CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ FRÉCHET
3.2 Sự hội tụ của chuỗi lũy thừa hình thức giá trị
Bổ đề 3.2.1 ([19]). Một giới hạn quy nạp E = lim
n→∞−→
En của một họ đếm được các không gian lồi địa phương thỏa mãn các điều kiện bị chặn đếm được c.b.c, nghĩa là nếu có một dãy {Bn} của các tập con bị chặn của E, thì tồn tại λn > 0, n ⩾ 1 sao cho S
n⩾1
λnBn bị chặn.
Chứng minh. Cho một dãy (Bn)n⩾1 là một tập con bị chặn của E. Do E chính quy cho nên với mỗi n⩾ 1, tồn tại kn ⩾ 1 sao cho Bn bị chặn trong Ekn. Không mất tính tổng quát ta giả sử kn = n. Do đó ta tìm được một dãy các số dương (λn)n⩾1 sao cho λnBn ⊂ Un là lân cận của 0 trong En, với mọi n ⩾ 1. Từ đó suy ra S
n⩾1
λnBn ⊂ U := S
n⩾1
Un là một lân cận của 0 trong E. Vậy ta có điều phải chứng minh.
Định lý 3.2.2 ([19]). Cho A là tập không đa cực xạ ảnh được chứa trong tập con lồi, cân, compact của không gian Fréchet E và f = P
n⩾1
Pn là chuỗi lũy thừa hình thức, trong đó Pn là đa thức thuần nhất liên tục bậc n trên E có giá trị trong một không gian Fréchet F. Nếu với mỗi a ∈ A, hạn chế của f trên đường phức la hội tụ thì f hội tụ trên một lân cận của 0∈ E.
Chứng minh. Ta xét các trường hợp sau:
(i) Trường hợp F = C. Theo giả thiết ta suy ra lim sup
n→∞
|Pn(z)|n1 < ∞, ∀z ∈ A.
Khi đó, theo Hệ quả 3.1.3, tồn tại lân cận U của 0 trong E sao cho sup{|Pn(z)|n1 : z ∈ U, n ⩾ 1} =: M < ∞.
Điều này nghĩa là f hội tụ đều trên (2M)−1U.
(ii) Trường hợp tổng quát. Từ trường hợp (i) ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính
T: Fbor0 →H(0E) cho bởi
T(u) = X
n⩾1
u(Pn)
trong đó H(0E) ký hiệu các không gian các mầm chỉnh hình vô hướng tại 0∈ E. Giả sử uα →u trong Fbor0 và T(uα) →v trong H(0E) khi α → ∞.
Trong trường hợp đặc biệt [T(uα)](z) → v(z) với mọi z trong lân cận U của 0 trong E. Tuy nhiên, với z ∈ U ta có
[T(uα−u)](z) =X
n⩾1
(uα−u)(Pn(z)) = lim
n→∞
n
X
n=1
(uα −u)(Pn(z))
= (uα−u)
lim
n→∞
n
X
k=1
Pn(z)
= (uα−u)
n
X
n⩾1
(Pn(z))
.
Khi đó [T(uα)](z) → [T(u)](z) với mọi z ∈ U. Nghĩa là v = T(u). Do đó T có đồ thị đóng.
Mặc khác, vì F là Fréchet, cho nên theo Định lý 13.4.2 trong [12] ta có β(F0, F)bor = η(F, F) trên F0. Điều này nghĩa là Fbor0 là siêu chặn đóng.
Hơn nữa, vì E là khả metric, cho nên ta có H(0E) = lim−→
n→∞
(H∞(Vn),kãkn)
trong đú (Vn)n⩾1 là hệ cơ bản đếm được cỏc lõn cận tại 0 ∈ E, và kãkn là chuẩn trong không gian Banch H∞(Vn) cho bởi kfkn = sup
z∈Vn
|f(z)|. Do đó, theo Định lý đồ thị đóng của Grothendieck [11], T liên tục.
