một số vấn đề về căn nguyên tố của vành chuỗi luỹ thừa hình thức

Dựa vào lớp iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và các phần tử luỹ linh của vành người ta định nghĩa các khái niệm căn nguyên tố, căn Jacoson, căn luỹ linh của các vành.. Trong những năm gần

BO GIAO DUC VA DAO TAO TRUONG DAI HOC VINH

BUI TRONG THANG

MOT SO VAN DE VE CAN NGUYEN TO CUA

VÀNH CHUÔI LUỸ THỪA HÌNH THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

VINH - 2009

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH BÙI TRỌNG THẮNG

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CĂN NGUYÊN TỐ CỦA

VÀNH CHUÔI LŨY THỪA HÌNH THỨC

Chuyên ngành: Đại số - Lý thuyết số

LỜI NÓI ĐẦU

CHƯƠNG I CÁC KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 Các phần tử đặc biệt và iđêan của

1.2 Một số lớp vành thường gặ << =<s< e

1.3 Căn của vành -s-ssc<se<ssessessessessssssssssssessee

CHƯƠNG 2

MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ CĂN NGUYÊN TỐ CỦA

VÀNH CHUỖI LUỸ THỪA HÌNH THỨC

2.1 Vành chuỗi luỹ thừa hình thức

2.2 Căn nguyên tố của vành đa thức và vành chuỗi luỹ

thừa

2.3 Căn nguyên tố của vành chuỗi Laurent

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có hai hướng nghiên cứu vành thường được sử dụng phổ biến: nghiên cứu

qua cấu trúc nội tại của vành và nghiên cứu thông qua các môđun trên vành Luận văn này chủ yếu tìm hiểu một số vấn đề liên quan đến hướng nghiên cứu thứ

nhất

Các lớp iđêan và các phép toán về iđêan của vành đã được sử dụng nhiều trong việc mô tả cấu trúc của vành Dựa vào lớp iđêan nguyên tố, iđêan cực đại và các phần tử luỹ linh của vành người ta định nghĩa các khái niệm căn nguyên tố, căn Jacoson, căn luỹ linh của các vành Những khái niệm này có vai trò quan trọng trong việc phản ánh tính chất của vành

Với một vành cho trước người ta đã định nghĩa khái niệm vành đa thức,

vành chuỗi luỹ thừa hình thức, vành chuỗi Laurent Nhiều tính chất của các vành này liên hệ mật thiết với vành cơ sở đã cho Trong những năm gần đây có nhiều công trình nghiên cứu về căn nguyên tố và căn luỹ linh của các vành chuỗi

luỹ thừa hình thức, vành chuỗi Laurent và vành chuỗi Laurent lệch, về căn Jacoson của vành chuỗi luỹ thừa lệch Những công trình nghiên cứu đó đã góp

phần làm sáng tỏ các tính chất của các lớp vành này

Luận văn này có mục đích hệ thống hoá, tìm hiểu các tính chất căn nguyên

tố của lớp vành chuéi luỹ thừa hình thức và một số lớp vành có liên quan

Nội dung chính của luận văn gồm hai chương ngoài phần mở đầu, kết luận

và danh mục tài liệu tham khảo

Chương1 Các kiến thức cơ sở

Chương2 Một số vấn đề về căn nguyên tố của vành chuỗi luỹ thừa hình

thức

Một số kết quả chính được trình bày trong luận văn gồm:

- Tìm hiểu mối liên hệ giữa các iđêan của vành

- Hệ thống hoá một số tính chất về căn nguyên tố của một số lớp vành

- Tìm hiểu mối liên hệ giữa căn nguyên tố, căn Jacoson, căn luỹ linh

tố của vành chuỗi luỹ thừa hình thức

- Tìm hiểu mối liên hệ giữa căn nguyên tố và căn luỹ linh của vành cơ sở và vành chuỗi luỹ thừa hình thức

- Bước đầu tìm hiểu căn nguyên tố của vành chuỗi Laurent lệch

Các kết quả trình bày trong luận văn này chủ yếu được hệ thống hoá từ các

bài báo [7], [8], [9] và sắp xếp theo những chủ đề được nói đến trong cấu trúc của luận văn

Luân văn này hoàn thành tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Chu Trọng Thanh Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng

và biết ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn, người đã dành cho tác giả sự hướng

dẫn chu đáo và nghiêm túc trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận

văn

Tác giả xin trân trọng cảm ơn tới các thầy giáo: PGS TS Ngô Sỹ Tùng, PGS

TS Nguyễn Thành Quang, PGS TS Lê Quốc Hán, TS Nguyễn Thị Hồng Loan,

TS Mai Văn Tư và các thầy cô giáo trong tổ Đại số, khoa Toán đã động viên, giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập cũng như trong việc hoàn thành luận văn

này

Mặc dù tác giả đã hết sức cố gắng nhưng do hiểu biết còn hạn chế của bản thân nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót Tác giả kính mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của quý thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp

Vinh, thang 02 năm 2009

Tác giả

1.1.1.1 Định nghĩa Phần tử x e R, được gọi là lũy đẳng nếu x? = x

1.1.1.2 Mệnh đề Phần tử xeR là luỹ đẳng khi và chỉ khi 1-x là luỹ đẳng

Các phần tử luỹ đẳng có vai trò quan trọng trong việc phân tích một vành thành tổng trực tiếp các iđêan phải hay trái Mệnh đề sau đây cho một sự phân

tử r, s thuộc R sao cho z = er = (1-e)s = s - es Nhân các vế của dãy đẳng thức này

với e về bên trái ta có ez = eer = es - ees Vì e là luỹ đẳng nên suy ra Z = er =es -

es = 0 Cuối cùng, ta chứng minh R = eR + (I-e)R Thật vậy, hiển nhiên có eR +

(1-e)RCR Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta lấy phần tử x bất kỳ thuộc

R Khi đó, ta có sự phân tich x = ex + (x - ex) = ex + (1-e)xeeR + (1-e)R Do dé

1.1.1.4 Định nghĩa Phan tt x e R, được gọi là lũy linh nếu tồn tại số tự nhiên n

sao cho x" =0

Số nguyên dương bé nhất n sao cho x" = 0 được gọi là bậc luỹ linh của x

luỹ linh thì ta nói a có chỉ số luỹ linh vô hạn, nếu a là phần tử luỹ linh với bậc luỹ linh n thì ta nói a có chỉ số luỹ linh n

1.1.1.5 Định nghĩa Cho R vành, A là tập hợp con của R Khi đó, A được gọi là

tập luỹ linh nếu tồn tại tự nhiên n khác không sao cho A" = 0

Số nguyên dương bé nhất n sao cho A" = 0 được gọi là bậc luỹ linh của A Một iđêan I(một phía hay hai phía) của R được gọi là luỹ linh nếu nó là

một tập hợp luỹ lĩnh

1.1.3.6 Định nghĩa lđêan I của vành R được gọi là nil- iđêan(hay còn gọi là iđêan linh) nếu mọi phần tử của I đều là lũy linh

Hiển nhiên rằng mọi iđêan luỹ linh là iđêan linh nhưng chiều ngược lại

không đúng trong trường hợp tổng quát

Chỉ số lũy linh của tập con A của vành R là cận trên của tập tất cả các chỉ

số lũy linh của các phần tử trong A Nếu cận trên hữu hạn ta nói tập A có chỉ số luỹ linh bị chặn Trong trường hợp này chỉ số luỹ linh trùng với bậc luỹ linh của

A và ta dùng thuật ngữ bậc luỹ linh

1.1.3.7 Định nghĩa Vành R được gọi là thu gọn nếu nó không có phần tử luỹ linh khác 0

1.1.2 Idéan nguyên tố Iđêan cực đại

Xuyên suốt mục này, chúng tôi hệ thống lại các tính chất về iđêan nguyên

tố, iđêan cực đại và mối liên hệ giữa chúng

1.1.2.1 Định nghĩa lđêan P được gọi là iđêan nguyên tố nếu P z R và với mọi

1đêan L, J của R sao cho IJ C P suy ra được I c P hoặc J P

P được gọi là iđêan hoàn toàn nguyên tố nếu với mọi x,ye R sao cho xy e

P thi xe P hoac ye P

Chú ý rằng, đối với các vành giao hoán hai khái niệm iđêan nguyên tố và iđêan hoàn toàn nguyên tô được định nghĩa trên đây là trùng nhau

1.1.2.2 Định nghĩa lđêan I được gọi là iđêan cực đại nếu I z R và với mọi

iđêan J của R sao cho 7c 7c R thì J = Ihoặc J = R

idéan cuc dai cua Z

Tính chất nguyên tố và cực đại có liên quan đến tính chất của vành thương

của R theo iđêan đó Cụ thể ta có mệnh đề sau:

1.1.2.3 Mệnh dé Cho I la idéan ctia vanh R Khi đó:

(1) Inguyên tố <= RII la mién nguyén

(2) I cuc dai <=> RII la mot thé

Chú ý rằng: trong lý thuyết vành, thuật ngữ miền nguyên không đòi hỏi tính chất giao hoán Trong luận văn này chúng tôi dùng thuật ngữ miền nguyên (hay

miền) theo nghĩa này Khi áp dụng cho vành giao hoán ta có thể phát biểu lại

mệnh đề này như sau:

