11 chuyen de 10 so thap phan

NH ẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ LÀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN: Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

ĐS6 CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ THẬP PHÂN

CH Ủ ĐỀ 1: SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN

PH ẦN I TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 KHÁI NI ỆM:

Khi viết phân số a

b dưới dạng số thập phân ta thực hiện phép chia a cho b và gặp một trong hai trường hợp sau:

- Phép chia a cho b kết thúc sau hữu hạn bước

Ví dụ: 3 0, 75

4 = ;37 1, 48

25= ; … Khi đó số thập phân thu được gọi là số thập phân hữu hạn

- Phép chia a cho b không bao giờ chấm dứt

chữ số lặp đi lặp lại vô hạn lần Ta nói số thập phân thu được là số thập phân vô hạn tuần hoàn và nhóm chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó

2 NH ẬN BIẾT MỘT PHÂN SỐ LÀ SỐ THẬP PHÂN HỮU HẠN:

Nếu một phân số tối giản với mẫu dương mà mẫu không có ước nguyên tố khác 2 và 5 thì phân

số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

PH ẦN II CÁC DẠNG BÀI

D ạng 1: Viết phân số dưới dạng số thập phân

I.Phương pháp giải:

Để viết một tỉ số hoặc một phân số a

b dưới dạng số thập phân ta làm phép chia a b:

− ; 139

50

−

Vậy Kết quả phép tính biểu diễn số thập phân 0 01,

Bài 6: Chứng tỏ kết quả phép tính sau là một số nguyên :

2000.2001.2002 2999 1.2.3 1999

.1.2.3.4 1000 1001.1002 2999

1001.1002 1999

11001.1002 1999

Vậy kết quả phép tính trên là một số nguyên

Bài 7: Kết quả phép tính sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn không?

Vậy kết quả phép tính viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

Bài 8: Viết kết quả phép tính dưới dạng số thập phân :

-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương

- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố

- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 25 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 5

Vậy số đó là số thập phân hữu hạn

Phân số sau khi đã rút gọn có mẫu là 20 nên mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5

Vậy số đó là số thập phân hữu hạn

Bài 11: Mỗi phân số sau có viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay không? Vì sao?

a) 3 2 3 ( )

12

n n

∈ 

L ời giải:

⇒ không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

Bài 13: Các phân số sau không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn:

+ không viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

D ạng 3: Tìm điều kiện để một phân số viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

I.Phương pháp giải:

-Viết phân số về dạng tối giản và có mẫu dương

- Phân tích mẫu ra thừa số nguyên tố

- Nếu mẫu chỉ có ước nguyên tố là 2 và 5 thì phân số đó viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

Bài 15: Tìm số tự nhiên x ; 0< <x 20 để phân số 2 3

a b c+ + viết được dưới dạng số thập

phân hữu hạn là a bc, với c≠0

Mà a

blà phân số tối giản và ƯCLNa b, 1

⇒ b không chứa thừa số 2

3154

2525

6320

Vậy các phân số thoả mãn là 315

Bài 21: Tìm các phân số tối giản có tử và mẫu là các số nguyên dương, mẫu khác 1 Biết tích của

tử và mẫu là 4200 và phân số này viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn

b là phân số tối giản và ƯCLN a b, 1

⇒ b không chứa thừa số 3; 11 và b≠1 nên b∈{8; 25; 200}

16825

21200

Vậy các phân số thoả mãn là 525

chữ số lặp đi lặp lại trong phần thập phân là chu kì của nó

Chú ý: Số thập phân vô hạn tuần hoàn chia thành hai dạng

- Số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy

+) Nếu mẫu không có ước nguyên tố 2 và 5 thì viết được thành số thập phân vô hạn tuần hoàn

cuối cùng của chu kì bằng nhau, ta không chọn những cách viết này

+) Số thập phân vô hạn tuần hoàn gọi là đơn nếu chu kì bắt đầu ngay sau dấu phẩy, ví dụ