Theo Mệnh đề 2.55 trong [7] và Bổ đề 3.2.1, H(0E) thỏa mãn c.b.c.
Từ Mệnh đề 1.8 trong [6], tồn tại một lân cận V của 0 ∈ E sao cho T: Fbor0 →H∞(V) tuyến tính liên tục.
Ta định nghĩa ánh xạ f: V → Fbor00 cho bởi công thức [ ˆf(z)](u) = [T(u)](z), z ∈ V, u ∈ Fbor0 .
Bằng cách sử dụng tương tự chứng minh của Định lý 4.7 trong [20] ta có f: V →F chỉnh hình.
Do đó, chuỗi P
n⩾1
hội tụ đến f trên V.
Định lý 3.2.3 ([19]). Cho F là không gian Fréchet, f: ∆n → F là hàm thuộc lớp Ck tại 0∈ Cn với k ⩾ 0 và A ⊂ ∆n là tập không đa cực xạ ảnh.
Giả sử hạn chế của f trên mỗi đường thẳng phức la, a ∈ A là chỉnh hình.
Khi đó tồn tại một hàm nguyên fˆtrên Cn sao cho fˆ= f trên la với mọi a ∈ A.
Chứng minh. Theo giả thiết, với k ⩾ 0 tồn tại rk ∈ (0,1) sao chof là một hàm Ck trên ∆n(rk). Ta có thể giả sử rk & 0. Đặt
Pk(z) = 1 2πi
Z
|λ|=1
f(λz)dλ
λk+1 , z ∈ ∆n(rk).
Khi đó, với mỗi k ⩾ 0 và p ⩾ k, Pm là Cp-hàm bị chặn trên ∆n(rp). Vì λ 7→ f(λa) là chỉnh hình với mọi a ∈ A nên
Pk(λa) =λkPk(a), với a ∈ A, λ ∈ C. (3.3) Do Pk bị chặn trên ∆n(rk) nên ta có
Pk(w) =O(|w|k) khi w →0.
Mặt khác, vì Pk ∈ Ck+1(∆n(rk+1)) khai triển Taylor của Pk tại 0 ∈
∆n(rk+1) có dạng
Pk(z) = X
α+β=k
Pk,α,β(z) +|z|k%(z) (3.4)
trong đó Pk,α,β là đa thức bậc α theo biến z và bậc β theo biến z¯ và
%(z) →0 khi z → 0.
Trong (3.4), ta thay z bởi λz,|λ| < 1, từ (3.3), ta có X
α+β=k
Pk,α,β(z)λαλ−β +|λ|k|z|k%(λz) = X
α+β=k
Pk,α,β(z)λk +λk|z|k%(z) (3.5) với z ∈ rk+1A.
Điều này cho ta %(λz) = %(z) với λ ∈ [0,1) và do đó, %(z) = %(0) = 0 với z ∈ rk+1A. Do vậy
Pk,α,β(z) = 0 với β > 0 và z ∈ rk+1A.
Lưu ý rằng rk+1A không là đa cực xạ ảnh. Dễ dàng kiểm tra rằng Pk,α,β = 0 với β > 0.
Thật vậy, với ϕ ∈ F0 tùy ý, hàm u(w) = 1
degPk,α,β log|ϕ◦Pk,α,β)(w)|
là hàm đa điều hòa thuần nhất trên Cn, u ≡ −∞ trên rk+1A. Vì rk+1A không đa cực xạ ảnh cho nên u ≡ −∞ và do đó, ϕ ◦Pk,α,β ≡ 0 trên Cn với mọi ϕ∈ F0. Từ đó suy ra Pk,α,β ≡ 0 trên Cn với β > 0.
Do đó, theo (3.4), ta có
Pk(z) =Pk,k,0(z) = X
|α|=k
cαzα
với z ∈ ∆n(rk+1) và Pk là đa thức chỉnh hình thuần nhất bậc k.