Cho I la idéan cua vành giao hoán R Khi đó:

(1) Inguyên tố © RII là miền nguyên (giao hoán)

(2) I cực đại © KII là một trường

Chứng mình: Chúng tôi trình bày chứng minh cho trường hợp vành giao hoán Để có chứng minh cho trường hợp tổng quát ta cần có một vài sự thay đổi nhỏ trong lập luận

(I1) Điều kiện cần Giả sử I là nguyên tố, với x+lI, y+I eR/I, (x+l)(y+D=

xy+]I= 0+[I thì xyeÏ nên xel hoặc yeI (vô lý) Vậy xy+Iz0+I nên R/I không có

ước của không và nó là vành giao hoán Do đó R/I là miền nguyên

Điều kiện đủ Giả sử R/I là miền nguyên, lấy I’, J’ 1a idéan cua R thoả mãn

UJ' c I Khi đó, (+D/I và (Jï+D/1 là các iđêan của R/I, một trong hai bằng không Từ đó suy ra (+ D/I = 0 hoặc (J°+D/I = 0 Vậy Iˆc I hoặc J*c Inén I

nguyên tố

(2) Điều kiện cần Giả sử I là cực đại Vì IzR nên R/I {0} Ta cần chứng

minh mọi phần tử khác không của R/I đều khả nghịch Giả sử 0z x eR/I Vì x+0 nên xelI Vây I+Rx thực sự chứa I Do đó, vì I là cực đại nên I+Rx =R Vì thế tồn

khả nghịch Do đó R/I là trường

Điều kiện đủ Giả sử R/1 là trường thì 0 z x eR/I đêu khả nghịch, tức là tồn tại

y €R/I sao cho x y=1 Vay lexy= xy +1 Tir dé suy ra R= xR4I, véi moi x¢I Vi

vậy T là cực đại Oo 1.1.2.4 Ménh dé Gid si I la idéan ctia vành giao hoán R, giả sử J là iđêan của

R voi J Đ L, thế thì iđêan Jy cua Ry la nguyên tố khi và chỉ khi J là iđêan nguyên tố của R

Áp dụng mệnh đề 1.1.2.4, ta có thể xác định các iđêan nguyên tố của vành Z/60Z = Z¿¿ gọi là vành các lớp thăng dư của tập các số nguyên theo môđun 60

như sau:

Ta có 60Z c mZc Z với m là ước của 60 và zZ60Z là iđêan của Z760Z⁄

m⁄260Z là iđêan nguyên tố của Z60Z khi và chỉ khi mZ là iđêan nguyên tố của Z Điều này xảy ra khi và chỉ khi m là số nguyên tố Vậy z vừa là số nguyên

tố, vừa là ước của 60, cho nên z = 2, 3, 5 Do đó, ta có các iđêan nguyên tố trong vanh Z/6071a 2Z/60Z, 3Z/60Zva 5Z/60Z

1.1.2.5 Dinh nghĩa Tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của vành giao hoán ®

được gọi là phổ của vành E, ký hiệu Spec(#).

Ví dụ Trong vành các số nguyên Z thi Spec(Z) = pZ(p = 0 hoặc p nguyên tố) 1.1.2.6 Định nghĩa Vành R được gọi là vành nguyên tố nếu 0 là iđêan nguyên

Chứng minh: (1)—(2) Giả sử T và J là iđêan của R/P Khi đó tồn tại Ï, J?

iđêan của R với I 5P, J°P sao cho I/P = I, J°/P= J nếu I.J = 0 thì [J?c P và I

c Phoặc J°cP suy ra hoặc I = 0 hoặc J = 0

Vậy 0 là iđêan nguyên tố của R/P là vành nguyên tố

(2) = (1) Giả sử I, J là iđêan của R thoả mãn IJ c P khi đó (I+P)/P và (J+P)/P là các iđêan của R/P, một trong hai bằng không Từ đó suy ra (I+ P)/P = 0 hoặc

(+P)/P=0 Vậy I c Phoặc J c P

Áp dụng định lý trên, mệnh đề sau đây cho ta một cách để tạo ra iđêan nguyên tố dựa vào một tập hợp đóng kín đối với phép nhân của vành

1.1.2.8 Mệnh đề Giđ sử R là một vành và X là một tập hợp con của R sao cho X

khép kín với phép nhân của R và 0 eX Khi đó, tđêan P của R tối đại trong số các

tđêan của R không giao với X là một iđêan nguyên tố

Chứng mình: Ta chứng mình R/P là vành nguyên tố Giả sử I, J là các iđêan của R chứa thực sự P Ta chứng minh IJ Z P Vì I chứa thực sự P nên do tính tối đại của P ta có I¬X # ¿ Tương tự, J ¬X # ¿ Do đó tồn tại các phần tử x, y thuộc

X sao cho xyelJ và xyeX Điều này chứng tỏ xyelJW Vậy lJ Z P Oo

1.1.2.9 Định nghĩa Idéan I của vành R được gọi là iđêan nửa nguyên tố nếu nó

bằng giao các iđêan nguyên tố.