( )

0, 21 ; gọi là tạp nếu chu kì không bắt đầu ngay sau dấu phảy, phần thập phân đứng trước chu kì

gọi là phần bất thường, ví dụ 0, 3 18( ) có chu kì là 18 và phần bất thường là 3

3 VI ẾT SỐ THẬP PHÂN VÔ HẠN TUẦN HOÀN DƯỚI DẠNG PHÂN SỐ:

- Quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn dưới dạng phân số:

+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn dưới dạng phân số, ta lấy chu kì làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số 9, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì Ví dụ:

( ) 6 2 ( ) 21 7

+ Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số, ta lấy

số gồm phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường làm tử, còn mẫu là một số gồm các chữ số

9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu kì, số chữ số 0 bằng số chữ số của

Để viết một tỉ số hoặc một phân số a

b dưới dạng số thập phân ta làm phép chia :a b

II.Bài toán:

Bài 1:

Các phân số sau viết được dưới dạng số thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn? Tại sao? Hãy viết các phân số dưới dạng đó

=

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên 10

15viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên 5

11viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Vậy: 5

11=0, 454545 = 0, (45)

c) Xét phân số 2

13

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 13 nên 2

13viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Vậy: 2

13 =0,153846153846 = 0, (153846)

d) Xét phân số 13 13

22 = 2.11

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 11 nên 13

22viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn

Vậy: 13

22 =0, 590909 = 0, 5(90)

e) Xét phân số 5 53

24 = 2 3

⇒ mẫu của phân số có ước nguyên tố là 3 nên 5

24viết được dưới dạng số thập phân vô hạn tuần hoàn Vậy: 5

c) Tìm chữ số thập phân thứ 2 sau dấu phẩy của phân số 10 24

27 (viết dưới dạng số thập phân)

L ời giải:

a) Ta có: 5

7 =0, 714258 714258 =0, 714258( )

Số thập phân 0, 714258( )là số thập phân vô hạn tuần hoàn có chu kì gồm 6 chữ số

Mà: 2021=6.336+5, như vậy 2021 chia cho 6dư 5nên chữ số thập phân thứ 2021 sau dấu phẩy của 0, 714258( )là chữ số 5

n



- Muốn viết phần thập phân của số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp dưới dạng phân số với

+ Tử: phần bất thường và chu kì trừ đi phần bất thường

+ Mẫu: một số gồm các chữ số 9 kèm theo các chữ số 0, số chữ số 9 bằng số chữ số của chu

Để thực hiện các phép tính về số thập phân vô hạn tuần hoàn trước hết ta viết chúng dưới dạng phân

số tối giản rồi thực hiện các phép toán trên phân số

II.Bài toán:

= 32

= b) ( ) ( ) 8

=+

x

55 9

x

⇒ =

16496

=+

271 3:

39 13

x

⇒ =

271 13

Theo quy tắc viết số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn thành phân số thì số 0, ()

100 1009 9 0 0 viết thành phân số trên

Cho số x= 0,12345 998999 trong đó ở bên phải dấu phảy ta viết các số từ 1 đến 999 liên tiếp nhau Chữ số thứ 2003 ở bên phải dấu phảy là chữ số mấy? Vì sao?

L ời giải:

Xét dãy 2003 chữ số đầu tiên sau dấu phẩy của x Gọi chữ số thứ 2003là a

Chia dãy số trên thành ba nhóm:

nhom I nhom II nhom III

Đặt số chia, thương và tích riêng thứ nhất theo thứ tự là ab;c deg, ; mn

Ta thấy 10 :ab=0,deg nên 10 000=ab deg (Với d ≠0 (vì nếu d =0 thì ab eg <10 000), g≠ 0

(vì nếu d =0 thì thương đã dừng lại ở e ))

