Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị fréchet

Nếu tôpô trên một không gian Hausdorff E là tôpôlồi địa phương yếu nhất làm cho một dãy những tập lồi cân hút trở thànhlân cận hoặc làm cho một dãy các nửa chuẩn liên tục thì E là không

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

1.1.1 Không gian Fréchet và đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Một tôpô trên E được gọi là tương thích với cấutrúc đại số của E nếu các phép toán cộng đại số và nhân ngoài

+ : E × E −→ E

(x, y) 7−→ x + y

× : K× E −→ E

(λ, y) 7−→ λyliên tục theo tôpô này Một không gian véctơ cùng với tôpô tương thíchvới cấu trúc đại số trên nó được gọi là không gian véctơ tôpô

Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Một không gian lồi địa phương E là không gianvéctơ tôpô mà phần tử 0 ∈ E có một cơ sở lân cận gồm toàn các tập lồi.Định nghĩa 1.1.3 ([1]) Một nửa chuẩnp trên không gian véctơE là hàmkhông âm thỏa mãn mãn các điều kiện

(i) p(λx) = |λ|p(x) với mọi λ ∈ K và mọi x ∈ E,

(ii) p(x + y) 6 p(x) + p(y) với mọix, y ∈ E Nếu giả thiết thêm p(x) = 0kéo theo x = 0 thì p được gọi là một chuẩn Từ (i) và (ii) ta suy ra(iii) |p(x) − p(y)| 6 p(x − y) với mọi x, y ∈ E.

Ngược lại, nếu xảy ra (i) và (iii) thì có (ii)

Rõ ràng, nếu p là nửa chuẩn trên E thì hình cầu

U = {x ∈ E | p(x) 6 1}

là một tập lồi cân Ngoài ra, nếu p và q là các nửa chuẩn trên khônggian véctơ E thỏa mãn p(x) 6 1 kéo theo q(x) 6 1 thì p(x) > q(x)với mọi x ∈ E

Định nghĩa 1.1.4 ([1]) Cho E và F là hai không gian véctơ trên cùngmột trường K Ta nói rằng E và F là một cặp đối ngẫu và ký hiệu là(E, F ) nếu trên E × F xác định được một ánh xạ hx, yi : E × F → K thỏamãn các điều kiện sau:

DE) Với mọiu ∈ F, ánh xạ x 7→ hx, ui tuyến tính trên E và hx, ui = 0với mọi u ∈ F nếu và chỉ nếu x = 0

DF) Với mọi x ∈ E, ánh xạ u 7→ hx, ui tuyến tính trên F và u = 0 nếu

và chỉ nếu hx, ui = 0 với mọi x ∈ E

Hiển nhiên nếu E và F là một cặp đối ngẫu thì F và E cũng là mộtcặp đối ngẫu

Định nghĩa 1.1.5 ([1]) Giả sử (E, F ) là một cặp đối ngẫu Khi đó F làmột không gian con củaE] và tương tự E cũng là một không gian con của

F] bởi hai tiên đề DE và DF Với mỗi u ∈ F xác định nửa chuẩn pu trênE

pu(x) = |hx, ui|, x ∈ E

tôpô lồi địa phương trên E sinh bởi họ các nửa chuẩn pu, u ∈ F được kýhiệu là σ(E, F ) và gọi là tôpô yếu trên E của cặp đối ngẫu (E, F ) Nhưvậy tôpô σ(E, F ) có một hệ cơ bản các lân cận của không có dạng

U (u1, , un, ε1, , εn) = nx ∈ E : u1(x) < ε1, , un(x) < εnoĐịnh nghĩa 1.1.6 ([1]) Giả sử (E, F ) là một cặp đối ngẫu Tôpô lồi địaphương ξ trên E được gọi là tôpô của cặp đối ngẫu (hay tương thích với)(E, F ) nếu (E, ξ)0 = F

Định nghĩa 1.1.7 ([1]) Giả sử (E, F ) là một cặp đối ngẫu và A ⊂ E Polar của A trong F xác định bởi

A◦ = {u ∈ F : sup

x∈A

|hx, ui| 6 1}

Định lý 1.1.8 ([1], Định lý song polar) Giả sử (E, F ) là cặp đối ngẫu và

M ⊂ E là tập lồi cân Khi đó M◦◦ = clξM (tức là bao đóng của M theotôpô ξ) với mọi tôpô ξ của cặp đối ngẫu Ở đây M◦◦ = (MF◦)◦E

Định lý 1.1.9 ([1], Định lý Mackey) Cho (E, F ) là một cặp đối ngẫu.Khi đó mọi tôpô trên E tương thích với (E, F ) có cùng các tập bị chặn.Định lý 1.1.10 ([1]) Nếu (E, F ) là cặp đối ngẫu thì σ(E, F ) là tôpô lồiđịa phương Hausdorff yếu nhất trên E thỏa mãn

Mệnh đề 1.1.12 ([1]) Nếu tôpô trên một không gian Hausdorff E là tôpôlồi địa phương yếu nhất làm cho một dãy những tập lồi cân hút trở thànhlân cận (hoặc làm cho một dãy các nửa chuẩn liên tục) thì E là không giankhả metric.

Chứng minh Giả sử tồn tại một tôpô lồi địa phương yếu nhất trên E làmcho các tập lồi cân hút {Vn}∞

Định nghĩa 1.1.14 ([17]) Một không gian lồi địa phương(E, τ ) được gọi

là chặn đóng nếu τ là tôpô quy nạp tương ứng tới một hệ (ji: Ei → E)i∈Icủa không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.1.15 ([17]) Cho E và F là các không gian lồi địa phương.Một ánh xạ tuyến tính A : E → F được gọi là bị chặn địa phương nếuA(B) bị chặn với mỗi tập con bị chặn B ⊂ E

Nhận xét 1.1.16 ([17]) Mọi ánh xạ tuyến tính liên tục thì bị chặn địaphương

Nếu E là không gian lồi địa phương thì ta ký hiệu B(E) là tập tất

cả các tập con bị chặn, lồi tuyệt đối của E Nếu B ∈ B(E) thì k · kB là

chuẩn trên span B, trong đó kxkB = inf{t > 0 : x ∈ tB} Định nghĩa

EB := (span B, k · kB) Nếu B bị chặn trong E thì ánh xạ bao hàm

(2) Tồn tại một tôpô lồi địa phương τ trên E sao cho (ji: Ei → (E, τ ))liên tục với mọi i ∈ I.

(3) Với mỗi x ∈ E sao cho x 6= 0, tồn tại y ∈ E∗ sao cho y(x) 6= 0 và

y ◦ ji ∈ Ei0 với mọi i ∈ I

Nếu điều kiện (1)-(3) thỏa mãn thì ta có

(a) Một nửa chuẩn p trên E là τ-liên tục nếu và chỉ nếu y ◦ ji liên tục vớimọi i ∈ I

(b) Một tập lồi tuyệt đối trong E là một τ-lân cận của 0 nếu và chỉ nếu

j−1(V ) là một lân cận của 0 trong Ei với mọi i ∈ I







là một τ-cơ sở lân cận của 0

Mệnh đề 1.1.20 ([17]) Cho E là một không gian lồi địa phương có tôpôquy nạp của hệ (ji: Ei → E)i∈I Ánh xạ tuyến tính A : E → F tới mộtkhông gian lồi địa phương F liên tục nếu và chỉ nếu A ◦ ji liên tục với mọi

(3) Với bất kỳ ánh xạ bị chặn địa phương A : E → F là liên tục, trong đó

F là không gian lồi địa phương

(4) Với bất kỳ ánh xạ bị chặn địa phương A : E → F là liên tục, trong đó

F là không gian Banach

(5) E có một tôpô quy nạp của hệ (jB: EB → E)B∈B(E)

Chứng minh (1)⇒(2) Giả sử E có một tôpô quy nạp tương ứng tới hệ(ji: Ei → E)i∈I) của không gian định chuẩn Lấy p là một nửa chuẩn trên

E thỏa mãn (2) Ta chứng minh p liên tục Thật vậy, nếu ký hiệu Bi làhình cầu đơn vị của Ei thì theo Nhận xét 1.1.18(c), ji(Bi) ∈ B(E) Do đó

p ◦ ji bị chặn trên Bi và vì vậy p ◦ ji liên tục trên Ei với mọi i ∈ I Khi

đó, theo Bổ đề 1.1.19, p liên tục trên E

(2)⇒(3) Nếu q là nửa chuẩn liên tục trên F thì

sup

x∈B

q ◦ Ax = sup

ξ∈A(B)

q(ξ) < ∞với mỗi B ∈ B(E)

Do đó, theo (2), q ◦ A liên tục Theo Mệnh đề 1.1.17, ta có A liên tục.(3)⇒(4) Điều này là hiển nhiên

(4)⇒(5) Giả sử jB: EB → E liên tục, theo Bổ đề 1.1.19, tôpô quy nạp

τ của hệ (jB: EB → E)B∈B(E) tồn tại Hiển nhiên nó tốt hơn một tôpôcho trên E Việc chứng minh cũng thô hơn, lấy p là τ-nửa chuẩn liên tụctrên E và Ep là không gian địa phương Banach đối với p Theo Mệnh đề1.1.17(c), với mỗi B ∈ B(E) là τ-bị chặn, ánh xạ chính tắc ip: E → Ep là

bị chặn địa phương và do đó, theo (4), ip liên tục Vì vậy p liên tục trên

E Vậy ta có điều phải chứng minh

(5)⇒(1) Điều này là hiển nhiên

Hệ quả 1.1.22 ([17]) Đối ngẫu của một không gian chặn đóng là đầy đủ.Chứng minh Lấy (yα)α∈A là một dãy Cauchy trong E0 Khi đó với mỗi

B ∈ B(E), dãy (yα|B)α∈A Cauchy trong L∞(B) Do đó dạng tuyến tính

bị chặn trên Vn với mọi n, khi đó với mỗi n ∈ N, tồn tại xn ∈ Vn sao chop(xn) > n Khi đó (xn)n∈N là một dãy không trong và bị chặn trong E.Điều này là mâu thuẫn với tính chất của p Do vậy, tồn tại n ∈ N sao chosup

x∈B

p(x) < ∞, nghĩa là p liên tục trên E

Định nghĩa 1.1.24 ([17]) Một không gian lồi địa phương E gọi là siêuchặn đóng nếu E có một tôpô của hệ quy nạp (ji: Ei → E)i∈I của khônggian Banach

Nếu E là không gian lồi địa phương thì ta ký hiệu

b

B(E) := {B ⊂ E : B là đĩa bị chặn Banach trênE}

Mệnh đề 1.1.25 ([17]) Cho E là một không gian lồi địa phương Khi đócác khẳng định sau là tương đương:

(4) E có tôpô quy nạp của hệ (jB: EB → E)B∈B(E).

Nhận xét 1.1.26 ([17]) (a) Mỗi không gian siêu chặn đóng là chặn đóng.(b) Mỗi không gian chặn đóng đầy đủ đều là siêu chặn đóng Điều nàyđược suy ra từ 1.1.25(2)

(c) Theo 1.1.23 và (b), mỗi không gian Fréchet là siêu chặn đóng

Mệnh đề 1.1.27 ([17]) Cho E là một không gian lồi địa phương có tôpôquy nạp của hệ (ji: Ei → E)i∈I Giả sử tất cả các không gian Ei là chặnđóng hoặc siêu chặn đóng hoặc thùng hoặc tựa thùng Khi đó E có tínhchất tương tự

Chứng minh Giả sử các Ei là chặn đóng và nếu A : E → F là một ánh

xạ bị chặn địa phương tới không gian Banach F Khi đó A ◦ ji bị chặn địaphương với mọi i ∈ I và do đó theo giả thiết, A ◦ ji liên tục Theo Mệnh

đề 1.1.20, A liên tục Do vậy, E là chặn đóng theo Mệnh đề 1.1.21

Giả sử các Ei là siêu chặn đóng Khi đó ta có thể lý luận tương tự chomỗi đĩa Banach B trong Ei, ji(B) cũng là đĩa Banach trong E

Giả sử các Ei là thùng và nếu V là thùng trong E thì ji−1(V ) là mộtthùng trong Ei và do đó là một lân cận của không trong Ei Theo Bổ đề1.1.19, V là lân cận của không

Giả sử các Ei là tựa thùng Kết luận tương tự

1.1.3 Giới hạn quy nạp

Giả sử {Eγ}γ∈Γ là một họ các không gian lồi địa phương mà mọi Eγ

đều là không gian véctơ con của không gian véctơ E (chưa có tôpô) và

E = S

γ∈Γ

Eγ

Vấn đề đặt ra là tìm trên E một tôpô lồi địa phương sao cho mọi ánh

xạ tuyến tính từE vào một không gian lồi địa phương tùy ý liên tục khi vàchỉ khi nó liên tục trên mỗi Eγ Tuy nhiên thay cho mỗi Eγ là không giancon của E người ta thường giả thiết có ánh xạ tuyến tính uγ: Eγ → Esao cho E = S

γ∈Γ

uγ(Eγ) Ta sẽ khẳng định sự tồn tại của tôpô này

Mệnh đề 1.1.28 ([1]) Giả sử {Eγ}γ∈Γ là một họ các không gian lồi địaphương sao cho đối với mỗi γ có một ánh xạ tuyến tính uγ từ Eγ vào mộtkhông gian véctơ E Giả sử E = S

γ∈Γ

uγ(Eγ) Khi đó tồn tại một tôpô lồiđịa phương mạnh nhất trên E làm cho mọi uγ đều liên tục Một cơ sở Ucủa 0 trong E theo tôpô này thành lập từ những tập lồi cân U trong E saocho u−1γ (U ) là lân cận của 0 trong Eγ

Chứng minh Giả sử U là một lân cận lồi cân của 0 đối với tôpô trên Elàm cho mọi uγ liên tục Khi đó u−1γ là mở trong Eγ Vậy U ∈ U

Ngược lại, nếu U ∈ U thì u−1γ là lân cận của 0 ∈ Eγ với mọi γ ∈ Γ

Do vậy u−1γ hút trong Eγ, suy ra Uγ hút trong Eγ với mọi γ ∈ Γ Bởi

E = S

γ∈Γ

uγ(Eγ) và U là họ các tập lồi cân hút trong E nên tồn tại mộttôpô lồi địa phương trên E sao cho mọi U ∈ U là lân cận của 0 Đó làtôpô lồi địa phương mạnh nhất trên E để mọi Uγ liên tục

Hệ quả 1.1.29 ([1]) Nếu với mỗi γ ∈ Γ, Vγ là một cơ sở các lân cận lồicân của 0 trong Eγ, thì họ V các bao lồi cân của các tập dạng S

γ∈Γ

uγ(Vγ)với Vγ ∈ Vγ lập thành một cơ sở lân cận của 0 ∈ E

Chứng minh Theo Mệnh đề 1.1.28, mọi tập của V là một lân cận của

0 ∈ E Ngược lại, nếu U là một lân cận lồi cân của 0 ∈ E thì có Vγ ∈ Vγsao cho Vγ ⊆ u−1

γ (U ) Do đó bao lồi cân của S

γ∈Γ

Vγ(Eγ) ⊆ U Vậy V là cơ

sở lân cận của 0 ∈ E

Định nghĩa 1.1.30 ([1]) Không gian lồi địa phương E được xây dựngnhư trên từ các không gian lồi địa phương Eγ, γ ∈ Γ và các ánh xạ tuyếntính uγ, γ ∈ Γ được gọi là giới hạn quy nạp (hay còn gọi là giới hạn cảmsinh) của các Eγ và các uγ và ký hiệu

limind(Eγ, uγ)

Mệnh đề 1.1.31 ([1]) Giả sử limind(Eγ, uγ) và S là một họ các ánh xạtuyến tính liên tục từ E vào một không gian lồi địa phương F Khi đó S

là đồng liên tục khi và chỉ khi Sγ = {S uγ : S ∈ S} đồng liên tục với mọi

γ ∈ Γ

Chứng minh Họ S đồng liên tục khi và chỉ khi T

S∈S

S−1(V ) là lân cậncủa 0 trong E với mọi lân cận V của 0 ∈ F và vậy thì khi và chỉ khiT

S∈S u γ

S−1(V ) là lân cận của 0 trong Eγ với mọi lân cận V của 0 ∈ F vàmọi γ ∈ Γ Điều này tương đương với tính đồng liên tục của họ Sγ với mọi

γ ∈ Γ

Một trường hợp riêng quan trọng là khi mọi không gian lồi địa phương

Eγ là không gian véctơ con của không gian véctơ E sao cho E = S

γ∈Γ

Eγ.Khi đó tôpô trong giới hạn quy nạp limindγ là tôpô lồi địa phương xácđịnh bởi tập lồi U trong E là lân cận của 0 nếu và chỉ nếu U ∩ Eγ là lâncận của 0 trong Eγ với mọi γ ∈ Γ

Mệnh đề 1.1.32 ([1]) limind(Eγ, uγ) là thùng nếu mọi Eγ là thùng.Chứng minh ChoB là một thùng trong limind(Eγ, uγ) Khi đó u−1γ (B) làmột thùng trong Eγ với mọi γ Do Eγ thùng nên u−1γ (B) là một lân cậncủa 0trong Eγ với mọi γ Vậy B là lân cận của 0 ∈ limind(Eγ, uγ) Do đólimind(Eγ, uγ) là thùng

Trong trường hợp đặc biệt Eγ = E với mọi γ, ở đây E là không gianlồi địa phương, còn u = θ : E → E/M là ánh xạ chính tắc Khi đóE/M = limind(Eγ, uγ) và ta có

Hệ quả 1.1.33 ([1]) Không gian thương của một không gian thùng làkhông gian thùng

1.2.1 Đa thức giữa các không gian lồi địa phương

Định nghĩa 1.2.1 ([7]) Cho E, F là các không gian véctơ trên trường sốphức Với mỗi n ∈ N , một ánh xạ xác định trên En và nhận giá trị trong

F được gọi là ánh xạ n-tuyến tính nó tuyến tính với mỗi biến khi ta cốđịnh (n − 1) biến còn lại

Ta ký hiệu La(nE; F ) là không gian các ánh xạ n-tuyến tính từ E vào

F Chỉ số a ký hiệu cho thuật ngữ “algebraic” (đại số) vì ta không giả thiếtbất kỳ tính chất liên tục nào Rõ ràng La(nE; F ) là một không gian véctơtrên trường số phức C Vì ánh xạ 1-tuyến tính cũng là ánh xạ tuyến tínhnên trong trường hợp này ta ký hiệu La(E; F ) thay cho La(1E; F )

Khi F = C ta ký hiệu La(nE) thay cho La(nE;C) và E∗ thay cho

La(E;C) E∗ được gọi là đối ngẫu đại số của E

Với mỗi n ∈ N ta ký hiệu ∆n là ánh xạ được xác định như sau:

∆n : E −→ En

x 7−→ (x, x, , x) := xnĐịnh nghĩa 1.2.2 ([7]) Cho E, F là các không gian véctơ trên trường

số phức Với mỗi n ∈ N, một ánh xạ từ E vào F được gọi là một đa thức

n-thuần nhất nếu nó là hợp thành của ∆n với một phần tử của La(nE; F )

Ta ký hiệu Pa(nE; F ) là không gian véctơ tất cả các đa thức n-thuầnnhất từ E vào F Một đa thức từ E vào F là một tổng hữu hạn các đathức thuần nhất từ E vào F Không gian véctơ tất cả các đa thức thuầnnhất từ E vào F được ký hiệu là Pa(E; F ).

Định nghĩa 1.2.3 ([7]) Cho E, F là các không gian véctơ trên trường sốphức Với mỗi n ∈ N , một ánh xạ n-tuyến tính L từ E vào F được gọi làđối xứng nếu

L(x1, x2, , xn) = L(xσ(1), xσ(2), , xσ(n))với mọi (x1, x2, , xn) ∈ En và mọi hoán vị σ của n số tự nhiên đầu tiên

F và không gian các ánh xạ n-tuyến tính đối xứng liên tục từ E vào F.Trong mọi trường hợp, En được xác định trên tôpô tích Ta sử dụng kýhiệu L(nE), L(nE) và Ls(nE) tương ứng thay cho P(nE;C), L(nE;C) và

1.2.2 Hàm chỉnh hình Gâteaux và hàm chỉnh hình giá trị véctơĐịnh nghĩa 1.2.5 ([7]) ChoE, F là các không gian lồi địa phương vàD làmột miền (tập mở, liên thông) trong E Một hàm giá trị véctơ f : D → Fđược gọi là chỉnh hình Gâteaux nếu với mọi a ∈ D, b ∈ E và hàm ϕ ∈ F0,đối ngẫu của F, thì hàm một biến phức

λ 7→ (ϕ ◦ f )(a + λb)chỉnh hình trên một lân cận của 0 ∈ C.

Ta ký hiệu HG(D, F ) là không gian véctơ tất cả các hàm chỉnh hìnhGâteauxD với giá trị trongF Ta cũng ký hiệuHG(D) thay choHG(D,C).Mệnh đề 1.2.6 ([7]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D làmiền trong E Với mỗi x ∈ D ta đặt

Bx := {z ∈ E : x + λz ∈ D, |λ| 6 1}

Giả sử bF là không gian đầy đủ hóa của F Khi đó, nếu ánh xạ f : D → Fthì f ∈ HG(D, F ) khi và chỉ khi với mỗi x ∈ D tồn tại duy nhất một dãycác đa thức thuần nhất (Pn,x,f)∞n=0, Pn,x,f ∈ Pa(nE;F )b sao cho

Pn,x,f(z) = 1

2πiZ

|λ|=1

f (x + λz)

λn+1 dλ

Tiếp theo ta có định nghĩa sau

Định nghĩa 1.2.7 ([7]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và D

là một miền trong E Một hàm giá trị véctơ f : D → F được gọi là chỉnhhình nếu nó chỉnh hình Gâteaux và liên tục

Định nghĩa 1.2.8 ([7]) Cho E, F là các không gian lồi địa phương và U

là tập con mở của E Tôpô mở compact τ0 trên không gian các hàm chỉnhhình H(U, F ) là tôpô lồi địa phương sinh bởi các nửa chuẩn

F bị chặn trên mọi tập bị chặn trong E và ký hiệu Hub(E) là tập các hàmchỉnh hình bị chặn trên rU với U là lân cận nào đó của 0, với mọi r > 0.Chú ý rằng Hub(E) ⊆ Hb(E)

Không gian H(E, F ) trang bị tôpô mở compact τ0

Mệnh đề 1.2.9 ([7]) Nếu U là một tập con mở của không gian lồi địaphương E và F là một không gian định chuẩn thì f ∈ HG(U, F ) là chỉnhhình nếu và chỉ nếu nó bị chặn địa phương

E chứa K thì ta ký hiệu f là lớp tương đương trong H(K; F ) được xácđịnh bởi f.

Một tôpô tự nhiên trên H(K; F ) được cho bởi giới hạn quy nạp

với V mở trong E và ta định nghĩa một tôpô trên không này bởi chuẩn

k kV H∞(V, F ) là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ nếu F làkhông gian Banach

Sử dụng cùng một mối quan hệ tương đương chúng ta dễ dàng thấyrằng

với mọi f ∈ H∞(V ; F ) Nếu f ∈ H(V ; F )\H∞(V ; F ) thì kf kV = ∞ Do

đó hạn chế củaptớiH(V ; F ) là τω nửa chuẩn liên tục bởi tập con compact

K của V Do đó p cũng là nửa chuẩn liên tục trên lim−→

V ⊃K,V mở

(H(V ; F ), τω).Điều này cho thấy hai cấu trúc tôpô trùng nhau trên H(K; F ) Vậy ta cóđiều phải chứng minh

Bổ đề 1.2.12 ([7]) Giả sử K là tập con compact của một không gian lồiđịa phương E và W là tập con mở lồi cân của E Khi đó

B = {f ∈ H(K + W ); kf kK+W 6 1}

là một tập con đóng của H(K)

Chứng minh Giả sử{fa}a∈A là dãy trong B hội tụ trongH(K) Ta chứngminh {fa}a∈A là Cauchy trong (H(K + W ), τ0) Nếu L là một tập concompact củaK + W thì tồn tại số thực ρ, 0 < ρ < 1 sao cho L ⊂ K + pW

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy ta có

Pm,K,L(f ) = sup

x∈K,y∈L

+ cρ

N +1

1 − ρ → 0khi α, β → ∞ vì 0 < ρ < 0 Giả sử fα → f khi α → ∞ trong H(K).Theo trên, tồn tại g ∈ B sao cho fα → g đều trên tập con compact của

K + W Vì Pm,K,L(f ) = Pm,K,L(g) và với bất kỳ m ∈ N và với bất kỳ tậpcon compact L của K + W cho nên

dmf (ξ) = dmg(ξ)với mọi ξ ∈ K Do đó f và g xác định cùng lớp tương đương trong H(K)

và chứng minh kết thúc

Mệnh đề 1.2.13 ([7]) Giả sử K là một tập con compact của một khônggian metric lồi địa phương Khi đó H(K) là giới hạn quy nạp chính quy.Chứng minh Vì E là không gian metric nên E chứa một cơ sở lân cậnđếm được tại 0, (Vn)n và do đó H(K) = lim−→

n

(H∞(K + Vn), k kn) là một

DF −không gian chặn đóng Do đó với mỗi tập con bị chặn của H(K)được chứa trong một tập con đóng bị chặn của H∞(K + Vn) Theo Bổ đề1.2.12, hình cầu đơn vị đóng của H∞(K + Vn) và cũng là tập con đóngtrong H(K) Vậy ta có điều phải chứng minh

Một đặc trưng của một nửa chuẩn của một tập con trong H(K) đượccho trong mệnh đề sau đây

Mệnh đề 1.2.14 ([7]) Cho F là một tập con compact của một không gianmetric lồi địa phương E Một tập B ⊂ H(K) bị chặn nếu và chỉ nếu thỏamãn các điều kiện sau

(a) Với mỗi nửa chuẩn liên tục trên H(0), ta có

!

(b) Nếu (xn)∞n=1 và (x0n)∞n=1 là hai dãy hội tụ trong K, (yn)∞n=1 và (yn0)∞n=1

là các dãy không trong E, (kn)∞n=1 là một dãy tăng ngặt các số nguyêndương và xn + yn = x0n + yn0 với mọi n thì

k n

X

j=0

djf (xn)j! (yn) −

k n

X

j=0

djf (x0n)j! (y

0

n)

k n

X

m=0

dmf (xn)m! (yn) −

k n

X

m=0

dmf (x0n)m! (y

0

n)

với mọi f ∈ H(K)

Vì (H(K), τ )là một không gian thùng lồi địa phương vàH(K) vàH(0)

là cảm sinh tôpô τω trên P(nE) với mỗi số nguyên dương n cho nên mỗinửa chuẩn trên là hữu hạn

Lấy f ∈ H(K) là tùy ý Khi đó tồn tại một lân cận V của 0 sao cho f

có thể đồng nhất với một phần từ nào đó trong H∞(K + 4V ) Cho

Bây giờ ta chọn một số nguyên dương N sao cho yn, yn0 ∈ V với mọi

0

n)

... chỉnh hình Gâteaux hàm chỉnh hình giá trị véctơĐịnh nghĩa 1.2.5 ([7]) ChoE, F không gian lồi địa phương vàD làmột miền (tập mở, liên thông) E Một hàm giá trị véctơ f : D → Fđược gọi chỉnh hình. .. Pa(nE; F ) không gian véctơ tất đa thức n-thuầnnhất từ E vào F Một đa thức từ E vào F tổng hữu hạn đathức từ E vào F Không gian véctơ tất đa thức thuầnnhất từ E vào F ký hiệu Pa(E;... phức

λ 7→ (ϕ ◦ f )(a + λb)chỉnh hình lân cận ∈ C.

Ta ký hiệu HG(D, F ) không gian véctơ tất hàm chỉnh hìnhGâteauxD với giá trị trongF Ta ký hiệuHG(D)