Lấy (kãkm)m⩾1 là một họ tăng cỏc nửa chuẩn liờn tục xỏc định tụpụ trên F. Theo giả thiết, với bất kỳ m ⩾ 1
lim sup
k→∞
1
k logPk(z)
m = −∞, với z ∈ A.
Khi đó, theo Hệ quả 3.1.3, dãy(1klogPk(z)
m)k⩾1 bị chặn đều địa phương trên Cn với mọi m ≥ 1. Do đó ta có thể định nghĩa
um(z) = lim sup
k→∞
1
k logPk(z)
m, z ∈ Cn.
Theo [22] chính quy hóa nửa liên tục trên u∗m của um thuộc lớp L(Cn) của các hàm đa điều hòa dưới tăng lôgarit trên Cn. Hơn nữa, theo Định lý Bedford-Taylor [4], ta có
Sm := {z ∈ Cn : u∗m(z) 6= um(z)}
là tập đa cực với mọi m ⩾ 1.
Mặt khác, theo Mệnh đề 2.1.9, A∗ := {ta : t∈ C, a ∈ A} không là tập đa cực. Điều này nghĩa làu∗m ≡ −∞với mọi m ⩾ 1bởi vìu∗m = um = −∞
trên A∗ \Sm và A∗ \Sm không là tập đa cực. Do u∗m ⩾ um cho nên ta có um ≡ −∞ với m ⩾ 1. Do đó chuỗi P
k⩾0
Pk(z) hội tụ với z ∈ Cn và nó xác định một hàm chỉnh hình mở rộng fˆcủa f|la với bất kỳ a ∈ A. Định lý được chứng minh.
Định lý 3.2.4 ([19]). Cho A ⊂ Cn là một tập không đa cực xạ ảnh và (fα)α⩾1 là một dãy của chuỗi lũy thừa các đa thức thuần nhất liên tục trên Cn với giá trị trong không gian Fréchet F. Giả sử tồn tại r0 ∈ (0,1) sao cho, với mỗi a ∈ A hạn chế của (fα)α⩾1 trên la là một dãy các hàm chỉnh hình hội tụ trên ∆(r0). Khi đó tồn tại r > 0 sao cho (fα)α⩾1 là một dãy các hàm chỉnh hình hội tụ trên ∆n(r).
Việc chứng minh định lý này đòi hỏi một số kết quả bổ sung liên quan đến Định lý Vitali cho một dãy các hàm chỉnh hình có giá trị Fréchet.
Nhận xét 3.2.5 ([19]). Bởi cùng một cách chứng minh, Định lý 2.1 trong [3] là đúng đối với trường hợp giá trị Fréchet.
Bổ đề 3.2.6 ([19]). Giả sử E, F là không gian Fréchet, D ⊂ E là tập mở.
Giả sử f : D → F là một hàm bị chặn địa phương sao cho ϕ◦f là chỉnh hình với mọi ϕ ∈ W ⊂ F0 trong đó W là tách điểm, thì f là chỉnh hình.
Chứng minh của Bổ đề giống như trong chứng minh của Định lý 3.1 trong [3], nhưng ở đây chúng ta dùng Định lý của Vitali trong [5], cho dãy các hàm chỉnh hình trên tập hợp con liên thông mở của không gian lồi địa phương.
Bổ đề 3.2.7 ([19]). Giả sử D là một miền trong không gian Fréchet E và f : D → F chỉnh hình, trong đó F là một không gian lồi địa phương thùng. Giả sử rằng D0 = {z ∈ D : f(z) ∈ G} không thưa trong D, trong đó G là một không gian con đóng của F khi đó f(z) ∈ G với mọi z ∈ D. Chứng minh. (i) Ta xét trường hợp thứ nhất G = {0}. Giả sử phản chứng f(z∗) 6= 0 với mỗi z∗ ∈ D \ D0. Bởi định lý Hahn-Banach ta có thể tìm ϕ ∈ F0 sao cho (ϕ◦f)(z∗) 6= 0. Giả sử z0 ∈ (intD0)∩ D và giả sử W là một lân cận lồi, cân của 0 ∈ E sao cho z0 + W ⊂ D0. Bởi f liên tục, ta suy ra rằng f = 0 trên z0 + W. Do đó, nó theo sau từ định lý đồng nhất thức (xem Mệnh đề 6.6 trong [5]) rằng f = 0 trên D. Điều này mâu thuẫn trên yêu cầu của chúng tôi (ϕ◦f)(z∗) 6= 0.
