Chuỗi luỹ thừa hình thức và ứng dụng

Với mục đích tìm hiểu các ứng dụng của Lý thuyết số, trong luận văn này chúng tôi cố gắng tìm tòi các ứng dụng của phân thức hữu tỷ, chuỗi luỹ thừa hình thức trong việc giải toán và sáng

Bộ giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

khai triển hàm số thành chuỗi 20

2.1 Khai triển, đơn giản và phân tích biểu thức đại số …… … 20 2.2. Kiểm tra tính bất khả quy của đa thức……… 222.3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số theo công thức truy hồi …… 242.4. Khai triển hàm số thành chuỗi …. 26

kết quả của nó, mặc dầu có những bài toán số học tởng chừng nh rất đơn giản nhng đã số làm tốn không ít thời gian và công sức của các nhà toán học

Với mục đích tìm hiểu các ứng dụng của Lý thuyết số, trong luận văn này chúng tôi cố gắng tìm tòi các ứng dụng của phân thức hữu tỷ, chuỗi luỹ thừa hình thức trong việc giải toán và sáng tạo ra các bài toán số học mới

Ngày nay, mọi ngời đều đã số biết vai trò tiên phong của Toán học trong cách mạng khoa học công nghệ Nhờ những nỗ lực chung của rất nhiều chuyên gia toán tin học trên thế giới mà một số phần mềm tính toán đã số ra đời

và càng thân thiện với ngời sử dụng Hiện nay, có không ít phần mềm Toán học chuyên dụng có khả năng hỗ trợ cho dạy và học toán Maple là một trong những ví dụ điển hình Maple là bộ chơng trình đề cập đến hầu hết mọi lĩnh vực của toán học Hiện nay, phần mềm Maple đang đợc dùng rất phổ biến trong giảng dạy và nghiên cứu ở nhiều trờng đại học trên thế giới Trong luận văn, chúng tôi cố gắng đa ra một số ví dụ về ứng dụng của phần mềm Maple trong tính toán số học.

Luận văn này gồm hai chơng, ngoài phần mở đầu, kết luận và một danh mục tài liệu tham khảo.

Trong chơng 1, xuất phát từ kết quả thu đợc trong trong các hệ quả 1.1.4 và 1.1.5 nói về mỗi phân thức hữu tỉ bất kì đều có thể phân tích đợc thành tổng của một đa thức và các phân thức hữu tỉ đơn giản, chúng tôi đã số đề xuất một số bài toán mới về đa thức và phân thức hữu tỉ cũng nh ứng dụng của chúng trong việc giải các bài toán về hệ phơng trình và chứng minh một số

đẳng thức.

Chơng 1 của luận văn còn đa ra một số bài toán liên quan đến việc tìm

số hạng tổng quát của một dã sốy số dựa vào khái niệm chuỗi luỹ thừa và hàm sinh.

Cuối chơng 1, luận văn đề cập đến tính chất hữu tỉ và tính toán tổng vô hạn của chuỗi luỹ thừa.

Chơng 2 của luận văn là sự ứng dụng phần mềm Maple để khai triển một số biểu thức đại số và khai triển hàm số thành chuỗi.

Với những khả năng tính toán và biểu diễn hiện có, Maple có thể đáp ứng phần lớn nhu cầu hỗ trợ cho giảng dạy và học tập Nội dung của chơng này là chỉ ra một số tính năng độc đáo của Maple trong khai triển và phân tích biểu thức đại số, chuyển đổi biểu thức về dạng đặc biệt xác định trớc Ngoài ra Maple còn cho phép ta kiểm tra tính bất khả quy của đa thức, tìm số hạng tổng quát của một dã sốy số theo công thức truy hồi đó cho phép ta giải một số hệ ph-

ơng trình Trong chơng này còn trình bày ứng dụng của Maple trong việc khai triển hàm số thành chuỗi số.

Luận văn này đợc thực hiện tại Trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn nghiêm túc của PGS.TS Nguyễn Thành Quang Nhân dịp này, tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hớng dẫn

Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới GS.TS Nguyễn Quốc Thi, PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Chu Trọng Thanh, TS Mai Văn T,

TS Nguyễn Thị Hồng Loan đã số giúp đỡ, giảng dạy và tạo điều kiện cho chúng tôi trong quá trình học tập tại lớp Cao học XIII Đại số

Tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới Ban chủ nhiệm Khoa đào tạo Sau đại học, Khoa Toán đã số tạo điều kiện cho chúng tôi trong thời gian học tập.

Tác giả xin cảm ơn tới bạn bè đồng nghiệp trong lớp cao học XIII Đại số

đã số có nhiều sự động viên giúp đỡ trong quá trình học tập vừa qua

Luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, chúng tôi mong nhận đợc sự chỉ bảo của quý thầy cô và các bạn đồng nghiệp.

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

Chơng 1 chuỗi lũy thừa hình thức

m g x và ndeg ( )h x thì đa thức bất kì f x( ) với deg ( )f x m n đều

có thể biểu diễn đợc thành dạng f x( )r x g x( ) ( )s x h x( ) ( ), trong đó

deg ( )r x n và deg ( )s x m

Chứng minh Vì g x và h x nguyên tố cùng nhau, nên ta có đồng nhất thức:

1a x g x( ) ( )b x h x( ) ( ) Nhân hai vế hệ thức này với f x( ) ta nhận đợc:

1.1.2 Bổ đề Nếu hai đa thức g(x), h(x) nguyên tố cùng nhau trên k và đa thức

f(x) với degf x( )degg x( )degh x( ) thì ta có sự biểu diễn

Chứng minh Nếu deg f(x)< deg g(x) thì ta có kết quả cần chứng minh theo định

lí trên Nếu deg ( )f x deg ( )g x Khi đó ( ) ( )

chứng minh đợc suy ra từ nhận xét ban đầu 

Vì mỗi đa thức bất khả qui bậc hai đơn hệ trong [x] có dạng x2+bx+cvới  b2  4ac , nên mỗi đa thức g(x) viết đợc thành dạng:0

1.1.6 Xây dựng một số bài toán mới.

Từ các kết quả trên ta sẽ tạo ra đợc một số bài toán sau

Ví dụ 1 Cho a i, ( )f x x a 1 x a 2  x a n Khi đó

2 !

n

f x

f n x

Từ đó ta có bài toán sau nh một hệ quả trực tiếp

Ví dụ 2 (i) Nếu a1 a2   a n  thì 0 f j  j n và ta có

n n

11

n

f x

n

f x

2

n n

j

n j

n j

j

n j

n j

f x

n

n a

( 1) (1)( 1)!

( 1) (2)3.1!( 2)!

n

a f x

f x

1 1 1 2 1

k n

n y

2

k n

n

k k

1.2 Chuỗi lũy thừa hình thức và ứng dụng

f x k x f x  a x



 

    , với x0 =1, đợc

gọi là một chuỗi lũy thừa hình thức của biến x với các hệ tử thuộc k.

Để k x  thành một vành giao hoán có đơn vị ta trang bị các phép toán

gọi là khả nghịch nếu có chuỗi g x để   f x   g x =1  

1.2.2 Mệnh đề Chuỗi  

0

i i i

f x  ia x



 Với một hàm f x bất kỳ xác định tại x = 0, ta biểu diễn nó qua chuỗi  

Bây giờ ta định nghĩa hàm sinh của một dãy số và cách tìm công thức tờng minh

cho các số hạng của một dãy số

1.2.3 Định nghĩa Cho dãy số  a Chuỗi lũy thừa hình thức i  

0

i i i

f x  a x



đ-ợc gọi là hàm sinh của dãy  a i

Cho dãy  a xác định theo qui luật H nào đó Ta lập hàm sinh của dãy n

 

0

i i i

Do đó f x    1 x 2x2 3x3   x Ta biểu diễn qua chuỗi





 Giải i) Đặt f x  a x a x1  2 2 a x3 3 Khi đó:

a f

12

1.3 Tính hữu tỉ của chuỗi

Bây giờ ta quan tâm đến tính hữu tỉ của chuỗi và tính tổng vô hạn

1.3.1 Định nghĩa Chuỗi f x gọi là chuỗi hữu tỉ nếu có hai đa thức 

R x  Nếu g 0  thì bậc của 1 f x là   deg f x : deg k x   degg x 

Nếu biết miền hội tụ D của chuỗi f f x thì      

 

0 0

Chứng minh i) ii) : Từ      

0

m m

 

1 1

1

.1

n m n

m

C d x dx

1 1 1 2 2

2 2

1

n n

i i

n n

i i

n n

i n

a x

a a a x

a a

a x

Chơng 2 ứng dụng maple để khai triển biểu thức đại số và khai triển hàm số

thành chuỗi

Chúng ta đều đã biết khả năng của MAPLE trong việc hỗ trợ cho chonghiên cứu, giảng dạy toán học Trong chơng này chúng ta sẽ tìm hiểu một sốứng dụng của MAPLE trong việc khai triển biểu thức đại số và khai triển hàm sốthành chuỗi

2.1 Khai triển, đơn giản và phân tích biểu thức đại số

Khai triển biểu thức đại số

Maple có thể khai triển các nhị thức

Ví dụ Khai triển nhị thức x y 15 Công việc này đợc tiến hành nh sau:

Bớc 1 Đa vào dòng lệnh gán tên cho biểu thức cần khai triển:

(nghĩa là: “Khai triển biểu thức expr ”) Sau khi cho thực hiện lệnh máy hiện

dạng khai triển của biểu thức

Chú ý Đa thức đại số luôn đợc hiểu là có hệ số nguyên, cho nên máy chỉ tìm

những thừa số là đa thức nguyên mà thôi Muốn tìm những đa thức khôngnguyên thì tốt nhất là dùng cách giải phơng trình để tìm nghiệm

Phép đơn giản biểu thức

Bằng lệnh simplify (đơn giản hoá) maple có thể áp dụng các đồng nhất

thức để đơn giản rất nhiều biểu thức toán học cồng kềnh, thí dụ các biểu thức l ợng giác

-Thí dụ Muốn đơn giản biểu thức lợng giác

 5 sin 4 2cos 2 2sin 2 cos 2 

Tối giản biểu thức

Tối giản biểu thức cũng là đa nó về dạng chuẩn tắc (normal), tức là giản

-ớc các thừa số chung của tử số và mẫu số Muốn làm việc này ta sử dụng lệnhnormal Thí dụ, ta tối giản phân thức

Gán tên cho biểu thức và gán trị cho biến

Nếu một biểu thức cồng kềnh mà đợc dùng đi dùng lại nhiều lần thì tốtnhất là gán cho nó một cái tên, để mỗi lần dùng đến nó là ta không mất công viếtlại (và cũng đỡ nhầm lẫn) Thí dụ, ta gán cho biểu thức 4x2  x 122x 1 cái

và sau đó ta có thể thoải mái tiến hành mọi phép toán trên nó

Thí dụ, ta có thể khai triển nó bằng lệnh expand và cùng một lúc, lại có

thể gán cho biểu thức kết quả một cái tên khác, thí dụ nh là expr2 (biểu thức 2),với lệnh:

[> expr2:= expand(expr1);

expr  x  x  x  x 

Và có thể thiết lập phân thức với tử số là một đa thức nào đó, thí dụ: x2  x 1

và mẫu số là biểu thức trên, với lệnh:

[> phanthuc: (x^2+x+1)/epr2;

2

1:

x x phanthuc

 



Muốn gán một giá trị cho biến của một biểu thức ta dùng lệnh subs (viết tắt của

từ substitution – thay thế), thí dụ ta có thể tính giá trị của biểu thức 2 tại

x = 1 bằng lệnh gán cho biến x giá trị bằng 1, cụ thể là:

[> subs (x=1, phanthuc);

31849

Dĩ nhiên, giá trị đợc gán cho biến số cũng có thể là một biểu thức (và khi ấy ýnghĩa của từ “thay thế” càng trở nên sáng tỏ), thí dụ:

[> subs (x=x+y, phanthuc);

Chuyển đổi dạng của biểu thức

Lệnh convert (chuyển đổi) cho phép ta đa các biểu thức về dạng đặc biệt xác

định trớc

Thí dụ, ta biến đổi biểu thức

2 2

Khai báo biểu thức:

[> my_expr:=(a*x^2+b)/(x*(-3*x^2-x+4));

 

2 2

11

Ix

Ix

e e





2.2 Kiểm tra tính bất khả quy của đa thức

Với đa thức lấy hệ số trên trờng có đặc số 0

Câu lệnh sau sẽ kiểm tra xem đa thức P có bất khả qui xét trên trờng mởrộng nhỏ nhất của  chứa các hệ số của đa thức, nếu câu lệnh trả lại true thì đa

thức là bất khả qui và ngợc lại thì không phải

Ta có thể phân tích nó thành các thừa số “ bất khả quy” bằng lệnh vì

[> factor(x^2+1,alpha);

(x  2 ) (x  2 )

Với đa thức có hệ số trên trờng có đặc số p

Khi làm việc trên trờng có đặc số p (p nguyên tố) thì ta có hai trờng hợpcần xem xét

Muốn biết đa thức (có hệ số trên Z p) có bất khả qui trên Z x p  hay không

ta dùng các lệnh Irreduc(poly) mod p Thí dụ:

Lu ý rằng các lệnh trên đề có chữ cái đầu viết in hoa, nhng không phải là lệnh

“trơ” nh thờng dùng với các lệnh khác trên Maple

Muốn biết đa thức ( với hệ số trên Z p) có bất khả quy đối với một mở rộng đại

số nào đó ( của Z p) hay không ta cần phải chỉ định phần tử mở rộng (thực ra là

một đa thức sinh ra số đó) trong câu lệnh

Tìm đa thức bất khả quy của một số đại số

Khi một số đại số b và một số tự nhiên k, ta có thể tìm đợc đa thức bất khả quy bậc không cao hơn k nhận b làm nghiêm xấp xỉ (nếu k lớn hơn bậc của

đa thức tối thiểu của số đại số b thì kết quả trả lại chính xác là đa thức tối thiểunày, cho nên trên thực tế ngời ta thờng lấy k đủ lớn để tìm ra đa thức tối thiểu đã

“sinh ra” số đại số b) Lu ý rằng lệnh này chỉ có thể thực hiện khi sử dụng gói

công cụ về đa thức polytools Thí dụ:

[> minpoly (sqrt (1+sqrt(2))+1,3);

79 71_ X  112 _X 50 _X

Muèn cã ®a thøc tèi thiÓu thùc sù ta h·y cho bËc k cao h¬n (nÕu ®a thøc sinh ra

cã bËc thÊp h¬n k th× ta cã ®a thøc tèi thiÓu thùc sù) ThÝ dô:

[> minpoly (sqrt (1+sqrt(2))+1,5);

2 4 _X 4 _X _X

Sè lîng c¸c ®a thøc bÊt kh¶ qui cã bËc n lÊy hÖ sè trªn trêng h÷u h¹n

T×m sè lîng c¸c ®a thøc bÊt kh¶ qui bËc n trªn trêng F , víi p lµ sè p

2.3 T×m sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y sè theo c«ng thøc truy håi.

Nhê MAPLE, ta cã thÓ tÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc theo c«ng thøc truy håi nh tÝnh c¸c sè h¹ng tæng qu¸t cña d·y Fibonaci Muèn tÝnh theo c«ng thøc truy håi,

NÕu muèn cã c«ng thøc cña f k víi gi¸ trÞ ban ®Çu cho tríc th× ta ph¶i khai  

b¸o gi¸ trÞ Êy vµo enqs, thÝ dô khai b¸o f(1) = f(2) = 1 nh sau:

Kết quả tính toán truy hồi có thể cho ta một hàm đặc biệt.

Ví dụ 6. Tìm y n , biết   y n  n y n*   1 ,  y 0 1

[> rsolve({y(n) = n*y(n-1), y(0) = 1}y);

n 1

 MAPLE cũng có thể giải phơng trình truy hồi

Ví dụ 7. Giải phơng trình truy hồi:

MAPLE cũng có thể giải hệ phơng trình

Với điều kiện ban đầu: y k 1 5) 2 k  1,f  5 6;

[> rsolve({y(n+1)+f(n) = 2^(n+1)+n, f(n+1)-y(n) = n-2^n + 3, y(k = 1 5) = 2^k-1, f(5) = 6}, {y,f});

   

 y n 2n  1,f n  n 1

2.4 Khai triển hàm số thành chuỗi

Khai triển hàm số thành chuỗi

Trong phần này ta chỉ đề cập đến việc khai triển hàm số thành chuỗi luỹthừa (chuỗi Taylor) Ngời ta thiết lập đa thức xấp xỉ một hàm số f x( ) trong lâncận một điểm bằng cách “lấy phần” chính của chuỗi Taylor của hàm f tại điểmnày Vì vậy, vấn đề khai triển hàm số thành chuỗi có ý nghĩa rất quan trọng.Maple là một công cụ hoàn hảo về lĩnh vực này Nó cho phép khai triển với bậcxấp xỉ rất cao, nhng trong các tính toán thông thờng (khi ta không chỉ rõ bậc xấpxỉ) thì bậc đợc mặc định là 6

Thí dụ Ta khai triển hàm sin 4 cos x  x thành chuỗi tại điểm x 0 nh sau:

Xác định biểu thức (cũng có nghĩa là gán tên cho) hàm sin 4 cos x  x

[> expr: = sin (4*x)*cos(x);

exp : sin(4 )cos( )r  x x

Khai triển biểu thức (expr) thành chuỗi tại điểm x 0 và gán cho nó cái tên

1

[> approx1: = series (expr,x=0);

[> approx2: = series (expr,x=0);

Kết luận

Luận văn đã giải quyết đợc các nội dung chính sau đây:

1 Tìm đợc một số ứng dụng của phân thức hữu tỷ và đa ra các bài toán mới về

phơng diện đại số và số học nh chứng minh đẳng thức và giải hệ phơng trình

2 Sử dụng chuỗi luỹ thừa hình thức, tìm đợc công thức tổng quát của một dãy số.

3 Sử dụng phần mềm Maple thực hiện các tính toán trên đa thức và khai triển

một số hàm số

Luận văn có thể tiếp tục theo hớng đa ra một lớp những bài toán mới mà lời giải

áp dụng đợc phơng pháp của luận văn đã chỉ ra

Tài liệu tham khảo

Tiếng Việt

[1] Nguyễn Tự Cờng (2003), Giáo trình Đại số hiện đại, NXB Đại học Quốc gia Hà

Nội.

[2] Phạm Huy Điển (2002), Tính toán, Lập trình và Giảng dạy Toán học trên

Maple, NXB Khoa học và Kỹ thuật, Hà Nội.

[3] Phạm Minh Hoàng (2005), Maple và các bài toán ứng dụng, NXB Khoa học và

[6] Hà Huy Khoái (2004), Số học, NXB Giáo dục, Hà Nội.

[7] Hà Huy Khoái, Phạm Huy Điển (2003), Số học thuật toán, NXB Đại học Quốc

gia Hà Nội

[8] Nguyễn Thành Quang (2003), Số học hiện đại, Đại học Vinh.

[9] Nguyễn Thành Quang (2005), Lý thuyết trờng và Lý thuyết Galois, Đại học

Vinh.

[10] Ngô Việt Trung (2001), Giáo trình Đại số tuyến tính, NXB Đại học Quốc gia Hà

Nội.

[11] Ngô Việt Trung (1999), Cơ sở Groebner trong Hình học và Đại số, Thông tin

Toán học, Hội Toán học Việt Nam, Tập 3, Số 1.

Tiếng Anh

[12] Z I Borevic and R I Shafarevich (1966), Number Theory, Acamedic Press.

[13] R Hartshorne (1977), Algebrai Geometry, Springer.

[14] A Heck (1997), Introduction to Maple, Edition Springer Velrag, Berlin

Heidenberg