1.1.2.10 Định lý.(Lenvizki, Nagata) lđêan P của R là nửa nguyên tố khi và chỉ

khi với mọi x e R sao cho xRx c P thì x e P (1)

Chứng mình: Điều kiện cân Giả sử P = SP, , P¡ là iđêan nguyên tố của R je

Với x e R sao cho xRx CP, ta có xRx c P, với mọi je J Vì P, là iđêan nguyên

tố nên, theo 1.1.2.7, tirxRx c P,ta có x e P, với mọi je ] Điều này suy ra xe P

Điều kiện đủ: Giả sử P là iđêan của R thoả mãn (1), tức là với mọi x thuộc R sao cho x e R, xRx c P thì x e P, ta chứng minh P là nửa nguyên tố Ta chứng minh P là giao của tất cả các iđên nguyên tố của R chứa P Giả sử x ERYP, ta chứng minh tồn tại iđêan nguyên tố I của R chứa P sao cho x không thuộc I Dat

Xo = X, do (1), ta c6 xR Xy ¢ P Ta chon x, € XpRx,\P Tiép tuc 4p dung (1) đối VỚI X¡, ta có X;ex;Rxạ, Tiếp tục quá trình này, ta có dãy Xọ, Xị, Xa, .X,„

trong RMI sao cho x,,, e x;Rx;, với mọi số nguyên dương ¡ Chú ý rằng nếu J 1a iđêan, và với x¡ nào đó thuộc J thì x,e J với mọi số nguyên dương n >j Suy ra

rằng x¡£P, với mọi số nguyên dương ¡ Theo bổ đề Zorn, tồn tai idéan Ï tối đại với

Pc I va x; ¢ I, voi mọi số nguyên dương ¡ Đặc biệt x= xạ e I và I là iđêan thực

sự của R Ta chứng minh T là nguyên tố

Giả sử ngược lại, I không nguyên tố thì R/I không là vành nguyên tố Suy ra

tồn tại J, K là các iđêan của R/I, J z0, K z 0 với JK = 0 (trong R/I) Khi đó có

các iđêan JƑ', K' của R chứa thực sự I và J'K'c I Vì tính cực đại của I nên 3 x, e K),xị¡ < J Chọn m= Max {k,j} thì tồn tai x„ e J¬K” và cũng có X„„¡ e X„R Xụ

c ]K cI Trai véi cach chon I

Vì thế, I là nguyên tố và P bằng giao của các iđêan nguyên tố (những iđêan nguyên tố chứa P) nên P là iđêan nửa nguyên tố Oo

1.1.2.11 Hệ quả Cho vành R I là iđêan của R Khi đó, các điều kiện sau là tương đương:

(1) I là iđêan nửa nguyên tố

(2) Nếu J là iđêan của R sao cho J° c Ï thì J c I

Chứng mình: (1) > (2) Lấy x e] thì xRxc]”c L Suy ra x e I Vậy J c I.

(2)=(1) Lấy x e R, xRx c IL Do đó (RxR)? cl nên x e I Vì vậy I là iđêan nửa

Tir ménh dé 1.1.2.3 ta suy ra rang, moi idéan cuc dai déu 1a idéan nguyén

tố Tuy nhiên khẳng định ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát,

chẳng hạn iđêan 0 của vành Z là nguyên tố nhưng 0 c 2Z Z nên 0 không phải

là iđêan cực đại của Z Mệnh đề sau đây chứng minh trực tiếp kết luận mọi iđêan cực đại đều là iđêan nguyên tố mà không sử dụng mệnh đề 1.1.2.3 ở trên

1.1.2.12 Mệnh đề Mọi iđêan cực đại M của R là iđêan nguyên tố

Chứng mình: Giả sử I và J là hai iđêan của R không bị chứa trong M Khi d6 I+M = R, J+M =R Vi vay R= (1+ M)J+M) = IJ+IM+ JM+M? c IJ + M Do

đó IJ <M Diéu nay suy ra M là iđêan nguyên tố Oo

Chiều ngược lại của mệnh đề trên không đúng trong trường hợp tổng quát Trong nghiên cứu vành lớp vành thoả mãn điều kiện mọi iđêan nguyên tổ đều là

iđêan cực đại là một đối tượng nghiên cứu được nhiều người quan tâm Ví dụ sau đây là một lớp vành như vậy

