MÔ HÌNH TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

Cơ sở lý thuyết điều khiển tự động - Chương 2: mô hình toán học hệ thống điều khiển liên tục - ĐH BK TP HCM

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Giảng viên: TS Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động

Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn

Môn học

MÔ HÌNH TOÁN HỌC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN LIÊN TỤC

Chương 2

ỉ Khái niệm về mô hình toán học

ỉ Hàm truyền

Ø Phép biến đổi Laplace

Ø Định nghĩa hàm truyền

Ø Hàm truyền của một số phần tử

ỉ Hàm truyền của hệ thống tự động

Ø Đại số sơ đồ khối

Ø Sơ đồ dòng tín hiệu

ỉ Phương trình trạng thái (PTTT)

Ø Khái niệm về PTTT

Ø Cách thành lập PTTT từ phương trình vi phân

Ø Quan hệ giữa PTTT và hàm truyền

Nội dung chương 2

Khái niệm về mô hình toán học

ỉ Hệ thống điều khiển thực tế rất đa dạng và có bản chất vật lý khác nhau.

ỉ Cần có cơ sở chung để phân tích, thiết kế các hệ thống điều khiển có bản chất vật lý khác nhau Cơ sở đó chính là toán học

ỉ Quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của một hệ thống tuyến tính bất biến liên tục có thể mô tả bằng phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng:

Khái niệm về mô hình toán học

= +

+ + + − −( ) − ( ) ( )

)

(

1 1

1 1

dt

t dc a

dt

t c d a dt

n

1 1

dt

t dr b

dt

t r d b dt

t r d

m m

m

+ +

Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân

Thí dụ 2.1: Đặc tính động học tốc độ xe ô tô

)()

(

)

(

t f t

Bv dt

t

dv

M: khối lượng xe, B hệ số ma sát: thông số của hệ thống

f(t): lực kéo của động cơ: tín hiệu vào

Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân

Thí dụ 2.2: Đặc tính động học hệ thống giảm chấn của xe

M: khối lượng tác động lên bánh xe,

B hệ số ma sát, K độ cứng lò xo

f(t): lực do sốc: tín hiệu vào

)()

(

)()

(

2

2

t f t

Ky dt

t

dy B dt

t y d

Một số thí dụ mô tả hệ thống bằng phương trình vi phân

Thí dụ 2.3: Đặc tính động học thang máy

M T: khối lượng buồng thang, MĐ: khối lượng đối trọng

B hệ số ma sát, K hệ số tỉ lệ

g M t

K g

M dt

t

dy B dt

t y

d

M T 2( ) + ( ) + T = ( ) + Đ

2

τ

ỉ Phương trình vi phân bậc n (n>2) rất khó giải

Phân tích hệ thống dựa vào mô hình toán là phương trình vi phân gặp rất nhiều khó khăn (một thí dụ đơn giản là biết tín hiệu vào, cần tính đáp ứng của hệ thống, nếu giải phương trình

vi phân thì không đơn giản chút nào!!!.)

Thiết kế hệ thống dựa vào phương trình vi phân hầu như không thể thực hiện được trong trường hợp tổng quát

⇒ Cần các dạng mô tả toán học khác giúp phân tích và thiết kế hệthống tự động dể dàng hơn

Ø Hàm truyền

Ø Phương trình trạng thái

Hạn chế của mô hình toán dưới dạng phương trình vi phân

= +

+ + + − −( ) − ( ) ( )

)

(

1 1

1 1

dt

t dc a

dt

t c d a dt

n

1 1

dt

t dr b

dt

t r d b dt

t r d

m m

m

+ +

+

Hàm truyền

− s : biến phức (biến Laplace)

− L : toán tử biến đổi Laplace

− F(s) : biến đổi Laplace của hàm f(t)

Biến đổi Laplace tồn tại khi tích phân ở biểu thức định nghĩa trên hội tụ

{ }= = +∞∫ −

0

)

()

()

(t F s f t e dt

L

Tính chất:

Cho f(t) và g(t) là hai hàm theo thời gian có biến đổi Laplace là

ỉ Tính tuyến tính

ỉ Định lý chậm trể

ỉ Ảnh của đạo hàm

ỉ Ảnh của tích phân

Phép biến đổi Laplace (tt)

sF dt

f

t

)

()

Phép biến đổi Laplace (tt)

Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản:

ỉ Hàm nấc đơn vị (step): tín hiệu vào hệ thống điều khiển ổn

0

0 t

1)

(

nếu

nếu

t u

u(t)

t

01

0 t

0)

Phép biến đổi Laplace (tt)

Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản (tt):

ỉ Hàm dốc đơn vị (Ramp): tín hiệu vào hệ thống điều khiển theo dõi

0

0 t

)

()

(

nếu

nếu

t t

s

t u

0

0

)

(.)

