CHUỖI LŨY THỪA HÌNH THỨC GIÁ TRỊ VÔ HƯỚNG
2.1 Tập đa cực xạ ảnh
2.1.1 Các khái niệm và một số ví dụ
Định nghĩa 2.1.1 ([10]). Cho E là không gian lồi địa phương, Ω ⊂E là tập con mở, u: Ω →[∞,∞) là hàm nửa liên tục trên. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới trên Ω nếuu là hàm điều hòa dưới trên mọi đường thẳng phức trong Ω.
Tập hợp tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω, ký hiệu là P SH(Ω).
Ví dụ 2.1.2. Cho E là không gian lồi địa phương, Ω ⊂ E là tập con mở và F là khụng gian vộctơ với nửa chuẩn kãk. Nếu f: Ω → F là hàm chỉnh hình thì hàm z 7→logf(z) là đa điều hòa dưới trên Ω.
Định nghĩa 2.1.3 ([10]). Cho X là đa tạp phức, u: X → [∞,∞) là hàm nửa liên tục trên. Hàm u được gọi là đa điều hòa dưới trên X nếu u◦f là
hàm điều hòa dưới trên ∆ với mọi ánh xạ chỉnh hình f: ∆ →X trên đĩa
∆ = {z ∈ Cn;|z|< 1}.
Định nghĩa 2.1.4 ([16]). Một hàm u ∈ P SH(Cn) được gọi là đa điều hòa dưới thuần nhất nếu
u(λz) = log|λ|+u(z), ∀λ ∈ C, ∀z ∈ Cn.
Ta ký hiệu HP SH(Cn) là tập các hàm đa điều hòa thuần nhất trên Cn.
Định nghĩa 2.1.5 ([19]). (i) Tập con B ⊂ D được gọi là đa cực trong D nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới ϕ trên D sao cho ϕ 6≡ −∞
trên bất kỳ thành phần liên thông nào của D và ϕ|B = −∞.
(ii) E được gọi là đa cực xạ ảnh nếu tồn tại một hàm đa điều hòa dưới thuần nhất ϕ 6≡ −∞ sao cho E ⊂ {z : ϕ(z) =−∞}.
Nhận xét 2.1.6 ([19]). (i) Mọi tập đa cực xạ ảnh là đa cực.
(ii) Tồn tại tập đa cực nhưng không đa cực xạ ảnh.
Ví dụ 2.1.7 ([19]). Giả sử E là không gian metric lồi địa phương. Cố định a ∈ E. Khi đó, đường phức la, do đó mỗi A ⊂ la là tập đa cực xạ ảnh trong E. Thật vậy, giả sử d là metric xác định tôpô trên E. Xét hàm
ϕ(z) =−logd(z, la) := −log inf
w∈Ad(z, w).
Dễ dàng kiểm tra ϕ ∈ HP SH(E), ϕ 6≡ −∞ và la ⊂ ϕ−1(−∞).
Ví dụ 2.1.8 ([19]). Giả sử E là không gian Fréchet chứa một tập con cân, lồi, compact và không đa cực xạ ảnh B. Theo cách chứng minh trong Ví dụ 2.1.7, ∂B là tập đa cực. Tuy nhiên, ∂B không là đa cực xạ ảnh trong E.
Thật vậy, giả sử ∂B là đa cực xạ ảnh. Khi đó theo định nghĩa, tồn tại một hàm ϕ ∈ HP SH(E), ϕ 6≡ −∞ và ∂B ⊂ ϕ−1(−∞). Với mọi z ∈ B ta có thể viết lại z = λy với y ∈ ∂B và |λ| < 1. Khi đó
ϕ(z) = ϕ(λy) = log|λ|+ ϕ(y) =−∞, ∀z ∈ B.
Điều này không thể xảy ra vì B không phải là tập đa cực.
Do đó, không gian Fréchet hạch với bất biến tôpô tuyến tính (Ω),e được giới thiệu và nghiên cứu bởi Vogt [24], chứa một tập không đa cực theo Định lý trong [8].
Đầu tiên ta có một số tính chất cơ bản của tập đa cực xạ ảnh.
2.1.2 Các đặc trưng của tập đa cực xạ ảnh
Mệnh đề 2.1.9 ([16]). Giả sử A ⊂ Cn, A∗ := {tz : t ∈ C, z ∈ A} và Aλ := {tz : t ∈ C,|t| ⩽ λ, z ∈ A} với λ > 0. Khi đó các điều kiện sau là tương đương:
(i) A là đa cực xạ ảnh;
(ii) A∗ là tập đa cực;
(iii) Aλ là tập đa cực với mỗi λ > 0; (iv) Tồn tại λ > 0 để Aλ là tập đa cực.
Chứng minh.
(i)⇒ (ii). Vì A là đa cực xạ ảnh, cho nên tồn tại u ∈ HP SH(Cn) sao cho u(tz) = log|t|+u(z), ∀t ∈ C, ∀z ∈ Cn và u(z) = −∞ trên A. Đặc biệt u(x) =−∞ với x ∈ A∗. Do đó A∗ là đa cực.
(ii)⇒ (iii). Từ định nghĩa của A∗ và Aλ, ta có Aλ ⊂ A∗ với mỗi λ > 0. Do A∗ đa cực cho nên Aλ đa cực.
(iii)⇒ (iv). Hiển nhiên.