Ví dụ Trong một vành chính, các iđêan nguyên tố khác 0 là các iđêan cực đại Chứng minh: Giả sử R là vành chính, P là iđêan nguyên tố khác 0 của vành

R, thếthì P = (a) với 0 # ø e R Giả sử P C IC R, 7 là iđêan của R và P z I Vì

R 1a vành chính nên mọi iđêan của R là idéan chinh, do dé J = (b) Via € P suy ra ae I hay a= be e P Ta có b ¢ (a) vinéu b € (4) khi đó (b) c (4), vô lý

vì P #1, PCI Nhu vay b £ P mà P nguyên tố nên ce P = (đ), Suy ra Cc = ax, xE

R, tit dé ta c6 be = bax hay a = bax, vì vậy bx = 1, mà ï = (b) nên bx = le Ï

Vậy iđêan 7 của vành R chứa đơn vị nên 7 = R Do đó P là iđêan cực đại của R 1.1.2.13 Mệnh đề P !à iđêan cực đại của R khi và chỉ khi P là phần tử cực đại

cua Spec(R)

Chứng minh: Giả sử P là iđêan cực đại của R nhung P không phải là phần tử

cực đại của Spec(R), khi dé t6n tai P’e Spec(R) sao cho P c P’, P ¥ P’ vi nguodi

ta không xem # là iđêan nguyên tố của nó nén P’c R, P’# R Vay PCP’ CR,

P'z R mâu thuẫn với giả thiết P là iđêan cực đại của ® Vậy P là phần tử cực đại

của Spec(#)

Ngược lại, giả sử P là phần tử cực đại của Spec(R) nhưng P không phải là

iđêan cực đại của R Vi P e Spec(®) nên P z ® mà ® # 0 nên ta có P cP’ voi P’

là iđêan cực đại của R Vi moi iđêan cực đại đều là nguyên tố nên ta có P” là idéan nguyên tố, tức là P e Spec(#) Vì theo trên ta giả sử P không phải là iđêan cực đại của ® mà P' là iđêan cực đại của R nén P # P’, vay PCP’, P#P’, P’e Spec() nên trái với giả thiết P là phần tử cực đại của Spec(R) Vậy P là iđêan cực

Lớp vành sau day được định nghĩa thông qua idéan cực đại

1.1.2.14 Định nghĩa ¡ Vành R chỉ có duy nhất một iđêan cực đại được gọi là vành địa phương

1i Vành R có hữu hạn iđêan cực đại được gọi là vành nửa địa phương

Hiển nhiên rằng mọi vành địa phương đều là vành nửa địa phương Chiều ngược lại không đúng trong trường hợp tổng quát

Ví dụ Một thể là vành địa phương và nó cũng là vành nửa địa phương

1.2 Một số lớp vành thường gặp 1.2.1 Vành Artin và vành Noether

Trong mục này chúng tôi hệ thống hoá một số lớp vành thường gặp trong

các tài liệu chuyên khảo về vành và môđun

1.2.1.1 Định nghĩa Vành R được gọi là vành Noether phải ( trái) nếu dãy tăng các iđêan phải (trái) 7c 11, .c17„c tồn tại số n sao cho Ï„ = Ïj„¡= 1.2.1.2 Định nghĩa Vành R được gọi là vành Artin phải (trái) nếu dãy giảm các

idéan

IjD1,5 51,5 n t6n tai son sao chol, =1,,, =

1.2.1.3 Định nghĩa Cho {£,}_„ là họ các vành con tuỳ ý có đơn vị Gọi

R=]]8.={G) ):

iel

Ta định nghĩa các phép toán:

Cộng: (r,)¡e¡ + Sier= i+ Sdier

Nhân: (r,)(,);e¡ = (TS); er-

Khi đó, R cùng với hai phép toán trên lập thành một vành được gọi là vành tích

trực tiếp của các vành {&,} iel `

1.2.2 Vành ma trận

1.2.2.1 Dinh nghia.i Cho R là có đơn vi Ta gọi tập Mat,(R)=|(a,) ï„ jà

vành tất cả các ma trận vuông cấp n phần tử thuộc R với phép cộng và phép nhân

thông thường

ii Với mỗi phần tử r e R, 1<¡,k<» Gọi M,“® là ma trận thuộc Mat,(R) tại

vi tri (1,k) là r và tại mọi vị trí khác là 0

1i Kí hiệu E là ma trận đơn vị cấp n, tức là ma trận vuông cấp n có 1(don vi

của vành R) tại các vị trí (ï, i) và 0 tại các vị trí còn lại

1.2.2.2 Mệnh đề (1) Mọi ma trận CeMat,(R), mọi a,be R ta có

MC My = M,,, Trong đó c là phần tử của C tại vi tri (k, 1)

(im) ¿

(2) M0 M0 = M0".E, Mom = JMC” nếu k=]

