thiết kế hệ thống điều khiển liên tục

Lý thuyết điều khiển tự động - Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục - ĐH BK TP HCM

LÝ THUYẾT ĐIỀU KHIỂN TỰ ĐỘNG

Giảng viên: TS Huỳnh Thái Hoàng Bộ môn Điều Khiển Tự Động

Khoa Điện – Điện Tử Đại học Bách Khoa TP.HCM Email: hthoang@hcmut.edu.vn

Môn học

THIEÁT KEÁ HEÄ THOÁNG ÑIEÀU KHIEÅN LIEÂN TUÏC

Chöông 5

ỉ Khái niệm

ỉ Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh đến chất lượng của hệ thống

ỉ Thiết kế hệ thống dùng phương pháp QĐNS

ỉ Thiết kế hệ thống dùng phương pháp biểu đồ Bode

ỉ Thiết kế hệ thống dùng phương pháp phân bố cực

ỉ Thiết kế bộ điều khiển PID

Nội dung chương 5

Khái niệm

ỉ Thiết kế là toàn bộ quá trình bổ sung các thiết bị phần cứngcũng như thuật toán phần mềm vào hệ cho trước để được hệ mới thỏa mãn yêu cầu về tính ổn định, độ chính xác, đáp ứng quá độ,…

Khái niệm

ỉ Bộ điều khiển nối tiếp với hàm truyền của hệ hở

Hiệu chỉnh nối tiếp

R (s)

G (s) +

Điều khiển hồi tiếp trạng thái

ỉ Tất cả các trạng thái của hệ thống được phản hồi trở về ngõ vào

( )

Ảnh hưởng của các khâu hiệu chỉnh đến chất lượng của hệ thống

ỉ Khi thêm 1 cực có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở thì QĐNS của hệ kín có xu hướng tiến về phía trục ảo, hệ thống sẽ kém ổn định hơn, độ dự trữ biên và độ dự trữ pha giảm, độ vọt lố tăng

Ảnh hưởng của cực

ỉ Khi thêm 1 zero có phần thực âm vào hàm truyền hệ hở thì QĐNS của hệ kín có xu hướng tiến xa trục ảo, do đó hệ thống sẽ ổn định hơn, độ dự trữ biên và độ dự trữ pha tăng, độ vọt lố giảm

Ảnh hưởng của zero

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh sớm pha

ỉ Đặc tính tần số:

ω

ω

αω

Tj

Tj K

−

= −

1

1 sin 1

αϕ

L

ỉ Chú ý các giá trị trên biểu đồ Bode

) 1 (

1

1 )

s

G C C

ỉ Hàm truyền:

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh trể pha

ỉ Đặc tính tần số:

ω

ω

αω

Tj

Tj K

−

= −

1

1 sin 1

αϕ

ỉ Chú ý các giá trị trên biểu đồ Bode

ỉ Khâu trể pha làm giảm sai

số xác lập

) 1 (

1

1 )

s

G C C

ỉ Hàm truyền:

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh sớm trể pha

) 1 ,

1 (

1

1 1

1 )

2

2 2 1

+

s T

s T s

T

s

T K

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh tỉ lệ (P)

ỉ Hệ số tỉ lệ càng lớn sai số xác lập càng nhỏ

của hệ thống hiệu

chỉnh nối tiếp dùng

bộ điều khiển tỉ lệ

với hàm truyền đối

tượng là:

)3)(

2(

10)

(

++

=

s s

s

G

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh vi phân tỉ lệ (PD)

ỉ Biểu đồ Bode

ỉ Hàm truyền:

)1

()

(s K K s K T s

ỉ Khâu hiệu chỉnh PD là một

trường hợp riêng của khâu hiệu

chỉnh sớm pha, trong đó độ

lệch pha cực đại giữa tín hiệu

ra và tín hiệu vào là ϕmax=90 0 ,

tương ứng với tần số ωmax=+∞

ỉ Khâu hiệu chỉnh PD làm nhanh

đáp ứng của hệ thống, tuy

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh vi phân tỉ lệ (PD)

ỉ Chú ý: Thời hằng vi phân càng lớn đáp ứng càng nhanh

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh tích phân tỉ lệ (PI)

ỉ Hàm truyền:

)

11

()