(ii) Trong trường hợp tổng quát, xét không gian thương trên F/G và hàm chỉnh hình ω ◦f : D →F/G trong đó ω : F →F/G là ánh xạ chính tắc.
Khi đó ω◦f ≡0 trên D0. Bởi trường hợp (i), ω◦f ≡ 0 trên D. Điều này có nghĩa rằng f(z) ∈ G với mọi z ∈ D.
Mệnh đề 3.2.8 ([19]). Giả sử E, F là không gian Fréchet và D ⊂ E là một miền. Giả sử rằng (fi)i∈N là một dãy các hàm chỉnh hình bị chặn địa phương trên D với giá trị trong F. Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
(i) Dãy (fi)i∈N hội tụ đều trên tất cả các tập hợp con compact của D là một hàm chỉnh hình f : D →F;
(ii) Tập D0 = {z ∈ D : lim
i fi(z) tồn tại} không thưa trong D.
Chứng minh. Ta chứng minh (ii) ⇒ (i) vì chứng minh (i) ⇒ (ii) là tầm thường. Định nghĩa f˜ : D → l∞(N, F) với f˜(z) = (fi(z))i∈N, trong đó l∞(N, F) là không gian Fréchet với tôpô cảm sinh hệ nữa chuẩn
|||x|||k = |||(xα)α∈N|||k = sup
α
||xα||k, ∀k, ∀x = (xα) ∈ l∞(N, F).
Với mỗi k ∈ N, ta định nghĩa là prk : l∞(N, F) → F là phép chiếu thứ k với prk((wi)i∈N) =wk. Rõ ràng
W = {ϕ◦prk; ϕ ∈ F0, k ∈ N} ⊂ l∞(N, F)0 là tách điểm và
ϕ◦prk ◦f˜= ϕ◦prk◦(fi)i∈N = ϕ◦fk
là chỉnh hình với mỗi k ∈ N. Khi đó theo Bổ đề 3.2.6, f˜là chỉnh hình. Từ đó không gian
G = {(wi)i∈N ∈ l∞(N, F)} : lim
i→∞ωi tồn tại}
là đóng, bởi giả thiết, f˜(z) ∈ G với tất cả z ∈ Do. Theo Bổ đề 3.2.7 f˜(z) ∈ G với tất cả z ∈ D. Do đó, f(z) = lim
i→∞fi(z) tồn tại với mọi z ∈ D. Nhận xét rằng Φ : G →F cho bởi Φ((yi)i∈N) = lim
i→∞yi định nghĩa toán tử bị chặn. Vì vậy f = Φ◦f˜là chỉnh hình.
Cuối cùng, để chứng minh rằng (fi)i∈N hội tụ đều trên tập con compact trong D đến f, chỉ cần chứng tỏ rằng (fi)i∈N là hội tụ đều địa phương trong D đến f. Ta chỉ ra rằng (fi)i∈N là bị chặn địa phương, theo Mệnh
đề 6.1 trong [5], (fi)i∈N là đồng liên tục với mỗi a ∈ D. Giả sử a là điểm cố định của D. Khi đó mỗi lân cận V lồi, cân của 0 trong F thì tồn tại một lân cận Ua1 của a trong D sao cho
fi(z)−fi(a) ∈ 3−1V, ∀z ∈ Ua1, ∀i ∈ N. (3.6) Vì lim
t→∞fi = f trong D, ta có thể tìm i0 ∈ N sao cho
fi(a)−f(a) ∈ 3−1V, ∀i ≥ i0. (3.7) Do tính liên tục của f, tồn tại một lân cận Ua2 của a trong D sao cho
f(a)−f(z) ∈ 3−1V, ∀z ∈ Ua2. (3.8) Từ (3.6), (3.7) và (3.8), với mọi z ∈ Ua = Ua1 ∩ Ua2 với mọi i ≥ i0 ta có
fi(z)−f(z) ∈ V. (3.9)
Mệnh đề được chứng minh xong.