0 néuk #1

1.2.3 Vành đa thức

1.2.3.1 Định nghĩa Cho R là vành có đơn vị: Xét tập

B= {[a= (ay, ai, , a„„ /a; e R}, trong đó chỉ có hữu hạn a, # 0

Định nghĩa hai phép toán trong B

Phần tử đối: -a =( , -a;, ,), a, e R

Khi đó, B cùng với hai phép toán trên trở thành một vành giao hoán, có đơn vị

Xét ánh xạ: f: R>B

a a (a,0, ,)

Phần tử tổng quát của B có dạng (ap, a,, « , Ay, 0, « )

Ta ky hiéu: ay + a,x + 4.a,x"

Khi đó, vành B= R[x] được gọi là vành đa thức một ẩn trên R

Hệ tử ao được gọi là hệ tử tự do hay hạng tử tự do

Nếu a, z 0 thì a, được gọi là hệ tử cao nhất và n được gọi là bậc của đa

thức Ký hiệu n = deg(f(x))

1.2.3.2 Dinh nghia Néu f(x), g(x) # 0, f(x), g(x) e R[x]

Khi đó: deg[f(x) + g(x)]< Max{deg(f(x)), deg( g(x))} (1)

deg[f(x)g(x)]< deg(f(x)) + deg(g(x)) (2)

Khi R là một miền nguyên ta có R[x] cũng là một miền nguyên Trong trường hợp đó (2) có dấu đẳng thức Đặc biệt, khi R là một trường ta có R[x] là

một vành Ơclit

1.2.3.3 Định nghĩa Đa thức f e R[x] được gọi là đa thức bất khả quy nếu f z 0

và f không khả nghịch trong R[x], không có ước thực sự

Trong trường hợp R là một trường mỗi đa thức bậc lớn hơn hay bằng 1 luôn phân tích được thành tích các nhân tử bất khả quy và sự phân tích là duy nhất Một cách tổng quát hơn, nếu vành R có tính chất mọi phân tử khác 0, không khả nghịch phân tích được một cách duy nhất thành tích các phân tử bất khả quy

thì vành R[x] cũng có tính chất đó Các vành thoả mãn điều kiện này được gọi là

vành Gauss Vành Gauss là một đối tượng được nghiên cứu nhiều trong lý thuyết

vành cổ điển và ứng dụng vào giải quyết vấn đề phân tích đa thức thành nhân tử Người ta mở rộng cách xây dựng vành đa thức cho trường hợp có nhiều ẩn

Trong cách xây dựng tổng quát ta không cần đến tính giao hoán của vành R mà

chỉ cần đến sự giao hoán của tích các ẩn với phần tử của R Tuy nhiên, để đơn

giản, sau đây chúng tôi nhắc lại cách xây dựng vành đa thức nhiều ẩn trên các

vành giao hoán có đơn vị như trong các giáo trình đại số bậc đại học

1.2.3.4 Định nghĩa Giả sử R vành giao hoán, có đơn vị Ta đặt

1.2.3.5 Định lý Nếu R là vành Noether thì vành R[x] cũng là vành Noether

Từ định lí này ta suy ra vành RỊx;, x;, x„] cũng là vành Noether nếu R

là vành Noether Trong ví dụ sau đây chúng tôi lấy lại một dãy tăng ngặt các

idéan của vành đa thức trên một trường

Ví dụ Giả sử K là một trường và ® = K[x,, x„] là vành đa thức trên K với các

ẩn xị, , x„ và đ, , đ„ K Khi đó

<Ú> C <X\ - đ¡> C <X( - đị, X; - đy> C C <XI - đị, , X„ Ÿ đự>

là một dãy tăng ngặt các iđêan nguyên tố của #, trong đó <x; - đi, , X„ - đ„> là idéan cuc dai cla R

1.2.3.6 Mệnh đề Cho Ñ là vành giao hoán có đơn vị, P là iđêan nguyên tố của

R, R[x] vanh đa thức Khi đó, tập hợp các đa thức với hệ tử trong P là iđêan

nguyên tố của RỊA]

1.2.4 Vành tự đồng cấu của một môđun

Định nghĩa Cho R vành, M là R-môđdun Ta ký hiệu S = End(M) Với hai phép toán:

Phép cộng: (f+g)(x) = f(x)+ g(x), V xe M,f,ge S

Phép nhân: (f.g)(x) = g[f(x)], v xe M,f,ge S

Khi đó, S cùng với hai phép toán trên lập thành một vành được gọi là vành các tự

đồng cấu của R-môđun M

Tập hợp các tự đồng cấu (vành) của vành R với 2 phép toán trên cũng làm thành một vành Vành này cũng được kí hiệu là End(R)

