CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ VÔ HƯỚNG
2.2 Chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vô hướng
2.2.1 Một số bổ đề chuẩn bị Bổ đề 2.2.1 ([16]). Giả sử f =
∞
P
m=0
Pm(z) là một chuỗi lũy thừa và r > 0.
Khi đó f hội tụ trong hình cầu ∆n(0, r) nếu và chỉ nếu hàm u(z) := lim
m→∞sup 1
mlog|Pm(z)| ⩽ −logr trên hình cầu đơn vị ∆n(0,1).
Chứng minh. Giả sử f hội tụ trong hình cầu ∆n(0, r). Cố định s ∈ (0, r).
Khi đó chuỗi hội tụ đều trên ∆n(0, s). Do đó, tồn tại m0 ⩾ 1 sao cho
|Pm(z)| < 1, ∀m ⩾ m0, ∀z ∈ ∆n(0, s).
Vì Pm thuần nhất cho nên |Pm(z)| ⩽ s1m với mọi z ∈ ∆n(0,1). Do đó
m→∞lim sup log|Pm(z)|m1 ⩽ log 1
s = −logs, ∀z ∈ ∆n(0,1).
Cho s →r ta được u(z) ⩽ −logr với mọi z ∈ ∆n(0,1).
Ngược lại, từ giả thiết ta có chuỗi hội tụ đều trên ∆¯n(0, s) với mọi 0< s < r. Giả sử
m→∞lim sup 1
m log|Pm(z)| ⩽ −logr, ∀z ∈ ∆n(0,1).
Khi đó, dãy {m1 log|Pm(z)|} là bị chặn điểm trong tập không đa cực
∆n(0,1). Do đó, theo Mệnh đề 5.2.1 trong [13], dãy này là bị chặn đều trên tập compact của Cn. Cố định t ∈ (s, r). Khi đó, theo Bổ đề Hartogs ta có thể tìm được m0 ⩾ 1 sao cho
1
m log|Pm(z)| ⩽ −logt, ∀m ⩾ m0, ∀z ∈ ∆¯n(0,1).
Từ đó suy ra
|Pm(z)|⩽ 1
t m
, ∀m ⩾ m0, ∀z ∈ ∆¯n(0,1).
Vì Pm thuần nhất cho nên ta có
|Pm(z)| ⩽ s
t m
, ∀m ⩾ m0, ∀z ∈ ∆¯n(0, s).
Vì vậy, theo tiêu chuẩn Weierstrass ta suy ra chuỗi hội tụ đều trên∆¯n(0, s).
Bổ đề được chứng minh.
2.2.2 Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức giá trị vô hướng Định lý 2.2.2 ([16]). Cho r0 > 0 và A⊂ Cn là tập Borel không đa cực xạ ảnh. Giả sử {fα}α∈I là một họ các chuỗi lũy thừa sao cho với mỗi z ∈ A và mỗi α ∈ I, chuỗi lũy thừa fα,z(t) := fα(tz) biểu diễn một hàm chỉnh hình trên đĩa ∆(0, r0) và hàm fα,z bị chặn đều trên ∆(0, r0) theo nghĩa
|fα(zt)| ⩽ M(z, t) với t ⩽ r, trong đó 0 < M(z, t) < ∞ là một hàm đo được trên A×(0, r0). Khi đó tồn tại r1 > 0, chỉ phụ thuộc vào r0 và A sao cho với mỗi fα biểu diễn một hàm chỉnh hình trên ∆n(0, r1).
Chứng minh. Ta cố định fα và viết lại fα =
∞
X
j=0
Pj,
trong đó Pj là đa thức thuần nhất có bậc là j. Vì |fα(zt)| ⩽ M(z,|t|) cho nên theo bất đẳng thức Cauchy
|Pj(z)| ⩽ M(z, t)
rj , ∀z ∈ A, r ∈ (0, r0), j ⩾ 1, ta có
1
j log|Pj(z)| ⩽ 1
j log M(z, t)−log r, ∀z ∈ A, r ∈ (0, r0), j ⩾ 1.
Do A không là tập đa cực xạ ảnh và theo Mệnh đề 2.1.10(iv), nên ta có thể chọn N ⩾ 1sao cho AN := {z ∈ A : |z| < N}không là đa cực xạ ảnh.
Theo Mệnh đề 2.1.9, ta có A1N không phải là tập đa cực. Với k ⩾ 1 ta xét AN,k := {z ∈ AN : M(z,r0
2) ⩽ k}.
Do đó với z ∈ AN,k ta có 1
j log|Pj(z)| ⩽ 1
j log k− log r
2 , j ⩾ 1.
Vì Pm là đa thức thuần nhất nên bất đẳng thức trên cũng đúng với A1N,k := {tz : z ∈ AN,k,|t|⩽ 1}. Khi đó
1
j log|Pj(z)| ⩽ VA∗1
N,k + 1
j log k− log r
2 , ∀z ∈ Cn, ∀j ⩾ 1.
Do đó, nếu đặt
u(z) := lim sup
j→∞
1
j log|Pj(z)|
thì
u(z) ≤ VA∗1
N,k(z)−log r0
2
, ∀z ∈ Cn
Chú ý rằng A1N,k ↑ A1N, A1N bị chặn và không là đa cực và A1N,k là tập Borel. Vì thế sử dụng kết quả trong [23], ta có
VA∗1
N,k(z) ↓VA∗1
N khi k → ∞.