(

t nếu

t nếu

at

t u e

t u

L

Phép biến đổi Laplace (tt)

Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản (tt):

ỉ Hàm sin:

ỉ Bảng biến đổi Laplace: SV cần học thuộc biến đổi Laplace của

LAPLACE ở phụ lục sách Lý thuyết Điều khiển tự động.

0

0 t

sin)

()

(sin)

(

nếu

nếu

t t

u t t

+

=

s

t u t

L

ỉ Xét hệ thống mô tả bởi phương trình vi phân:

ỉ Biến đổi Laplace 2 vế phương trình trên, để ý tính chất ảnh của đạo hàm, giả thiết điều kiện đầu bằng 0, ta được:

Định nghĩa hàm truyền

=+

++

+ − −( ) − ( ) ( )

)

(

1 1

1 1

dt

t

dc a

dt

t c

d a dt

t c

d

n n

n

L

)(

)()

()

(

1 1

1 1

dt

t

dr b

dt

t r

d b dt

t r

d

m m

m

++

++

+ n−1

ỉ Hàm truyền của hệ thống:

ỉ Định nghĩa: Hàm truyền của hệ thống là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào khi

ỉ Chú ý: Mặc dù hàm truyền được định nghĩa là tỉ số giữa biến đổi Laplace của tín hiệu ra và biến đổi Laplace của tín hiệu vào nhưng hàm truyền không phụ thuộc vào tín hiệu ra và tín hiệu vào mà chỉ phụ thuộc vào cấu trúc và thông số của hệ thống

Do đó có thể dùng hàm truyền để mô tả hệ thống

Định nghĩa hàm truyền (tt)

n n

n n

m m

m m

a s

a s

a s

a

b s

b s

b s

b s

R

s

C s

G

+ +

+ +

+ +

0

1

1 1

0)

(

)

( )

(

L L

Hàm truyền của các phần tử

Cách tìm hàm truyền

ỉ Bước 1: Thành lập phương trình vi phân mô tả quan hệ vào – ra của phần tử bằng cách:

Ø Áp dụng các định luật Kirchoff, quan hệ dòng–áp trên điện trở, tụ điện, cuộn cảm,… đối với các phần tử điện

Ø Áp dụng các định luật Newton, quan hệ giữa lực ma sát và vận tốc, quan hệ giữa lực và biến dạng của lò xo,… đối với các phần tử cơ khí

Ø Áp dụng các định luật truyền nhiệt, định luật bảo toàn năng lượng,… đối với các phần tử nhiệt

Ø …

ỉ Bước 2: Biến đổi Laplace hai vế phương trình vi phân vừa thành lập ở bước 1, ta được hàm truyền cần tìm

ỉ Mạch tích phân bậc 1:

Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)

Các khâu hiệu chỉnh thụ động

R

C

1

1)

+

=

RCs

RCs s

G

Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)

Các khâu hiệu chỉnh thụ động (tt)

ỉ Mạch trể pha:

s

2 1

2

R R

1 2

R R

C R

R T

α

Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)

Các khâu hiệu chỉnh tích cực

P

K s

Hàm truyền của các bộ điều khiển (khâu hiệu chỉnh)

Các khâu hiệu chỉnh tích cực (tt)

ỉ Khâu vi phân tỉ lệ PD: (Proportional Derivative)

ỉ Khâu vi tích phân tỉ lệ PID: (Proportional Integral Derivative)

s K K

K K

s

G( ) = P + I + D

1

K I = −

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp

Hàm truyền động cơ DC

− L ư : điện cảm phần ứng − ω : tốc độ động cơ

− R ư : điện trở phần ứng − M t : moment tải

− U ư : điện áp phần ứng − B : hệ số ma sát

− E : sức phản điện động − J : moment quán tính

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Hàm truyền động cơ DC (tt)

ỉ Áp dụng định luật Kirchoff cho mạch điện phần ứng:

)(

)

()

()

dt

t

di L

R t i t

U ư = ư ư + ư ư + ư

)()

B t

M t

M ( ) = t ( ) + ω( ) + ω( )

trong đó: M (t) = KΦi (t)

(1)(2)

(3)(4)

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Hàm truyền động cơ DC (tt)