Bây giờ chúng ta có thể chứng minh Định lý 3.2.4 như sau.
Như trong chứng minh của Định lý 3.2.2, với mỗi α ⩾ 1, ta định nghĩa ánh xạ tuyến tính liên tục Tα: Fbor0 → H(0Cn) cho bỏi
Tα(u) =u◦fα, u ∈ Fbor0 .
Theo Định lý 2.2.3, dãy (Tα(u))α⩾1 hội tụ trong H(0Cn) với mọi u ∈ Fbor0 . Vì Fbor0 là thùng (xem Định lý 13.4.2 trong [12]) cho nên dãy (Tα)α⩾1 đồng liên tục trongL(Fbor0 , H(0Cn))trang bị tôpô mạnh. Trong chứng minh của Định lý 3.2.2, theo Mệnh đề 1.8 trong [6], tồn tại một lân cận U của o ∈ Fbor0 sao cho
[
α⩾1
Tα(U)
bị chặn trong H(0Cn). Do tính chính quy của H(0Cn) nên ta có thể tìm r ∈ (0, r0) sao cho S
α⩾1
Tα(U) được chứa và bị chặn trong H∞(∆n(r)).
Điều này kéo theo (fα)α⩾1 được chứa và bị chặn trong H∞(∆n(r), F). Với mỗi z ∈ ∆n(r) thì (fa|lz)α⩾1 hội tụ trong ∆1(r0) ⊂ lz, theo Nhận xét 3.2.5, dãy (fα(z))α⩾1 hội tụ với z ∈ ∆n(r). Mặt khác, vì (fα)α⩾1 bị chặn trongH∞(∆n(r), F), cho nên theo Mệnh đề 3.2.8 dãy (fα)α⩾1 hội tụ trong H∞(∆n(r), F).
Nhận xét 3.2.9 ([19]). Theo Mệnh đề 2.1.9 ta thấy rằng trong Cn, các điều kiện sau là tương đương:
(a) A là đa cực xạ ảnh;
(b) Aλ := {tz : t ∈ Cn,|t| < λ, z ∈ A} là đa cực với mỗi λ >0;
(c) à(Aλ) = 0 trong đú à là độ đo Lebesgue;
(d) ν(%(Aλ)) = 0 trong đó ν là độ đo bất biến trên không gian xạ ảnh CPn−1 và %: Cn \ {0} → CPn−1 phép chiếu tự nhiên.
Do đó, Định lý 3.2.4 là mở rộng kết quả của Alexander [2] từ trường hợp vô hướng cho trường hợp hàm nhận giá trị Fréchet. Nên ta có thể phát biểu lại Định lý 3.2.4 như sau.
Định lý 3.2.10 ([19]). Cho (fα)α⩾1 là một dãy của các hàm chỉnh hình giá trị Fréchet trên ∆n ⊂Cn và B ⊂ ∆n, sao cho ν(%(B)) = 0 trong đó ν là độ đo bất biến trên không gian xạ ảnh CPn−1 và %: Cn \ {0} → CPn−1 phép chiếu tự nhiên. Giả sử với r0 ∈ (0,1), hạn chế của dãy (fα)α⩾1 trên mỗi đường phức ` xuyên qua 0∈ ∆n với `∩B = {0} hội tụ trong ∆1(r0).
Khi đó (fα)α⩾1 là một dãy của hàm chỉnh hình hội tụ trên một lân cận của 0 trong ∆n.