1.3 Căn của vành

1.3.1 Căn nguyên tố

1.3.1.1 Dinh nghĩa Giao của tất cả các iđêan nguyên tố của vành R được gọi là căn nguyên tố của vành R, ký hiệu là P(R)

1.3.1.2 Định nghĩa Vành R được gọi là nửa nguyên tố nếu P(R) = 0

1.3.1.3 Định lý R !à vành nửa nguyên tố khi và chỉ khi R đẳng cấu với một tích

trực tiếp con của một họ những vành nguyên tố

Chứng minh: Điều kiện cần Giả sử R là vành nửa nguyên tố, họ {A/¡ e I}

là các iđêan nguyên tố của vành R Ta có [ 4 =0

iel

datS=[] R/A,

iel p: S — R/A; là phép chiếu chính tắc của tích trực tiếp

q;: R —R/A; là phép chiếu chính tắc trên vành thương R/A;

Theo tính chất đại số phổ dụng của tích trực tiếp thì tồn tại duy nhất đồng cấu vành q: R +S sao cho q, = pq, voi V ie I

Ta có: Ker(q) = { x e R/ 0=q(x)=q,(x), i € I}

={xeR/ 0=q(x), Vie I}

=] ker(qg)= [ 4=0

Do đó, q đơn cấu Hơn nữa q, đều là toàn cấu nên thu hẹp của mỗi p, trên Im(q) cũng là toàn cấu

Vậy R>Im(q) là tích trực tiếp con của vành S

Điều kiện đủ Giả sử có đơn cấu q:R > S=[]S, mapgq:R >S, la

iel

toan can vdi moi s6 nguyén i ¢ I, trong đó S, là vành nguyên tố Khi đó:

0 = Ker(q) = [ ker(p,q)

iel R/Ker(p,q) =S, 14 vanh nguyén té nén Ker(p,q) 14 idéan nguyén t6 suy ra

P(R) = ¬ Ker(p.q) = 0

Vậy R là vành nửa nguyên tố Oo 1.3.1.4 Mệnh đề Căn nguyên tố của vành R là idéan nhỏ nhất trong số các idéan A của R sao cho RỊA là vành nửa nguyên tố

Chứng mình: Giả sử A là iđêan sao cho R/A nửa nguyên tố Khi đó, P(R/A)=

P, P chạy khắp iđêan nguyên tố

Xét phép chiếu chính tác p: R -› R/A thì p = p'(P) là iđêan nguyên tố của R That vay:

R/P=(R/A)/(P/A) = (R/A)/ P là vành nguyên tố vì P là iđêan nguyên tố

Cũng nhờ đẳng cấu trên mà mỗi iđêan nguyên tố P của R mà A c P đều có ảnh P= P(P) là iđêan nguyên tố Từ đó suy ra, P) cP= ¬ pl(P)=p'(aP)= P'Œ(/0)) = p'(0) = A, trong đó P chạy khắp iđêan nguyên tố Suy ra căn nguyên tố của vành R là iđêan nhỏ nhất Oo 1.3.1.5 Ménh dé Néu R la vanh Noether phdi thi P(R) la idéan phai lu§ linh lớn nhất và cũng là idéan lu¥ linh lén nhdt

Chứng minh: Vì R là vành Noether nên tập tất cả các iđêan luỹ linh có phần

tử cực đại Chẳng hạn là A Khi đó A là iđêan hai phía và là iđêan luỹ linh lớn

nhất Vì A luỹ linh, mọi phần tử của A là luỹ linh suy ra A c P(R)

Ngược lại, nếu a e P(R) thì iđêan RaR là luỹ linh Do đó RaRc A nên a e A Vậy P(R) = A là iđêan luỹ linh lớn nhất oO

1.3.1.6 Mệnh đề Nếu R là vành Noether phải thì căn nguyên tố P(R) là nỉl- tđêan trái lớn nhất của R

1.3.2.4 Dinh ly Moi nil- iđêan của vành R đêu chứa trong Rad(R)

Chứng mình: Giả sử A là nïl- iđêan của R,a e A > 3 ne N sao cho a"=0,

suy ra 1=1-a" =(I-a)(I+a+ 4a"") nên 1-a kha nghich Vi thé ac Rad(R).0

1.3.2.5 Định lý Nếu R là vanh Artin thi Rad(R) = P(R)

Ching minh: Dat J= Rad(R) vi R 1a Artin nên dãy các iđêan J ¬ J” ¬ ¬ J"

> dimg Chan han: J" = J", véi moi sé nguyén duong i, gia sử J" z 0 Xét tập

T={A c (R;/A)z 0, AJ= A} thì T z ø vì J" e T Vì R Artin suy ra trong T tồn

tại phần tử cực đại Chẳng hạn, iđêan đó là B Do B z 0 nên tồn tai b e B sao cho bJ" z 0, do đó bJ" c bJc R và bJ" = bJ"” = bJ"J nên bJ"e T Vì B cực tiểu trong