ỉ Biến đổi Laplace (1), (2), (3), (4) ta được:

(5)(6)(7)(8)

)()

()

()

(s I s R L sI s E s

U ư = ư ư + ư ư + ư

)()

(s K s

E ư = Φω

)()

()

()

(s M s B s Js s

)()

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Hàm truyền động cơ DC (tt)

ỉ (5) và (7) suy ra:

)1

(

)()

()

(

s T R

s E s

U s

I

ư ư

(

)()

()

(

s T B

s M s

M s

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Hàm truyền lò nhiệt

Nhiệt độ lò

Công suất điện cấp cho lò 100%

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Hàm truyền lò nhiệt (tt)

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Xe ô tô

)()

(

)

(

t f t

Bv dt

s F

s

V s

)

()

1

)(

+

=

Ts

K s

G

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Hệ thống giảm xóc của ô tô, xe máy

ỉ Phương trình vi phân:

M: khối lượng tác động lên bánh xe,

B hệ số ma sát, K độ cứng lò xo

f(t): lực do xóc

y(t): dịch chuyển của thân xe

)()

(

)()

(

2

2

t f t

Ky dt

t

dy B dt

t y d

Hàm truyền của các đối tượng thường gặp (tt)

Thang máy

ỉ Phương trình vi phân:

ỉ Hàm truyền:

M T: khối lượng buồng thang,

M Đ: khối lượng đối trọng

B hệ số ma sát, K hệ số tỉ lệ τ(t): moment kéo của động cơ

y(t): vị trí buồng thang

g M t

K g

M dt

t

dy B dt

t y

d

M T (2 ) + ( ) + T = ( ) + Đ

2

τ

Nếu khối lượng đối trọng

2

t

K dt

t

dy B dt

t y

d

Bs s

M

K s

s

Y s

)

()

(

τ

Hàm truyền của cảm biến

01.0)

(s = K ht =

H

Hàm truyền của hệ thống tự động

Đại số sơ đồ khối

ỉ Sơ đồ khối của một hệ thống là hình vẽ mô tả chức năng của cácphần tử và sự tác động qua lại giữa các phần tử trong hệ thống

Sơ đồ khối

ỉ Sơ đồ khối có 3 thành phần chính là

Ø Khối chức năng: tín hiệu ra bằng hàm truyền nhân tín hiệu vào

Ø Bộ tổng: tín hiệu ra bằng tổng đại số các tín hiệu vào

Ø Điểm rẽ nhánh: tất cả tín hiệu tại điểm rẽ nhánh đều bằng nhau

Đại số sơ đồ khối

Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt)

ỉ Hệ thống nối tiếp

(

Đại số sơ đồ khối

Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt)

ỉ Hệ thống song song

∑n

Đại số sơ đồ khối

Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt)

ỉ Hệ thống hồi tiếp âm ỉ Hệ thống hồi tiếp âm đơn vị

)()

(1

)

()

(

s H s G

s

G s

G k

+

=

)(1

)

()

(

s G

s

G s

G k

+

=

Đại số sơ đồ khối

Hàm truyền của các hệ thống đơn giản (tt)

ỉ Hệ thống hồi tiếp dương ỉ Hệ thống hồi tiếp dương đơn vị

)()

(1

)

()

(

s H s G

s

G s

G k

−

=

)(1

)

()

(

s G

s

G s

G k

−

=

Đại số sơ đồ khối

Hàm truyền của hệ thống hồi tiếp nhiều vòng

ỉ Đối với các hệ thống phức tạp gồm nhiều vòng hồi tiếp, ta thực hiện các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối để làm xuất hiện các dạng ghép nối đơn giản (nối tiếp, song song, hồi tiếp 1 vòng) và tính hàm truyền tương đương theo thứ tự từ trong ra ngoài

ỉ Hai sơ đồ khối được gọi là tương đương nếu hai sơ đồ khối đó có quan hệ giữa các tín hiệu vào và tín hiệu ra như nhau.