(

s T

K s

K K

s

G

I P

I P

ỉ Khâu hiệu chỉnh PI là một

trường hợp riêng của khâu hiệu

chỉnh trể pha, trong đó độ lệch

pha cực tiểu giữa tín hiệu ra và

tín hiệu vào là ϕmin=−90 0 ,

tương ứng với tần số ωmin=0

ỉ Khâu hiệu chỉnh PI làm tăng

bậc vô sai của hệ thống, tuy

ỉ Biểu đồ Bode

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh tích phân tỉ lệ (PI)

ỉ Chú ý: Thời hằng tích phân càng nhỏ độ vọt lố càng cao

Ảnh hưởng của khâu hiệu chỉnh vi tích phân tỉ lệ (PID)

ỉ Biểu đồ Bode:

ỉ Khâu hiệu chỉnh PID:

Ø làm nhanh đáp ứng

K K

( )

s T

K s

K s

=

⇔

So sánh các khâu hiệu chỉnh PD PI PID

Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục dùng phương pháp quỹ đạo nghiệm số

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS

trên QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh bằng công thức:

* 2 , 1

−

i

i n

* 1

0

*

)arg(

)arg(

180 góc từ các cực của G s đến cực s

cáctừ

góc

)1(

)

/1(

)/

1

()

T

s K s

Thời

POTlố

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS (tt)

Vẽ 2 nữa đường thẳng bất kỳ xuất phát từ cực quyết định sao cho 2 nữa đường thẳng này tạo với nhau một góc bằng φ* Giao điểm của hai nữa đường thẳng này với trục thực là vị trí cực và zero của khâu hiệu chỉnh

Có hai cách vẽ thường dùng:

Ø PP đường phân giác (để cực và zero của khâu H/C gần nhau)

Ø PP triệt tiêu nghiệm (để hạ bậc của hệ thống)

* 1

s

1)

()

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS

ỉ Yêu cầu: thiết kế khâu hiệu chỉnh G C (s) để đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi hiệu chỉnh thỏa: POT<20%; tqđ < 0,5 sec (tiêu chuẩn 2%)

50+

s s

)1(

)

/1(

)/

1

()

T

s K s

ỉ Vì yêu cầu thiết kế cải thiện đáp ứng quá độ nên khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là khâu sớm pha

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 1: Xác định cặp cực quyết định

2

0 1

⇒ ξ

707,

=

n

ωChọn

2 2

* 2 ,

1 = − ± j 1 − = − 0 , 707 × 15 ± j15 1 − 0 , 707

s ξωn ωn ξCặp cực quyết định là:

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 2: Xác định góc pha cần bù

5 , 10 arctan

5 , 10

5 , 10 arctan

1800

) 6 , 117 135

=φCách 1:

1800 1 2

) 6 , 117 135

=

φ

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 3: Xác định cực và zero của khâu sớm pha

(pp đường phân giác)

s *

β1

O

P x

2

ˆ sin

2 2

ˆ sin

x P O OP

2 2

ˆ sin

2 2

ˆ sin

x P O OP

OC

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 4: Xác định hệ số khuếch đại

1)

()( =s* =

s

C s G s G

1)

55

,105

,10)(

5,105

,10(

50

285

,105

,10

85

,105

,10

=+

+

−+

−+

+

−

++

−

⇔

j j

j

j

K C

185

,1115

41,20

5079

,10

=

⇔ K C

28

87

,6)

G C

QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh sớm pha

Đáp ứng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh sớm pha

Đáp ứng của hệ thống

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha dùng QĐNS

)1(

)

/1(

)/

1

()

T

s K s

Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế

ỉ Bước 1: Xác định β từ yêu cầu về sai số xác lập

1 =

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha dùng QĐNS

ỉ Yêu cầu: thiết kế khâu hiệu chỉnh G C (s) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có sai số đối với tín hiệu vào là hàm dốc là 0,02 và đáp ứng quá độ thay đổi không đáng kể

3(

10

++ s s

s

)1(

)

/1(

)/

1

()

T

s K s

ỉ Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là khâu trể pha:

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 1: Xác định β

83

0)

4)(

3(

10lim

)(

lim

0

++

V

Hệ số vận tốc trước khi hiệu chỉnh:

5002

,0

Hệ số vận tốc mong muốn:

50

83.0

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 2: Chọn zero của khâu trể pha

Cực của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là nghiệm của phương trình:

0)

(

)4)(

3(

101

++

+

⇔

s s

3

2 , 1

s

j s

⇒ Cực quyết định của hệ thống trước khi hiệu chỉnh là: s1,2 = 1 − ± j

017,

0(

11

0

1,

0)

s

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 4: Xác định hệ số khuếch đại

