DE THI HSG HUYEN KB MON TOAN 9 20172018

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn: Toán Câu.[r]

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CẤP THCS, NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn: Toán

(Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề)

Đề thi gồm 01 trang

-Câu 1: (4,0 điểm) Cho A =

2

.



a) Rút gọn A

b) Tìm x để A > 0

Câu 2: (6,0 điểm)

a) Giải phương trình: 2x2 8x 3 x2 4x 8 18

b) Giải hệ phương trình 2 2

1 7

x y xy







c) ChoABC vuông cân tại A, điểm K bất kỳ thuộc cạnh BC

Chứng minh: 2KA 2 = KB 2 + KC 2

Câu 3 : (3,0 điểm)

a) Cho a b c  0, tính giá trị của biểu thức:

2 2 2 2 2 2 2 2 2

P

b) Tìm số tự nhiên n sao cho A n 2 n 6 là số chính phương

Câu 4 : (5,0 điểm)

Cho 3 điểm A, B, C nằm trên một đường thẳng d (B nằm giữa A và C) Vẽ đường tròn tâm O đi qua B và C (O không nằm trên đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O tại M và N Gọi I là trung điểm của BC, AO cắt MN tại H và cắt đường tròn tại các điểm P và Q (P nằm giữa A và O), BC cắt

MN tại K

a) Chứng minh AMO ANO AIO 

b) Chứng minh AK.AI = AB.AC

c) Gọi D là trung điểm HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đường thẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm ME

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho ba số a; b; c  0 và a + b + c = 1

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = abc(a+b)(b+c)(c+a)

Hết

-Đề chính thức

HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9

Môn: Toán

1

a ĐKXĐ: x0,x1

( 1)

A x x

1,0 1,0

b

0 ( 1) 0 ( 1) 0

0

0 1

1 0

x

x x

       

 



    

 

1,0 1,0

2

a

2 8 3 4 8 18

2( 4 8) 3 4 8 2 0

    

       

Đặt x2 4x 8y y, 0ta được phương trình:

y=2

¿

y=−1

2

¿

¿

¿

¿

¿2 y2−3 y −2=0 ⇔2 y2

+y − 4 y −2=0

⇔( y − 2)(2 y+1)=0 ⇔ ¿

y=

1 2



<0 (loại); với y= 2 ta có

2 4 8 2 2 4 12 0 ( 6)( 2) 0

x x

      

   

6

x

  hoặc x 2 (thỏa mãn phương trình đã cho)

Vậy pt đã cho có 2 nghiệm: x 6, x 2

1,0

1,0

b

1,0

1,0

c Kẻ KE AB, KF AC

 các KBE vuông cân ở E ; KFC vuông cân ở F

Mặt khác : Tứ giác AEKF là hình chữ nhật nên KE = FA

Vế phải = KB2 + KC2 = BE2 + KE2 + KF2 + FC2

= 2(KE2 + KF2)= 2( FA2 + KF2) = 2AK2 (Theo Pitago)

1,0

1,0

3

a

2 2 2 2 2 2 2 2 2

P

dk abc

a b c

voi abc

 

0,5 1,0

b

A n  n là số chính phương nên A có dạng





(Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n – 1)

Vậy với n = 5 thì A là số chính phương

0,5

1,0

A

B

F E

K

E

D

C M

N

I

I là trung điểm của BC ( dây BC không đi qua O )

 90 0

OI BC AIO

   

Ta có AMO 900 ( do AM là hai tiếp tuyến (O) )

ANO 900 ( do AN là hai tiếp tuyến (O) )

Vậy AMO ANO AIO  ( = 900)

2,0

b

AM, AN là hai tiếp tuyến (O) cắt nhau tại A nên OA là tia phân

giác MON mà ∆OMN cân tại O nên OA MN

∆ABN đồng dạng với ∆ANC ( Vì

ANB=ACN=

2 sđNB và

CANchung ) suy ra

2

AB AN

∆ANO vuông tại N đường cao NH nên ta có AH.AO = AN2 (2)

Suy ra AB.AC = AH.AO

∆AHK đồng dạng với ∆AIO ( vì AHK=AIO=90  0 và OAIchung )

AH AK

Từ (1); (2); (3) suy ra AK.AI = AB.AC

0,5 0,5

1,0

c

Ta có PMQ=90 0 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn )

Ta có ∆MHE đồng dạng ∆QDM có MEH=DMQ  ( cùng phụ với

DMP), EMH=MQD  ( cùng phụ với MPO )

∆PMH đồng dạng với ∆MQH (g.g)

2 1

2

 ME = 2 MP  P là trung điểm ME

1,0

5

Áp dụng BĐT côsi cho 3 số a;b;c  0, ta có:

1 = a +b+c  33 abc (1)

2 = (a+b)+(b+c)+(c+a) 33 (a b b c c a )(  )(  ) (2) Nhân (1) và (2) vế với vế (do hai vế đều không âm), ta

được:

2  9 A3 

3 2 9

A 

 A

8 729



Do đó: Max A =

8 729

1 3

a b c

   

1,0

1,0