Đại số sơ đồ khối

Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía trước ra phía sau 1 khối:

Đại số sơ đồ khối

Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Chuyển điểm rẽ nhánh từ phía sau ra phía trước 1 khối:

Đại số sơ đồ khối

Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Chuyển bộ tổng từ phía trước ra phía sau 1 khối:

Đại số sơ đồ khối

Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Chuyển bộ tổng từ phía sau ra phía trước 1 khối:

Đại số sơ đồ khối

Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Chuyển vị trí hai bộ tổng:

Đại số sơ đồ khối

Các phép biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Tách 1 bộ tổng thành 2 bộ tổng :

Đại số sơ đồ khối

Chú ý

ỉ Không được chuyển vị trí điểm rẽ nhánh và bộ tổng :

ỉ Không được chuyển vị trí 2 bộ tổng khi giữa 2 bộ tổng có điểm rẽ nhánh :

Đại số sơ đồ khối

Thí dụ 1

ỉ Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Đại số sơ đồ khối

Bài giải thí dụ 1: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Chuyển vị trí hai bộ tổng ¦ và ,

Rút gọn GA(s)=[G3(s)//G4(s)]

)()

()

(s G s G s

Đại số sơ đồ khối

Bài giải thí dụ 1: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ G B (s)=[G1(s) // hàm truyền đơn vị ] ,

G C (s)= vòng hồi tiếp[G2(s),GA(s)]:

)(1

)(s G1 s

G B = +

)]

()

().[

(1

)()

()

(1

)

()

(

4 3

2

2 2

2

s G s

G s

G

s G s

G s G

s

G s

()

(s G s G s

G td = B C

)()]

(1

[)

(s G1 s G2 s

Đại số sơ đồ khối

Thí dụ 2

ỉ Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Đại số sơ đồ khối

Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Chuyển vị trí hai bộ tổng và¡

Chuyển điểm rẽ nhánh ¢ ra sau G2(s)

Đại số sơ đồ khối

Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ GB(s) = vòng hồi tiếp[G2(s), H2(s)]

GC(s) = [GA(s)// hàm truyền đơn vị ]

Đại số sơ đồ khối

Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ GD(s) = [GB (s) nối tiếp GC(s) nối tiếp G3(s)]

ỉ GE(s) = vòng hồi tiếp [GD(s), H3(s)]

Đại số sơ đồ khối

Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

ỉ Tính toán cụ thể:

2

1

11

*

G

H G

G

H G

G C = + A = + = +

H G G

G H

Đại số sơ đồ khối

Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

3 2

2

1 3 3

2

2 2

1 3 3

2

3

11

11

*

H H

G

H G G

G

H G

H G G

G

H G

G G

D

D E

+

++

+

+

=+

=

3 1 3 3

3 2 2

2

1 3 3

2

1

H H G H

G G H

G

H G G

G

G E

++

Đại số sơ đồ khối

Bài giải thí dụ 2: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

3 1 3 3

3 2 2

2

1 3 3

2 1

3 1 3 3

3 2 2

2

1 3 3

2 1

1 1

1

.1

1.1

*

H H G H

G G H

G

H G G

G G

H H G H

G G H

G

H G G

G G

G G

G

G G

E

E td

++

+

++

++

+

+

=+

=

1 3 1 3

2 1 3

1 3 3

3 2 2

2

1 3 1 3

2 1

1

H G G G

G G H

H G H

G G H

G

H G G G

G

G G

++

++

Đại số sơ đồ khối

Thí dụ 3

ỉ Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:

Đại số sơ đồ khối

ỉ Chuyển bộ tổng ¡ ra trước G1(s),

sau đó đổi vị trí 2 bộ tổng và¡

Chuyển điểm rẽ nhánh ¢ ra sau G2(s)

Hướng dẫn giải thí dụ 3: Biến đổi tương đương sơ đồ khối

Đại số sơ đồ khối

Kết quả thí dụ 3

ỉ Sinh viên tự tính

Đại số sơ đồ khối

Một số nhận xét

ỉ Phương pháp biến đổi sơ đồ khối là một phương pháp đơn giản

ỉ Khuyết điểm của phương pháp biến đổi sơ đồ khối là không mang tính hệ thống, mỗi sơ đồ cụ thể có thể có nhiều cách biến đổi khác nhau, tùy theo trực giác của người giải bài toán

ỉ Khi tính hàm truyền tương đương ta phải thực hiện nhiều phép tính trên các phân thức đại số, đối với các hệ thống phức tạp các phép tính này hay bị nhầm lẫn

⇒ Phương pháp biến đổi tương đương sơ đồ khối chỉ thích hợp để tìm hàm truyền tương đương của các hệ thống đơn giản

Đối với các hệ thống phức tạp ta có một phương pháp hiệu quả hơn, đó là phương pháp sơ đồ dòng tín hiệu sẽ được đề cập đến ở mục tiếp theo

Sơ đồ dòng tín hiệu

Định nghĩa

ỉ Sơ đồ dòng tín hiệu là một mạng gồm các nút và nhánh.