1)

()( =s* =

s

C s G s G

1)

4)(

3(

10

0017,

0

1,

0

*

=+

++

s s

s K

1)

41

)(

31

)(

1(

10

)0017,

01

(

)1,01

(

++

−+

+

−+

−+

+

−

++

−

⇒

j j

j j

j

K C

10042

s1*,2 = 1,2 = −1±

Để đáp ứng quá độ không thay đổi đáng kể:

+

QĐNS của hệ thống sau khi hiệu chỉnh trể pha

QĐNS trước khi hiệu chỉnh QĐNS sau khi hiệu chỉnh

Đáp ứng của hệ thống sau khi hiệu chỉnh trể pha

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trể pha dùng QĐNS

)()

()

(s G 1 s G 2 s

Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế

đáp ứng quá độ

ỉ Bước 2: Đặt G1(s)= G (s) G C1(s)

Thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha G C2(s) mắc nối tiếp vào G1(s)

để thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập mà không thay đổi đáng kể đáp ứng quá độ của hệ thống sau khi đã hiệu chỉnh sớm pha

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trể pha dùng QĐNS

ỉ Yêu cầu: thiết kế khâu hiệu chỉnh G C (s) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có cặp cực phức với ξ = 0.5, ωn =5 (rad/sec) và hệ số vận tốc K V =80

4+

s s

ỉ Vì yêu cầu thiết kế cải thiện đáp ứng quá độ và sai số xác lập nên khâu hiệu chỉnh cần thiết kế là khâu sớm trể pha:

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trể pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 1: Thiết kế khâu sớm pha G C1(s)

2 2

* 2 ,

1 = − ± j 1 − = − 0 , 5 × 5 ± j5 1 − 0 , 5

s ξωn ωn ξ

33 , 4 5

, 2

* 2 ,

s = − ±Cặp cực quyết định:

Góc pha cần bù:

)(

1800 1 2

φ = − + +

)115120

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trể pha dùng QĐNS (tt)

Chọn zero của khâu sớm pha triệt tiêu cực tại –0.5 của G (s):

φ*

A B

–1/αT1

–1/T1

5,01

1

=+

= OA AB T

5,0+

s

5

4 60

sin

55

sin 76

4 sin

ˆ sin

A PA

AB

5 , 0

=

OA

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trể pha dùng QĐNS (tt)

Tính K C1: 1( ) ( ) =s* =1

s

C s G s G

1)

5,0(

4

5

5,0

33 , 4 5 , 2

++

s K

25,6

1 =

C

K

)5(

25)

()()

025

,6)

G C

⇒

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trể pha dùng QĐNS (tt)

ỉ Bước 2: Thiết kế khâu trể pha G C2(s)

2

2 2

1)

(

T s

T

s K

5(

25lim

)(

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trể pha dùng QĐNS (tt)

− Xác định zero của khâu trể pha thỏa điều kiện:

5,2)

33,45

,2Re(

)Re(

2

=+

−

=

<< s j T

β

16,01

.(

16

1

1.1

2 2

2

=

T

⇒

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm trể pha dùng QĐNS (tt)

++

)01,0(

)16,0

(01,1)

G C

Hàm truyền khâu trể pha:

− Tính K C2 dựa vào điều kiện biên độ:

01.1

2 =

C

K

1)

()

s

C s G s G

101

,033

,45

,2

16,033

,45

,

2

++

−

++

Thiết kế hệ thống điều khiển liên tục

dùng phương pháp biểu đồ Bode

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode

)1(

1

1)

s

Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế

ỉ Bước 1: Xác định K C để thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập

P P

C K K

K = * / hoặc K C = K V* / K V hoặc K C = K a* / K a

ỉ Bước 2: Đặt G1(s)=K C G(s).Vẽ biểu đồ Bode của G1(s)

ỉ Bước 3: Xác định tần số cắt biên của G1(s) từ điều kiện:

0)

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode

ỉ Bước 7: Xác định tần số cắt mới (tần số cắt của hệ sau khi hiệu chỉnh) dựa vào điều kiện:

α

ω ) 10lg(

sin

1

ϕ

ϕ α

trữ biên hay không? Nếu không thỏa mãn thì trở lại bước 5

giải giải tích thì có thể xác định ωC (bước 3), ΦM (bước 4) và ω’ C

(bước 7) bằng cách dựa vào biểu đồ Bode

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode

ỉ Yêu cầu: thiết kế khâu hiệu chỉnh G C (s) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có