T nên bJ°= B, vì thế b cé dang b = bx, x € J" c ] = b(1-x) = 0 Nhưng xe J =

Rad(R) suy ra I- x khả nghịch Do đó b = 0, dẫn đến vô lý vì b z 0

1.3.2.6 Định lý Nếu R vành địa phương thì Rad(R)= P(R) là iđêan cực đại duy

nhất

Chứng mình: Vì R là vành địa phương nên Rad(R) là iđêan cực đại

Giả sử B là iđêan cực đại của R Nếu be B/Rad(R) thì » e R/Rad(R) khả nghịch nên tồn tại c sao cho ở c= 1 hay I- be e Rad(R) Suy ra be = I- (-be) khả nghịch

nhưng bc e B, do đó B = R vô lý Vậy B c Rad(R), mà Rad(R)c B, do đó B= Rad(R) Vì vậy Rad(R) là iđêan cực đại duy nhất của R

Vì Rad(R) cực đại nên Rad(R) nguyên tố, do vậy Rad(R) = P(R) L] 1.3.2.7 Định lý Nếu R là vành chính quy thì Rad(R)=0.

Chứng mình: Giả sử x e Rad(R) nên tồn tại e luỹ đẳng sao cho xR= eR Do

đó e e Rad(R) vì thế 1- e kha nghịch vì e(I-e)= 0, suy ra e= 0 nên x=0 Do đó

1.3.2.8 Định lý Với mọi vành R thì Rad(R) là giao của tất cả các tđêan nguyên thuỷ bên phải của R

1.3.2.9 Dinh ly Voi moi vành R, thì Rad( R/Rad(R)= 0

Chiing minh: Xét phép chiéu p: Rạ ->R/ Rad(R) Theo định nghĩa căn

Jacoson ta có:

Rad(R/Rad(R))= ¬ 4, 4 chạy khắp iđêan cực đại của vành R = R/Rad(R) đặt A= p†!(4) thì A là iđêan cực đại của Rạ; ngược lại, Rad(R) c A, với mỗi

iđêan cực đại A của Rạ Suy ra p(A) cũng là iđêan cực đại của & Từ đó ta có:

= pp '( Rad(R/Rad(R))

A chạy khắp các iđêan cực đại của Rạ, vì P toàn cấu nên

Rad(R/Rad(R)) = Rad(R/Rad(R)) > (R/ Rad(R)

1.3.3.1 Định nghĩa Tập tất cả các phần tử luỹ linh của vành R được gọi là căn

luỹ linh của vành R, ký hiéu N(R)

1.3.3.2 Mệnh đề Cño R là vành giao hoán, có đơn vị Khi đó, ta luôn có:

N(R) = P(R).

Chứng minh: Giả sử x e N() và P là iđêan nguyên tố tuỳ ý của R suy ra

tồn tại số tự nhiên n sao cho x"= 0 e N(R) Từ đây suy ra, dựa vào tính nguyên tố của P, x e P Tức là ta chứng minh được xe P(R) Vậy N(R)c P(R)

Để chứng minh bao hàm thức ngược lại, ta chỉ ra rằng, với một phần tử 0# xeR

cho trước

xe N(R) >xz P(R)

Thật vậy, gọi B là tập tất cả các iđêan J của R có tính chất x" z ], với mọi số tự nhiên n Lúc đó, B z ø vì {0} € B(do x không luỹ linh) Suy ra trong B có quan

hệ thứ tự bao hàm Giả sử quan hệ bao hàm đó là: J, c];c ]; c c , va nd

là xích trong B Rõ ràng J =Ú”, là một iđêan của R Hơn nữa Je B Vì nếu tồn tại

i=l

số tự nhiên n dé x"eJ, thi ciing t6n tai sO tu nhién k để x"ea, Vay, moi xích

trong B đều bị chặn, nên theo Bổ để Zorn thì trong B có phần tử cực đại ta ký hiệu là P Nếu là iđêan P nguyên tố, thì ta suy ra x£ P(R) và mệnh đề được chứng minh xong Giả sử ngược lại rằng, P không phải là iđêan nguyên tố Khi đó, tồn tại hai phần tử a,bzP mà abeP Điều này chứng tỏ P nằm thực sự trong các idéan

aR + P va bR + P, nghia 1a hai idéan nay không thuộc B Vậy tồn tai hai số tự

nhién n, m sao cho

(2) _P(R) là iđêan luỹ linh lớn nhất một phía trong R

(3) P(R) là iđêan luỹ linh nửa nguyên tố duy nhất trong R