⇒ deg là ước của 10 000 và có ba chữ số

⇒ Suy ra deg bằng 5 3 = 125 hoặc 5 4 = 625 Tương ứng ab bằng 80 hoặc 16

+ Trường hợp ab=80 thì mn=80, trái với 80 10 ***+ = (số bị chia), loại

+

n

n ;

21 47

n n

+ rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là 7

=

n

1.2.3 78 171

+ rút gọn đến khi tối giản thì mẫu số vẫn chứa thừa số là số nguyên tố 71

+ rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 3

⇒ phân số 6 1

12

n n

+đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn

+ rút gọn đến khi phân số tối giản, mẫu vẫn có ước là 2

⇒ phân số 6 1

12

n n

+đổi thành số thập phân vô hạn tuần hoàn tạp

a) Chứng tỏ C là phân số tối giản

b) Phân số C được viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hay số thập phân vô hạn tuần hoàn

⇒ ƯCLN của tử số và mẫu của phân số C là 1

Vậy C là phân số tối giản

b) Vì m m; ( + 1); (m+ 2) là ba số tự nhiên liên tiếp nên trong ba số m m; ( + 1); (m+ 2)có một số chia

hết cho 2, và một số chia hết cho 3

Cho A là số lẻ không tận cùng bằng 5 Chứng minh rằng tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 9

L ời giải:

Xét phân số 1

A, mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên 1

A viết dưới dạng số thập phân

vô hạn tuần hoàn đơn



1 2

199 9

A, mẫu A không chứa thừa số nguyên tố 2 và 5 nên 1

A viết dưới dạng số thập phân

vô hạn tuần hoàn đơn

Mà ước chung của A và 9 chỉ có thể là 1; 3; 9

+ Nếu ƯC(A, 9)=1 thì từ (1) suy ra 11 1

n

B

3

9

11 1 9

n

Vậy tồn tại một bội của A gồm toàn chữ số 1

Bài 17:

Tìm phân số dương tối giản nhỏ hơn 1 biết rằng khi chia tử cho tử cho mẫu ta được một số thập phân vô hạn tuần hoàn đơn chu kì có 3 chữ số và phân số này bẳng lập phương của một phân số khác

=

3

13

=

3

23

Vậy hai phân số điền tiếp vào chỗ chấm là: 1 ; 1

13 14, ta được dãy số: 1 1 1 1 1; ; ; ; ; 1 ; 1 ; 1

3 6 7 9 11 12 13 14

 H ẾT  ĐS6.CHUYÊN ĐỀ 10 - SỐ THẬP PHÂN

CH Ủ ĐỀ 3: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TỈ SỐ VÀ TỈ SỐ PHẦN TRĂM

- Trong thực hành, ta thường dùng tỉ số dưới dạng tỉ số phần trăm với kí hiệu %

- Muốn tìm tỉ số phần trăm của hai số a và b b( ≠0), ta nhân a v ới 100 rồi chia cho b và viết kí

hiệu % vào kết quả: a.100%

a) Tính xem số học sinh nữ bằng mấy phần số học sinh toàn trường

b) Nếu số học sinh toàn trường là 1210 em thì trường đó có bao nhiêu học sinh nam, bao nhiêu học sinh nữ

L ời giải:

a) Theo đề bài trong trường cứ 5 phần học sinh nam thì có 6 phần học sinh nữ Như vậy nếu học sinh toàn trường là 11 phần thì số học sinh nữ chiếm 6 phần, nên số học sinh nữ bằng 6

11 số học sinh toàn trường

b) Nếu số học sinh toàn trường là 1210 em thì

Số học sinh nữ là: 1210 6 660

11= (em)

Số học sinh nam là: 1210 660 550− = (em)

Bài 2: Ba lớp 6 có 102 học sinh Số học sinh lớp A bằng 8

9 số học sinh lớp B, số học sinh lớp C bằng 17

16 số học sinh lớp A Hỏi mỗi lớp có bao nhiêu học sinh?