4+

s s

;20

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode (tt)

ỉ Bước 1: Xác định K C

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh là:

C C

s

C s

s s Ts

Ts sK

s G s sG

)2(

4

1

1lim

)()(

lim

0 0

++

*

=

= V C

4

10)

()

(

1 s = K G s = s s +

)15

,0(

20)

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode (tt)

ωc =6

-40dB/dec

ΦM

2 -20dB/dec 26

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode (tt)

ỉ Bước 3: Tần số cắt của hệ trước khi hiệu chỉnh

Theo biểu đồ Bode: ωC ≈ 6 (rad/sec)

ỉ Bước 4: Độ dự trữ pha của hệ khi chưa hiệu chỉnh

ϕ

⇒

θ

ϕmax = ΦM * − ΦM + (chọn θ=7)

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode (tt)

ỉ Bước 6: Tính α

ỉ Bước 7: Tính số cắt mới dựa vào biểu đồ Bode:

0 0 max

max

37sin1

37sin1

sin1

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh sớm pha dùng biểu đồ Bode (tt)

ỉ Bước 9: Kiểm tra lại điều kiện biên độ

Theo biểu đồ Bode sau khi hiệu chỉnh GM* = +∞, do đó thỏa mãn điều kiện biên độ đề bài yêu cầu

ỉ Kết luận: Khâu hiệu chỉnh sớm pha cần thiết kế có hàm truyền là

s

s s

G C

056,

01

224,

0

110)

(

++

=

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha dùng biểu đồ Bode

)1(

1

1)

s

Khâu hiệu chỉnh cần thiết kế

ỉ Bước 1: Xác định K C để thỏa mãn yêu cầu về sai số xác lập

P P

C K K

K = * / hoặc K C = K V* / K V hoặc K C = K a* / K a

ỉ Bước 2: Đặt G1(s)=K C G(s).Vẽ biểu đồ Bode của G1(s)

ỉ Bước 3: Xác định tần số cắt biên mới sau khi hiệu chỉnh dựa vào điều kiện:

là độ dự trữ pha mong muốn,

1 j C′ =

G

hoặc

Trình tự thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha dùng biểu đồ Bode

trữ biên hay không? Nếu không thỏa mãn thì trở lại bước 3

ỉ Chú ý: Trong trường hợp hệ thống phức tạp khó tìm được lời giải

Thí dụ thiết kế khâu hiệu chỉnh trể pha dùng biểu đồ Bode

ỉ Yêu cầu: thiết kế khâu hiệu chỉnh G C (s) sao cho hệ thống sau khi hiệu chỉnh có

.0)(

1(

1

+

s s

;5

)1(α <

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh trể pha dùng biểu đồ Bode (tt)

ỉ Bước 1: Xác định K C

Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh là:

C C

s

C s

s s

s Ts

Ts sK

s G s sG

++

1

1lim

)()(

lim

0 0

⇒

ỉ Bước 2: Đặt G1(s) = K C G(s)

⇒

)15

.0)(

1(

5)

(

1 s = s s + s +

G

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh trể pha dùng biểu đồ Bode (tt)

-20dB/dec

-60dB/dec -40dB/dec

2 1

14

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh trể pha dùng biểu đồ Bode (tt)

ỉ Bước 3: Xác định tần số cắt mới dựa vào điều kiện

θ ω

ϕ ′ = − 0 + Φ * +

Theo biểu đồ Bode ta có: ωC′ ≈ 0.5 (rad/sec)

ỉ Bước 4: Tính α từ điều kiện:

0

1(ωC′ ) = −180 + 40 + 5

ϕ

⇒

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh trể pha dùng biểu đồ Bode (tt)

ỉ Bước 5: Chọn zero của khâu trể pha thỏa:

5.0

005

,0126,

0

11

(

)120

(5)

G C

Kết luận

Thí dụ TK khâu hiệu chỉnh trể pha dùng biểu đồ Bode (tt)

-20dB/dec

-60dB/dec -40dB/dec

2 1

Thiết kế bộ điều khiển PID

Phương pháp Ziegler − Nichols Trường hợp 1

ỉ Xác định thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng nấc của hệ hở

Đối tượng

K

t c(t)

Phương pháp Zeigler − Nichols Trường hợp 1

s T

K s

I

P C

11

)(

R (s)

