy thừa và lôgarit – Giải tích lớp 12” nhằm giúp học sinh

có cái nhìn tổng quan về dạng toán này, phân loại và đưa ra các phương pháp giải phù hợp với từng dạng bài tập, giúp học sinh khắc sâu kiến thức và vận dụng để giải quyết được các câu hỏi ở mức độ vận dụng và vận dụng cao trong đề thi THPT quốc gia

2.3 Các giải pháp thực hiện.

2.3.1.[3] Các kiến thức trọng tâm về hàm đặc trưng.

Kết quả 1: Nếu hàm số yf(t) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên tập D, khi đó ta có : u v D f,  ; (u) f(v)  u v

Kết quả 2: Nếu hàm số yf(t) luôn đồng biến và liên tục trên tập D, khi đó ta

có : u v D f,  ; (u) f(v)  u v

Kết quả 1: Nếu hàm số yf(t) luôn nghịch biến và liên tục trên tập D, khi đó

ta có : u v D f,  ; (u) f(v)  u v

2.3.2 Một số ví dụ về việc tìm hàm đặc trưng và cách khai thác tính chất hàm đặc trưng trong việc giải một số bài toán liên qua tới lũy thừa và lôgarit.

Ví dụ 1.[9]: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện 5x y  Tìm4

m để phương trình

2

2 3

2

x y

Phân tích bài toán:

+) Vấn đề khó của bài toán này là cách tìm ra hàm đặc trưng từ phương trình bài

toán cho, để đơn giản hơn ta có thể đặt: u x 22y m v ; 3(x y )

+) Khi đó phương trình trở thành

log u u v 0 log u u log v v

đây ta sẽ chọn được hàm đặc trưng f(t) log 3t t

+) Tuy nhiên bài toán này sẽ khó hơn trong việc tìm hàm đặc trưng nếu như bài

toán cho dưới dạng

2

2 3

2

x y



Bài giải: Ta có phương trình

2

2 3

2

x y



log (x 2 y m) x 2 y m log 3(x y) 3(x y) (1)

Vì ,x y 0 x y  Xét hàm đặc trưng 0 f(t) log 3t t t ,  ,có0

1

.ln 3

t

Suy ra hàm số đồng biến trên (0; ) Khi đó (1) x22y m 3x3y  x2  3x y m 

Kết hợp với điều kiện 5x y  4 y  4 5 x Vì

4

5

x y    x

Ta có (1) x22x m  4 0  m x2 2x4, (2)

Nhận thấy hàm số y  x2 2x nghịch biến trên 4

4 (0; )

5 Phương trình đã cho

có nghiệm khi phương trình (2) có nghiệm thuộc

4 (0; )

5 , tương đương với 44

4

25 m

Ví dụ 2.[9]: Tìm m để phương trình log (m2  m2 ) 2x  xcó nghiệm

Phân tích bài toán: +) Đối với bài tập này trước hết ta biến đổi về phương trình

mũ bằng cách sử dụng tính chất của lôgarit

+) Khi đó ta sử dụng phép đặt u m2 ; v 2x  x để tìm ra hàm đặc trưng

Bài giải: Ta có

x x

m





2 (1) (m 2 ) x  m2x (2 )x 2x

Xét hàm số đặc trưng f(t) t 2 t, (t 0) Nhận thấy hàm số đồng biến trên khoảng (0; )

Khi đó phương trình (1) f( m2 ) f(2 )x  x  m2x 2x (2)

Đặt t 2 , (t 0)x  , khi đó phương trình (2) trở thành m t t   m t 2 t (3) Vậy phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình (3) có nghiệm t  Lập0

bảng biến thiên của hàm số f(t) t  trên khoảng (0;2 t  ta có giá trị m cần) tìm là

1 4

m

Ví dụ 3.[9]: Tìm m để phương trình sau có nghiệm

2

1 2

2

4 x m log (x 2 x 3) 2 x x log (2 x m 2) 0

Phân tích bài toán:

+) Đây là bài toán vừa chứa lũy thừa và lôgarit, khi đó định hướng đầu tiên ta chuyển về cùng cơ số

+) Sau đó ta sử dụng phép đặt u 2 x m v ;  (x 1)2 để tìm hàm đặc trưng

Bài giải:

Ta có phương trình

2

1 2

2

4x m log (x 2 x 3) 2 x x log (2 x m 2) 0

2

2 x m log (x 1) 2) 2 x log (2 x m 2) 0

2

1 2 1 ( 1)

2

(1) log (2 2) log ((x 1) 2)

x m

Xét hàm số đặc trưng

1

2

2 (t)

log (t 2)

t

f







1 1

2

2 2

2

2 ln 2.log (t 2)

(t 2).ln 2

log (t 2)

t t









Suy ra hàm số (t)f nghịch biến trên khoảng ( 2;  , khi đó (1) trở thành)

2

2

 Khi đó phương trình (1) có nghiệm khi phương trình (2) hoặc (3) có nghiệm

2

3

1

2

m m

m m

m









   



 





Vậy phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị m

Ví dụ 4.[9]: Cho phương trình

2

3 log (3x  6 x 6) 3  y  y  x 2x Hỏi có1 bao nhiêu cặp số (x; y) với 0 x 2020; y  thỏa mãn phương trình đã cho ?

Phân tích bài toán:

+) Đây là bài toán có kết hợp giữa lũy thừa và lôgarit đã cùng cơ số, tuy nhiên việc tìm ra hàm đặc trưng tương đối khó

+) Khi đó trước hết ta đặt z log (x3 2 2x 2)  x2 2x 2 3  để chuyển hếtz

về biểu thức lũy thừa để thuận tiện cho việc tìm ra hàm đặc trưng

Bài giải: Ta có phương trình

2

3 log (3x  6 x 6) 3  y  y  x 2x 1

2

3

1 log (x 2x 2) 3y y x 2x 1

2

3 log (x 2 x 2) (x 2 x 2) 3y y

Đặt z log (x3 2 2x 2)  x2 2x 2 3  Khi đó phương trình (1) trở thànhz

3z  z 3y  y (2)

Xét hàm đặc trưng (t) 3f  t t t,  , có '(t) 3 ln3 1 0,0 f  t     Suy rat 0 hàm số đồng biến trên (0; )

Khi đó

2

3 (2) f(z) f(y ) z y log (x 2 x 2) y x 2 x 2 3y

Xét hàm số g(x) x 2 2x 2, x(0;2020) g'(x) 2x 2; g'(x) 0    x1

Ta có bảng biến thiên của hàm số

Suy ra

3

1g(x) 4076362  1 3y 4076362 0y log 4076362

9

(x) 1 (x) 3

(x) 3 (x) 3

g g

D

g

o

g















Dựa vào bảng biến thiên của hàm số (x)g ta nhận thấy mỗi phương trình trên đều có một nghiệm thuộc khoảng (0;2020) và các nghiệm đôi một khác nhau Vậy có 4 cắp số (x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 5.[9]: Cho phương trình 2y log (x 2 ) 22 y1 x y

    Hỏi có bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) với 2 x 2021 thỏa mãn phương trình đã cho ?

Phân tích bài toán:

+) Đây là ví dụ tương tự như ví dụ 4

+) Ví dụ giúp các em học sinh củng cố thêm một cách mới để chỉ ra hàm đặc trưng

Bài giải: Đặt z log (x 2 )2 y1 x 2y1 2z

     Khi đó phương trình đã cho trở thành 2y  z2(2z  2 ) yy1   2.2y  y2.2z z(1). Xét hàm đặc trưng (t) 2.2t

f   , có '(t) 2.2 ln 2 1 0,t f  t      Suy ra hàm số luôn đồng biếnt trên 

Khi đó (1) f(y) f(z) z y log (x 2 ) y2 y1 x 2y1 2y x 2y1

Mà 2 x 2021 1 y 1 log 2021 2  2 y log 2021 12 

Lại do y là số nguyên nên ta có y 2,3,4, ,11 , có 10 giá trị nguyên của y Do

1

2y

 suy ra có 10 giá trị nguyên tương ứng của x Vậy có 10 cắp số nguyên (x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 6.[9]: Cho phương trình log (x 2 ) x2  y  22y2 3xy x y   Hỏi có0 bao nhiêu cặp số nguyên (x; y) sao cho x y 0, 20  x 20 thỏa mãn phương trình đã cho ?

Phân tích bài toán:

+) Đây là một bài tập khó trong việc xác định hàm đặc trưng, khó ở chỗ biểu thức loogarit quá đơn giản ??

+) Chúng ta biến đổi để biểu thức lôgarit “ phức tạp hơn”.

+) Từ giả thiết bài toán cho x y  ta biến đổi 0

2 2

(x y)(x 2 y) log (x 2 y) log

x y



Và đây cũng là gợi ý của giả thiết cho cách giải bài toán này

Bài giải: Điều kiện: x2y 0

Ta cóx y  nên 0 log (x 2 ) x2  y  22y23xy x y  0

2 2 2

(x y)(x 2 y)

x y



Xét hàm đặc trưng f(t) log 2t t t ,  ,có 0

1

.ln 2

t

Suy ra hàm số đồng biến trên (0; )

Khi đó (1) x22y23xy x y   (x y )(x 2 y) 0 

1 2

   (do x y  ) suy ra 0 x y  1 y0

Do

19

2

Do y y  9; 8; ; 1;0   suy ra có 10 số nguyên y Với mỗi giá trị nguyên của y cho ta một giá trị nguyên của x, như vậy có 10 cặp số (x; y) thỏa mãn yêu cầu bài toán

Ví dụ 7.[9]: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn x y và

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2 2

2 3

P

xy y





Phân tích bài toán:

+) Khi qua sát bài toán rất nhiều học sinh sẽ nhầm tưởng hàm đặc trưng của bài toán này là

1 f(t) (2 )

2

t

, tuy nhiên đây là lựa chọn sai lầm +) Ý tưởng lấy lôgarit hai vế sẽ được sử dụng trong bài toán này

+) Thông thường ta hay lấy lôgarit cơ số  hai vế

Bài giải: Ta có

ln(4 1) ln(4 1)

Xét hàm số đặc trưng

ln(4 1)

t

t

4 ln 4 (4 1).ln(4 1)

(4 1) t

t

 Suy ra hàm số (t)f nghịch biến trên khoảng (0; Khi đó (1))  f(x) f(y)  x y

Đặt



Vậy giá trị nhỏ nhất của P bằng 6 khi t = 3 hay x = 3y

Ví dụ 8.[9]: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện

2

2(x y 4) log ( ) (xy 4)

2

x y

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 4

P x  y

Phân tích bài toán:

+) Đây là bài toán tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức, nhưng mấu chốt của vấn đề

là việc khai thác điều kiện bài toán cho

+) Ta sử dụng tích chất lôgarit để biến đổi sau đó sử dụng phép đặt để tìm được hàm đặc trưng

Bài giải:

Ta có

2

2(x y 4) log ( ) (xy 4)

2

x y

1 2(x y) 4 8 1 log (x y) log xy (xy) 4 8

2

2(x y) log (x y) 2( ) log ( ) (1)

Xét hàm số đặc trưng f(t) 2t 2log , (t (0;2t   ))

Có

1

.ln 2

t

, suy ra hàm số đồng biến trên (0;)

Khi đó

y

y



min

4

2

y

y



Ví dụ 9.[9]: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn điều kiện

3

4

log x y 2 x y 1

x y



 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

(x y)

P

x





Phân tích bài toán:

+) Ý tưởng giải quyết ví dụ này tương tự như ví dụ 8; nhằm mục đích giúp các

em củng cố thêm cách tìm ra hàm đặc trưng