(iv)⇒ (i). Giả sử Aλ là đa cực với một số λ > 0. Khi đó tồn tại v ∈ P SH(Cn) sao cho v(tz) = −∞ với mọi z ∈ A và t ∈ C,|t| ⩽ λ.
Hơn nữa, theo Định lý 5.2.4 trong [13], ta có thể chọn v ∈ L(Cn). Với mỗi z0 ∈ A, hàm ϕz0(t) := v(tz0) là điều hòa dưới trên C và ϕz0(t) = −∞
trên đĩa ∆(0, λ) = {t ∈ C : |t| ⩽ λ}, do đó ϕz0(t) = −∞ với mọi t ∈ C. Từ đó suy ra v = −∞ trên A∗. Nếu z = (z0, zn) ∈ A, zn 6= 0 thì (zz0
n,1) = z1
n(z0, zn) = z1
nz ∈ A∗. Do đó, v ∈ (zz0
n,1) = −∞ với mọi (z0, zn) ∈ A, zn 6= 0. Ta định nghĩa
u(z) =u(z0, zn) := v ∈ (z0
zn,1)+log|zn|, ∀z = (z0, zn) ∈ Ω := Cn\{zn = 0}.
Khi đó u ∈ P SH(Ω), u 6= −∞. Hơn nữa, vì v là hạn chế nên ta có u bị chặn địa phương từ siêu phẳng H := {zn = 0}.
Đặt
˜ u =
u(z) z ∈ Cn\H
lim
H63w→zsupu(w) z ∈ H.
Khi đó, theo Mệnh đề 2.9.22 trong [13], u˜ ∈ P SH(Cn). Từ đó ta dễ dàng kiểm tra u˜ ∈ HP SH(Cn) và u˜ ≡ −∞ trên A\H. Đặt u(z) = ˆˆ u(z0, zn) :=
1
2 u(z) + log˜ |zn| Khi đó u˜ ∈ HP SH(Cn); ˜u 6= −∞ và u˜ = −∞ trên A.
Do dó A là đa cực xạ ảnh trên Cn.
Mệnh đề 2.1.10 ([16]). (i) Giả sử P là một đa thức thuần nhất trên Cn triệt tiêu trên một tập không đa cực xạ ảnh A⊂ Cn. Khi đó P ≡ 0. (ii) Tồn tại một tập con đa cực compact của C2 mà không là đa cực xạ
ảnh.
(iii) Nếu A⊂ Cn không là đa cực xạ ảnh thì tập A1 := {tz : |t| ⩽ 1, z ∈ A}
là một tập duy nhất đối với hàm chỉnh hình trên hình cầu ∆n ⊂ Cn, nghĩa là, một hàm chỉnh hình trên ∆n là triệt tiêu trên A1 phải bằng không tại mọi điểm.
(iv) Hợp đếm được của các tập đa cực xạ ảnh là đa cực xạ ảnh.
Chứng minh.
(i) Giả sử P = 0 trên A. Khi đó u(z) = 1
degP log|P(z)|, z ∈ Cn
là hàm đa điều hòa dưới thuần nhất trên Cn, u ≡ −∞ trên A. Vì A không đa cực xạ ảnh cho nên u ≡ −∞ và do đó P ≡ 0 trên Cn.
(ii) Giả sử A := {(z, z2) : |z|2 + |z|4 = 1} ⊂ C2. Khi đó A là compact và đa cực trong C2 được chứa trong siêu mặt đại số. Ta chứng minh bằng phản chứng. Thật vậy, giả sử A là đa cực xạ ảnh (trong C2). Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.9, tập
A∗ := {(tz, tz2) : |z|2+|z|4 = 1, t ∈ C} = {(z0, zz0) : z0 ∈ C,|z|2+|z|4 = 1}
là đa cực trong C2. Do đó, tồn tại u ∈ P SH(C2), u 6≡ −∞ sao cho u|A∗ ≡ −∞. Vì vậy ta có thể chọn z0 ∈ C sao cho v(z) := u(z0, zz0) không là đồng nhất −∞. Tuy nhiên, v ≡ −∞ trên đường tròn
{z ∈ C : |z|2 +|z|4 = 1} =
z ∈ C :|z| = s√
5−1 2
,
bởi nguyên lý maximum, v ≡ −∞ trên một đĩa mở trong C. Điều này là vô lý. Do đó A không là đa cực xạ ảnh.
(iii) Lấy g là hàm chỉnh hình trên ∆n sao cho g ≡ 0 trên A1. Giả sử g 6≡0. Khi đó ta có thể viết lại g dưới dạng
g = X
j⩾j0
Qj(z),
trong đó Qj đa thức thuần nhất bậc j và Qj0 6≡ 0. Vì g(tz) = X
j⩾j0
tjQj(z) ≡ 0, ∀z ∈ A, ∀|t| < 1,
cho nên Qj0 ≡0 trên A. Từ (i) ta suy ra Qj0 ≡0. Điều này là mâu thuẫn.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
(iv) Giả sử {Aj}j⩾1 là tập đa cực xạ ảnh. Khi đó, theo Mệnh đề 2.1.9, A∗j = {tz : t ∈ C, z ∈ Aj} là đa cực. Từ đó suy ra
A∗ :=
tz : t ∈ C, z ∈ A := [
j⩾1
Aj
cũng là đa cực. Do đó, theo Mệnh đề 2.1.9, ta có A = S
j⩾1
Aj là đa cực xạ ảnh trong Cn.