+

Đối tượngPID

Phương pháp Ziegler − Nichols Trường hợp 1

khiển PID điều khiển nhiệt độ

của lò sấy, biết đặc tính quá

độ của lò sấy thu được từ thực

nghiệm có dạng như sau:

0 150

480

1440 2

1 2

1

T

K P

sec 960 480

024

0 ) (

150

=

K

sec 1440 min

24

T

sec 480 min

8

T

Phương pháp Ziegler − Nichols Trường hợp 2

ỉ Xác định thông số bộ điều khiển PID dựa vào đáp ứng của hệ kín ở biên giới ổn định

Phương pháp Ziegler − Nichols Trường hợp 2

s T

K s

I

P C

11

)(

R (s)

+

Đối tượngPID

Phương pháp Ziegler − Nichols Trường hợp 2

quay của động cơ DC, biết rằng nếu sử dụng bộ điều khiển tỉ lệ

thì bằng thực nghiệm ta xác định được khi K=20 vị trí góc quay động cơ ở trạng thái xác lập là dao động với chu kỳ T= 1 sec

1 1

12 )

=

gh

T

ỉ Theo dữ kiện đề bài

ỉ Theo pp Zeigler – Nichols:

12 20

6 0 6

0 1 125

0 125

Phương pháp giải tích thiết kế bộ điều khiển PID

hệ thống thỏa mãn yêu cầu:

− Hệ có cặp nghiệm phức với ξ=0.5 và ωn=8

− Hệ số vận tốc K V = 100

ỉ Giải: Hàm truyền bộ điều khiển PID cần thiết kế:

s

K s

K K

s

Phương pháp giải tích thiết kế bộ điều khiển PID

ỉ Hệ số vận tốc của hệ sau khi hiệu chỉnh:

)()(

0

K K

s s

G s sG

s

C s

s

K s

K

⇒ s3 + (10 +100K D)s2 + (100 +100K P)s +100K I = 0 (1)

Phương pháp giải tích thiết kế bộ điều khiển PID

ỉ Phương trình đặc trưng mong muốn có dạng:

0)

2)(

(s + a s2 + ξωn s +ωn2 =

0)

648

)(

(s + a s2 + s + =

⇒

064

)648

()

+

=+

a K

a K

a K

I

P D

64100

648

100100

8100

14,12

25.156

D

P

K K a

⇒

Thiết kế bộ điều khiển hồi tiếp trạng thái dùng phương pháp phân bố cực

Điều khiển hồi tiếp trạng thái

ỉ Bộ điều khiển: u ( t ) = r ( t ) − Kx ( t )

( )

)()

(][

)(

t c(t

t r t

t

Cx

B x

BK A

(

)()

()

(

t t

c

t u t

t

Cx

B Ax

x&

ỉ Đối tượng:

Tính điều khiển được

ỉ Ma trận điều khiển được:

(

)()

()

(

t t

c

t u t

t

Cx

B Ax

Phương pháp phân bố cực

Nếu hệ thống điều khiển được, có thể tính được K để hệ kín có cực tại vị trí bất kỳ

(2) sẽ tìm được vector hồi tiếp trạng thái K

0]

det[s I − A + BK = (1)

0)

),1(

, i n

p i = là các cực mong muốn

(2)

Phương pháp phân bố cực

(

)()

()

(

t t

c

t u t

t

Cx

B Ax

4

10

0

01

0

B

ỉ Hãy xác định luật điều khiển sao cho hệ thống kín có cặp cực phức với và cực thứ ba là cực thực tại −20

10

;6,

= ωnξ

)()

()

(t r t t

Phương pháp phân bố cực

ỉ Phương trình đặc trưng của hệ thống kín

0 ] det[s I − A+ BK =

ỉ Phương trình đặc trưng mong muốn

0 )

2 )(

20 (s + s2 + ξωn s +ωn2 =

1 3 0

3 7

4

1 0

0

0 1

0

1 0 0

0 1 0

0 0 1

k s

⇒

(1)0

) 12 10

4 ( )

21 10

3 7 ( )

3 3

s

⇒

Phương pháp phân bố cực

ỉ Cân bằng các hệ số của hai phương trình (1) và (2), suy ra:

=

−+

+

=+

+

200012

104

34021

103

7

323

3

2 1

3 2

1

3 2

k k

k k

k

k k

ỉ Giải hệ phương trình trên, ta được:

17

839,

3

578,

220

3 2 1

k k k

=

K

ỉ Kết luận