ỉ Nút: là một điểm biểu diễn một biến hay tín hiệu trong hệ thống.

ỉ Nhánh: là đường nối trực tiếp 2 nút, trên mỗi nhánh có ghi mũi tên chỉ chiều truyền của tín hiệu và có ghi hàm truyền cho biết mối quan hệ giữa tín hiệu ở 2 nút.

ỉ Nút nguồn: là nút chỉ có các nhánh hướng ra.

ỉ Nút đích: là nút chỉ có các nhánh hướng vào.

Sơ đồ dòng tín hiệu

Định nghĩa (tt)

ỉ Đường tiến: là đường gồm các nhánh liên tiếp có cùng hướng tín

hiệu đi từ nút nguồn đến nút đích và chỉ qua mỗi nút một lần

Độ lợi của một đường tiến là tích của các hàm truyền của các

nhánh trên đường tiến đó

hướng tín hiệu và chỉ qua mỗi nút một lần

Độ lợi của một vòng kín tích của các hàm truyền của các nhánh

trên vòng kín đó

Sơ đồ dòng tín hiệu

Sơ đồ dòng tín hiệu

1 G G G G G

P =

5 4 6 1

2 G G G G

P =

1 4

1 G H

L = −

2 7 2

2 G G H

L = −

Sơ đồ dòng tín hiệu

1

3 3 2

2 1

2 1 5

4 6 1 5

4 3 2

=

Sơ đồ dòng tín hiệu

Thí dụ 2

ỉ Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:

ỉ Giải:

Sơ đồ dòng tín hiệu

Thí dụ 2 (tt)

3 2 1

P =

3 1 1

P =

2 2

L = −

3 3 2

L = −

3 2 1

3 G G G

L = −

H H G

L = −

Sơ đồ dòng tín hiệu

Thí dụ 2 (tt)

ỉ Định thức của sơ đồ dòng tín

5 4

3 2

1

2 2 1

G

=

Sơ đồ dòng tín hiệu

Thí dụ 3

ỉ Tính hàm truyền tương đương của hệ thống có sơ đồ khối như sau:

ỉ Giải:

Sơ đồ dòng tín hiệu

Thí dụ 3 (tt)

3 2 1

1 G H

L = −

1 2 1

L = −

G G G

L = −

Sơ đồ dòng tín hiệu

1

2 2 1

4 5

2 5

1 4

1 5

4 3

)(

1 1 2 4 1 4

2 = − L + L + L + L L

∆

Phương trình trạng thái

ỉ Trạng thái: Trạng thái của một hệ thống là tập hợp nhỏ nhất các biến (gọi là biến trạng thái) mà nếu biết giá trị của các biến này tại thời điểm t0 và biết các tín hiệu vào ở thời điểm t > t0, ta hoàn toàn có thể xác định được đáp ứng của hệ thống tại mọi thời điểm t ≥ t0.

Hệ thống bậc n có n biến trạng thái Các biến trạng thái có thể chọn là biến vật lý hoặc không phải là biến vật lý

ỉ Vector trạng thái: n biến trạng thái hợp thành vector cột gọi là vevtor trạng thái

Trạng thái của hệ thống

n

x x

=

x

ỉ Bằng cách sử dụng các biến trạng thái, ta có thể chuyển phương

trình vi phân bậc nhất, (hệ phương trình trạng thái)

(*)

trong đó

Chú ý: Tùy theo cách đặt biến trạng thái mà một hệ thống có thể được mô tả bằng nhiều phương trình trạng thái khác nhau.

Nếu A là ma trận thường, ta gọi (*) là phương trình trạng thái ở

Phương trình trạng thái

(

) ( )

( )

(

t t

c

t r t

t

Cx

B Ax

n

n n

a a

a

a a

a

a a

a

K

M M

M

K K

2 1

2 22

21

1 12

M

2 1

B C = [c1 c2 K c n]

Vài thí dụ về phương trình trạng thái

Thí dụ 1: Hệ thống giảm xóc của ô tô, xe máy

) ( )

(

) ( )

(

2

2

t f t

Ky dt

t

dy B dt

t y

1 )

( )

( )

(

) ( )

(

2 1

2

2 1

t

f M

t

x M

B t

x M

K t

x

t x t

(

) ( )

(

2

1

t y t

x

t y t

x

&

) (

10)

(

)

(

1 0

) (

) (

2

1 2

1

t f M t

x

t x

M

B M

K t

x

t x

)

( 0

1 )

(

2

1

t x

t

x t