25 số cây tổ 2 Hỏi mỗi tổ trồng được bao nhiêu cây?

Bài 4: Mẹ hơn con 24 tuổi Cách đây 4 năm tuổi con bằng 1

4 tuổi mẹ Hỏi hiện nay mỗi người bao nhiêu tuổi?

L ời giải:

Hiệu số tuổi của hai mẹ con không thay đổi theo thời gian nên cách đây 4 năm mẹ vẫn hơn con 24

tuổi Ta có sơ đồ khi đó:

Tuổi con: | -|

Tuổi mẹ: | -| -| -| -|

Theo sơ đồ tuổi mẹ cách đây 4 năm là: 24 : (4 1).4 32  (tuổi)

Vì mỗi năm mỗi người tăng lên 1 tuổi nên hiện nay tuổi mẹ là:

324.136 (tuổi)

Tuổi con hiện nay là: 362412 (tuổi)

Bài 5: Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang

Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng 2

3 số trang của 1 quyển vở loại 1 Số trang của 4 quyển

vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2 Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại

L ời giải:

Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng 2

3 số trang của 1 quyển loại 1 Nên số trang của 3 quyển loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1

Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2

Nê số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3

Do đó số trang của 8 quyển loại 1 là 4.8: 2 16= ( quyển loại 3)

Số trang của 9 quyển loại 2 là 9.4: 3 12= (quỷên loại 3)

Vậy 1980 chính là số trang của 16 12 15 33+ + = (quyển loại 3)

Suy ra: Số trang 1 quyển vở loại 3 là 1980: 33 60= (trang)

Số trang 1 quyển vở loại 2 là 60.4=80

5 của 7

8là 2 7 = 7

5 8 20

Gọi số tuổi bố của bạn Nam là x x( ∈ * )

Khi đó thời gian bố phải sống là 100−x x( <100)

Vậy bố của bạn Nam 40 tuổi

Bài 7: Lớp 6A có số học sinh Giỏi và Khá chiếm 7

12 số học sinh cả lớp Số học sinh Giỏi và Trung bình chiếm5

8 số học sinh cả lớp Số học sinh Khá và Trung bình có 34 bạn, số học sinh giỏi hơn số

học sinh Yếu là 10 bạn, lớp không có học sinh kém Hỏi lớp 6A có bao nhiêu bạn hóc sinh Giỏi? bao nhiêu học sinh khá? bao nhiêu học sinh Trung bình?

Số học sinh giỏi và yếu là: 48 34 14− = (học sinh)

Số học sinh giỏi là: (14 10 : 2 12+ ) = (học sinh)

Số học sinh yếu là: 12 10 2− = (học sinh)

Số học sinh giỏi và trung bình là: 48.5=30

Số học sinh giỏi và yếu là: 48−(18 16+ )=14 (học sinh)

Số học sinh giỏi là: (14 10 : 2 12+ ) = (học sinh)

Số học sinh yếu là: 12 10 2− = (học sinh)

Bài 8: Trong một buổi đi tham quan, số nữ đăng ký tham gia bằng 1

4 số nam Nhưng sau đó 1 bạn

nữ xin nghỉ, 1 bạn nam xin đi thêm nên số nữ đi tham quan bằng 1

Số học sinh nữ đã đi tham quan bằng1

5 số nam đã đi tham quan nên bằng1

Bài 10: Một học sinh đọc quyển sách trong 3 ngày Ngày thứ nhất đọc được 2

5 số trang sách; ngày

thứ 2 đọc được 3

5 số trang sách còn lại; ngày thứ 3 đọc được 80% số trang sách còn lại và 3 trang

cuối cùng Hỏi cuốn sách có bao nhiêu trang?