Điều này nghĩa là
u(z) ⩽ VA∗1
N(z)−log(r0
2), ∀z ∈ Cn. Đặt
r1 = r0
2 exp(−sup
|z|=1
VA∗1
N(z)) > 0.
Khi đó, r1 chỉ phụ thuộc vào r0, A. Hơn nữa, u∗ ⩽ −log r1 trên hình cầu đơn vị ∆n(0,1). Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 2.2.3 ([16]). Giả sửA ⊂ Cn không là tập đa cực xạ ảnh,{fm}m⩾1 là dãy của chuỗi lũy thừa trong Cn và r0 > 0. Nếu mỗi a ∈ A, hạn chế của {fm}m⩾1 trên la là một dãy của hàm chỉnh hình trên đĩa ∆(0, r0) ⊂C, hội tụ đều trên các tập compact thì tồn tại r1 > 0 (chỉ phụ thuộc vào r0, A) sao cho {fm}m⩾1 là một dãy của các hàm chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của ∆n(0, r1).
Chứng minh. Vì{fm|la}m⩾1 bị chặn đều trên tập con compact của∆(0, r0) với mỗi a ∈ A,theo Định lý 2.2.2, tồn tại r1 > 0(chỉ phụ thuộc vào r0, A) sao cho {fm}m⩾1 bị chặn đều trên tập compact của ∆n(0, r1). Theo giả thiết, {fm}m⩾1 hội tụ điểm trên A∗ := {tz :t ∈ C, z ∈ A} là một tập duy nhất cho hàm nguyên trong Cn (Mệnh đề 2.1.10(iii)), theo Định lý Vitali, ta có {fm}m⩾1 hội tụ đều trên tập con compact của ∆n(0, r1). Ta có điều phải chứng minh.
Nhận xét 2.2.4 ([16]). Từ cách chọn của r1 trong Định lý 2.2.2, nếu
“r0 = ∞” nghĩa là {fm|la}m⩾1 xác định một dãy của hàm nguyên trên C
thì ta chọn “r1 = ∞” nghĩa là {fm}m⩾1 là sự biểu diễn một dãy của các hàm nguyên trên Cn.
Hệ quả sau đây của nhận xét trên (theo Định lý 2.2.3) là mở rộng của kết quả Forelli trong [9] với trường hợp f xác định trên hình cầu đơn vị
∆n ⊂ Cn là chỉnh hình nếu f là C∞ trên ∆n và hạn chế của nó đối với mọi đường phức đi qua gốc tọa độ là chỉnh hình trên đĩa đơn vị ∆(0,1). Hệ quả 2.2.5 ([16]). Cho f: ∆n → C là C∞-hàm trơn và A ⊂ ∂∆n là một tập mở. Giả sử f hạn chế trên la là hàm nguyên trên C với mỗi a ∈ A.
Khi đó tồn tại hàm nguyên F trên Cn sao cho F = f trên ∆n ∩ la với a ∈ A tùy ý.
Hệ quả trên được suy ra trực tiếp từ kết quả tổng quát sau đây.
Hệ quả 2.2.6 ([16]). Lấy {fm}m⩾1 là dãy của C∞-trơn xác định trên hình cầu ∆n ⊂ Cn và A ⊂ ∂∆n là một tập mở. Giả sử với mỗi a ∈ A, hạn chế của {fm}m⩾1 trên la mở rộng tới một dãy của hàm nguyên trên C mà nó hội tụ đều trên tập con compact của C. Khi đó tồn tại một dãy các hàm nguyên {Fm}m⩾1 trên Cn hội tụ đều trên tập con compact trên Cn sao cho với mỗi m ⩾ 1, Fm = fm trên ∆n ∩la với a ∈ A tùy ý.
Chứng minh. Với mỗi m ⩾ 1, lấy Fm là chuỗi Taylor của fm. Khi đó Fm(z) =X
j⩾0
Pj,m(z,z),¯
trong đó Pj,m là đa thức thuần nhất bậc j trong z1, . . . , zn,z¯1, . . . ,z¯n. Xét hạn chế của Fm trên mỗi đường phức t 7→ta, a ∈ A, ta có
Fm(ta) = X
j≥0
Pj,m(ta, ta) = X
j≥0
X
α+β=j
tαtβPα,β,m(a, a)
Pα,β,m(z,z)¯ là đa thức thuần nhất bậc α theo biến z và bậc β theo biến z.¯ Vì t 7→ fm(ta) chỉnh hình trong t, cho nên Pα,β,m ≡ 0 trên A nếu β ⩾ 1.
Thật vậy, do Pα,β,m thuần nhất và A mở cho nên Pα,β,m ≡ 0 trên tập mở A∗ := {ta : t ∈ C, a ∈ A}. Từ đó suy ra Pα,β,m ≡ 0 nếu β ⩾ 1. Do đó Pj,m không chứa lũy thừa nào của z¯ với j ⩾ 0 và vì thế Fm là một chuỗi lũy thừa hình thức của z trong Cn. Theo Định lý 2.2.2 và để ý rằng A không là đa cực xạ ảnh, thì Fm xác định một hàm nguyên trên Cn. Đặc biệt, Fm = fm trên ∆n ∩Ca,với mọi a ∈ A. Hơn nữa, theo Định lý 2.2.3, {Fm}m⩾1 xác định một dãy các hàm nguyên mà nó hội tụ đều trên tập con compact trong Cn. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Chương 3