25x + =125x+ (trang) Hay: 2 9 24

30

5x+25x+125x+ = x ⇒ x=625 (trang)

Bài 11: Tổng số trang của 8 quyển vở loại 1 ; 9 quyển vở loại 2 và 5 quyển vở loại 3 là 1980 trang

Số trang của một quyển vở loại 2 chỉ bằng 2

3 số trang của 1 quyển vở loại 1 Số trang của 4 quyển

vở loại 3 bằng số trang của 3 quyển vở loại 2 Tính số trang của mỗi quyển vở mỗi loại

Lời giải:

Vì số trang của mỗi quyển vỡ loại 2 bằng 2

3 số trang của 1 quyển loại 1 Nên số trang của 3 quyển

loại 2 bằng số trang của 2 quyển loại 1

Mà số trang của 4 quyển loại 3 bằng 3 quyển loại 2

Nên số trang của 2 quyển loại 1 bằng số trang của 4 quyển loại 3

Do đó số trang của 8 quyển loại 1 bằng : 4 8 : 2 = 16 (quyển loại 3)

Số trang của 9 quyển loại 2 bằng: 9 4 : 3 = 12 (quyển loại 3)

Vậy 1980 chính là số trang của 16 12 5 + + = 33 (quyển loại 3)

Số trang 1 quyển vở loại 3 là : 1980 : 33 = 60 (trang)

Số trang 1 quyển vở loại 2 là : 60.4=80

4 của 24

5 bằng 14 3 21 2,1

5 4=10=60% của 7 bằng 7 60 4,2

100= 2,1 n< <4,2 và n∈  nên n {3;4}∈

Bài 13: Một đầu máy xe lửa cứ đi 1km thì tiêu thụ hết 3

20 tấn nước Nồi nước của đầu máy chữa được 161

2 tấn Hỏi nếu trong nồi còn 9

10 khối nước ấy thì xe lửa còn chạy được bao nhiêu km?

Bài 14: Muốn đào xong con mương cần 15 công nhân làm việc trong 20 ngày Trong 10 ngày đầu

số công nhân ít nên chỉ là được 3

10 công việc Hỏi muốn hoàn thành đúng kì hạn thì phải điều thêm bao nhiêu công nhân? (coi năng suất lao động của mỗi công nhân như nhau)

L ời giải:

Số ngày công cần thiết để hoàn thành công việc là: 20.15 300= (ngày công)

Mười ngày đầu đã làm được: 300 3 90

10= (ngày công)

Số ngày công còn lại: 300 90− =210 (ngày công)

Muốn hoàn thành công việc đúng kì hạn thì cần số công nhân là: 210:10 21= (công nhân)

Số công nhân đã làm trong 10 ngày đầu là: 90 :10=9 (công nhân)

Vậy số công nhân điều thêm là: 21 9 12− = (công nhân)

Bài 15: Giữ nguyên tử số, hãy thay đổi mẫu số của phân số 275

289 sao cho số đó giảm đi 7

Khi 10 học sinh nam chưa vào lớp thì số học sinh nam bằng 1

7 số học sinh nữ, nên số học sinh nam bằng 1

Bài 2: Anh An có ít hơn anh Hải 500.000đ Anh An tiêu hết 5

7 số tiền của mình Anh Hải tiêu hết

− = (số tiền của An)

Số tiền còn lại của anh Hải là: 1 4 5

− = (số tiền của Hải)

Số tiền của anh An bằng: 5 5: 7

9 7=9 (số tiền của anh Hải)

Nếu chọn số tiền của anh An là đơn vị thì hiệu số tiền của anh Anh và anh Hải là: 1 7 2

− = (số tiền của Hải)

Số tiền của anh Hải là: 500000 :2 2250000

Số tiền của anh An là: 2250000 500000 1750000− = đồng

Bài 3: Ba tấm vải có tất cả 542m Nếu cắt 1

7 tấm thứ nhất, 3

14 tấm thứ hai, 2

5 tấm thứ ba thì chiều dài còn lại của ba tấm bằng nhau Hỏi mỗi tấm dài bao nhiêu mét?

L ời giải: