Tài liệu Chuyên đề luyện thi ĐH phần tích phân pptx

Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồngd P DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ TRỊN XOAY.. Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn HoàngBài 9... Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ

Trang 1

Chuyên đề tích phân & ứng dụng ồ Văn Hoàng

1 Bảng nguyên hàm của các hàm số.

2 Các phương pháp tính tích phân:

a) Phương pháp đổi biến số:

* Loại 1:







 a x dx ,



 dx

a x

đặt x = asint

 Dạng: 2 2



x dxa đặt x = atant, 2 2



 ax b dx c đặt ax b ctant

* Loại 2: b ( ( )) '( )

a

f u x u x dx Đặt t = u(x).

+ Nhiều khi phải biến đổi mới xuất hiện u’(x)dx

+ Ta cũng có thể biến đổi: b ( ( )) '( ) b ( ( )) ( ( ))

f u x u x dx f u x d u x

b) Phương pháp tích phân từng phần:

 Dạng: b ( ) sin ,

a

P x xdx b ( ) cos ,

a

P x xdx b ( ) x ,

a

P x e dx

Đặt u = P(x), dv = sinxdx (dv = cosxdx, dv = exdx)

Đặt u = x, dv = 2

cos

dx

x hoặc dv = 2

sin

dx

x.

3 Một số tích phân thường gặp:

a) Tích phân hữu tỉ: ( )

( )



b

a

P x dx

Q x P(x), Q(x) là các đa thức.

+ Nếu bậc P(x) bậc Q(x) chia P(x) cho Q(x)

+ Nếu bậc của P(x) < bậc Q(x) dùng phương pháp đổi biến hoặc

phương pháp hệ số bất định

b) Tích phân chứa các hàm số lượng giác

+ Nắm vững các công thức biến đổi

c) Tích phân hồi quy:

 Dạng b xsin ,

a

e xdx b xcos

a

e xdx

Đặt u = sinx (u = cosx), dv = exdx Tích phân từng phần 2 lần

 Dạng: sin(ln ) , cos(ln ) b b

x dx x dx

Đặt u = sin(lnx)(u=cos(lnx)), dv=dx Tích phân từng phần 2 lần

d) Tích phân hàm số chẵn, lẻ:

Nếu y = f(x) liên tục trên đoạn [-a; a] và:

+ y = f(x) chẵn thì

0





a

f x dx f x dx

+ y = f(x) lẻ thì: ( ) 0





a

a

f x dx

e) Tích phân dạng ( )

1



 x

f x dx

a trong đó f(x) là hàm số chẵn.

Cách giải: Tách thành 2 tích phân :

0

Xét tích phân

0

( ) 1



 x

f x dx

a đổi biến số x = -t.

Kết quả ta được

0

( )

( ) 1









f x

dx f x dx

f) Tích phân dạng:

(  )  ( )

f a x dx f x dx trong đó f(x) là hàm

số liên tục trên [0; a]

Đổi biến x = a - t

Bài 1: Tính tích phân

2





HD: Đặt t = x 2

+ 1 hay x = tant ĐS I =1/2(1-ln2).

ln 3

3





e

HD: Đặt t = mẫu đưa về dạng 

b

a

u du ĐS I 2 1

0

1



 x 

I x e x dx

HD Tách thành 2 tích phân ĐS I=3/4e -2

- 4/7 Bài 4: Tính tích phân

2

0

1 cos sin cos



 

HD: t =61 cos 3x cos 3

x = 1- t 6

ĐS I =12/91

2 3 2 5

1







x x

HD: nhân tử và mẫu với x rồi đặtt x24 ĐS I=1/4.ln5/3

4

01 cos 2







x

HD:Đưa về dạng tích phân từng phần ĐS I =  /8-1/4.ln2 Bài 7: Tính tích phân

1

0

1

I x x dx ;

1

0

1

J x x dx

3

2 4

cos 1 cos







HD: Biến đổi về dạng









3

4

tg

x

x x .Đặt t 1 tg  2x

Bài 9 :Tính tích phân :

2



Đặtt x  1 t2      x 1 x t2 1 dx 2tdt x   1 t 0;x   2 t 1

2

1

0

Bài 10:Tính tích phân :

2

0

sin 2 sin

1 3cos









2

2 1

1

2

tdt

t







2

1

Bài 11 : Tính tích phân :

2

0

sin 2 cos 4sin

x







2

3

tdt

t



 

Trang 2

Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hồng

d P

DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG-THỂ TÍCH CỦA VẬT THỂ

TRỊN XOAY.

1) Miền (D) giới hạn bởi các đường : y = f(x); y = g(x);

x = a; x = b cĩ diện tích: SD=b ( ) ( )

a

f x g x dx

2) Miền (D) giới hạn bởi các đường: y=f(x);y=0;x=a;x=b khi

quay quanh trục Ox nĩ tạo ra vật trể trịn xoay cĩ thể tích :

VOx=b 2( )

a

f x dx

3) Miền (D) giới hạn bởi các đường: x=f(y);x=0;y=a;y=b khi

quay quanh trục Oy nĩ tạo ra vật trể trịn xoay cĩ thể tích :

VOy=b 2( )

a

f y dy

Vd 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

x = 1, x = 2, trục Ox và đường cong

 3 

1 1

y

x x





2

1

3

1

1 '

x x

x

 





ln 2 ln 9

Ví dụ 2 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các

đường : x + y = 0 và x2– 2x + y = 0

2

Diện tích cần tìm giới hạn bởi 2 đường : , 2

Phương trình hoành độ giao điểm của 2 đường là :

Vậy S   x x  x dxx  x dx  x   x  x

2

x x

S x x dx       đvdt



Ví dụ 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

1 0

Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : 1 1

0

1

0;1 , ta luôn có 0, vậy

x

x e e

x

e e

S e x e x dx x e e dx

Đặt

dv e e dx

  





0

v e e dx ex e







Ví dụ 4: Cho parabol (P) : y = 3x2 và đường thẳng (d) qua

M(1;5) cĩ hệ số gĩc là k

Tìm k để hình phẳng giới hạn bởi (P)

và (d) cĩ diện tích nhỏ nhất

2

5 2

5

3 3.18

B B

x x

kx

k







3

2

min

54



Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường :

y = x2, trục Ox, tiếp tuyến tại điểm M cĩ hồnh độ bằng 3

2

tiếp tuyến tại điểm M là : '

0

6 9

6

y









9 2

0

9

2

y



Ví dụ 6: Tính thể tích của vật thể trịn xoay sinh ra bởi phép quay xung quanh trục Ox của hình phẳng giới hạn bởi trục

Ox và đường y xsin 0x  x 

2

0 0

Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : x sin 0

Ox

x x

x

x x



      



  3 0

1

2

du dx

u x Đặt

x



 



Ví dụ 7: Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường : y = xlnx ,

y = 0 , x = e Tính thể tích của khối trịn xoay tạo thành khi

1

1 3 2

Pt hoành độ giao điểm của 2 đường là : ln 0

2 ln

3

Ox

x loại

x x

x

dv x dx v x dx

 











3 2

2

3 3 I

3

2 2

1

3

ln

2 2. 1

Ox

Đặt u x du dv x dx v x dx

x

e







2

hoành độ giao điểm của (P) và (d) :

6

12 60 0, ( ) luôn cắt (P) ở A và B.

6

A

B

Pt

k x

 



 





Trang 3

Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng 2005

Bài 1 ĐH, CĐ Khối A – 2005

2

0

sin 2 sin

1 3cos









34 27

Bài 2 ĐH, CĐ Khối B – 2005

2

0

sin 2 cos

1 cos







Bài 3 ĐH, CĐ Khối D – 2005

2

sin

0

cos cos



 x

4



 

e

Bài 4 Tham khảo 2005

7

3

0

2 1







 x

141 10

3

2 0

sin





I xtgxdx KQ: ln 2 3

8



4

sin 0

.cos



I tgx e x dx KQ:

1 2

ln 2e 1

2

1

ln

e

9e 9

Bài 8 CĐ Khối A, B – 2005

1

0

5



Bài 9 CĐ Xây Dựng Số 3 – 2005

3

1

3





  

Bài 10 CĐ GTVT – 2005

1

0

1

105

Bài 11 CĐ Kinh Tế Kỹ Thuật I – 2005

2

3

0

sin 5



 x

3 2

34





e

Bài 12 CĐ Tài Chính Kế Toán IV – 2005

3

0

1

105

Bài 13 CĐ Truyền Hình Khối A – 2005

2 4

0

1 2sin

1 sin 2









1

ln 2 2

Bài 14 CĐSP Tp.HCM – 2005

0

2





I

3 18



Bài 15 CĐ KT-KT Cần Thơ – 2005

2

1

ln

e x

2 1

e

Bài 16 CĐSP Vĩnh Long – 2005

7

3

0

1







46 15

Bài 17 CĐ Bến Tre – 2005

2

0

cos 3 sin 1







Bài 18 CĐSP Sóc Trăng Khối A – 2005

2 3 2

2

; sin 2 cos sin 2 cos cos

2





KQ:

ln 2 3





 

I J

Bài 19 CĐ Cộng Đồng Vĩnh Long – 2005

1

ln

e

2

1 4



e

Bài 20 CĐ Công Nghiệp Hà Nội – 2005

2

4

0

sin



 

2

4 2

 

Bài 21 CĐSP Hà Nội – 2005

2 0

4









Bài 22 CĐ Tài Chính – 2005

 

1 3





I x

KQ: 1

8

Bài 23 CĐSP Vĩnh Phúc – 2005

2





I

KQ:

6



Bài 24 CĐSP Hà Nội – 2005

2004 2

0

sin









Bài 25 CĐSP KonTum – 2005

3 2

0

4 sin

1 cos







2006

2

0

sin 2 cos 4 sin







KQ: 2

3

6



I

ln

212

 

1

2 0

2

5 3 2

 e

Bài 4 Tham khảo 2006 2 

0

1 sin 2



 

4



Bài 5 Tham khảo 2006 2 

1

2 ln

 

I x x dx KQ: 5 ln 4

4

ln 5



dx I

3 ln 2

10



I

1

3 2 ln

1 2 ln







2

Trang 4

Chuyên đề tích phân & ứng dụng Hồ Văn Hoàng

Bài 9 CĐ KTKT Công Nghiệp II – 2006

1

2

0

ln 1

2



Bài 10 CĐ Cơ Khí – Luyện Kim – 2006

 

2

2 1

ln 1

3 3ln 2 ln 3 2



Bài 11 CĐ Nông Lâm – 2006

1

2 0

1

3



Bài 12 ĐH Hải Phòng – 2006

1 2

01





x KQ:

1

ln 2 2

Bài 13 CĐ Y Tế – 2006

2

4

sin cos

1 sin 2









Bài 14 CĐ Tài Chính Kế Toán – 2006

3

2 0

14 ln14 5 ln 5 9

Bài 15 CĐ Sư Phạm Hải Dương – 2006

2

3 0

cos 2





1 32

Bài 16 Hệ CĐ – ĐH Hùng Vương – 2006

 

4

0

1 cos



 

8

 

Bài 17 CĐ KTKT Đông Du – 2006

4

0

cos 2

1 2 sin 2







1

ln 3 4

Bài 18 CĐ Sư Phạm Quảng Bình – 2006





e

3



Bài 19 CĐ Sư Phạm Quảng Ngãi – 2006

3 2

0

4 sin

1 cos







Bài 20 CĐ Sư Phạm Trà Vinh – 2006

4

2



 x

2 ln



Bài 21 CĐ Bán Công – Công Nghệ - Tp.HCM – 2006

3

1

3





  

Bài 22 CĐ Sư Phạm Tiền Giang – 2006

9

3

1

 

7



Bài 23 CĐ Bến Tre – 2006

3

1

1 ln

  

e x

3

9e 18 Bài 24

1

0

2

3 3 2 2

0

2 1 cos



 

2

1

 

 

0

1

 x 

I x e x dx KQ:

2

1

4 14

e

Bài 27 CĐ KT-KT Công Nghiệp I – 2006

2

0

sin 3

2 cos 3 1







Bài 28 CĐ KT-KT Công Nghiệp II – 2006

1

2 0

ln 1

2



Bài 29 CĐ Xây dựng số 2 – 2006

2

1

1 5







x x

32

10 ln 3

3 

Bài 30 CĐ Xây dựng số 3 – 2006

1

3 0

cos sin

 

I x x x dx KQ: 5

4

Bài 31 CĐ GTVT III – 2006

2

0

cos

5 2 sin







x KQ:

ln

2

0

Bài 32 CĐ Kinh tế đối ngoại – 2006

4 8 0

1



 

105

Bài 33 CĐSP Hưng Yên - Khối A– 2006

4 2 3





Bài 34 CĐSP Hưng Yên - Khối B– 2006

3 6

0

sin 3 sin 3

1 cos 3









1 1

ln 2

6 3

 

Bài 35 CĐSP Hưng Yên - Khối D 1 , M– 2006

1

ln 2 ln

3 3 2 2

Bài 36 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối A – 2006

4

0

cos sin



2

Bài 37 CĐ Bán công Hoa Sen – Khối D – 2006

4

0

cos 2

1 2 sin 2







1

ln 3 4

Bài 38 CĐSP Trung Ương – 2006

2

0

sin sin 2





3

Bài 39 CĐSP Hà Nam – Khối A – 2006

 

1 2





4 1 ln

34

Bài 40 CĐSP Hà Nam – Khối M – 2006

2 2 1

cos





2

2 4

 

Bài 41 CĐSP Hà Nam – Khối A (DB) – 2006





I



Bài 42 CĐKT Y Tế I – 2006

2

4

1 sin 2

x









Trang 5

Bài 43 CĐ Tài Chính Hải Quan – 2006

 

3

4

ln

sin 2



 tgx

2

1

ln 3 16

Bài 44 CĐ Kĩ thuật Cao Thắng – 2006

2

3 2 0

sin 2 1 sin



4

Bài 45 CĐKT Tp.HCM Khóa II - 2006

0

ln

e x

Bài 46 CĐCN Thực phẩm Tp.HCM – 2006

1

2

0

1







Bài 47 CĐ Điện lực Tp.HCM – 2006

7

3

0

2







 x

46 15

Bài 48 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối A– 2006

4

2



 x

2 ln



Bài 49 CĐ Kinh tế công nghệ Tp.HCM Khối D 1 – 2006

2

1

4 1 ln

 

Bài 50 CĐSP Hà Nội Khối D 1 – 2006

3

6sin sin

3





  

I

KQ: 2 ln 2

2007

Bài 1 ĐH, CĐ khối A – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

 1 , 1 

2

e

Bài 2 ĐH, CĐ khối B – 2007

Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường yxlnx ,

0 ,

y y e Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi

27

 e 

Bài 3 ĐH, CĐ khối D – 2007

1

ln

e

I x x dx KQ:

4

32



e

Bài 4 Tham khảo khối A – 2007

4

0



Bài 5 Tham khảo khối B – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

 

2

1

0 à

1





x x

y v y

1

ln 2 1

 

Bài 6 Tham khảo khối B – 2007

2 3



Bài 7 Tham khảo khối D – 2007

 

1

2

0

1

4



3

1 ln 2 ln 3

2

Bài 8 Tham khảo khối D – 2007

2 2 0

cos



2

2 4

 

Bài 9 CĐSPTW – 2007

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường có phương

2

y x ; yx; x 1; x0 KQ: 7

6

Bài 10 CĐ GTVT – 2007

3 2

0

4 cos

1 sin





dx

Bài 11 CĐDL Công nghệ thông tin Tp.HCM – 2007

7 3

2 1



 x dx

231 10

Bài 12 CĐ Khối A – 2007

2007 1

2 1 3

1

  

x

2008



Bài 13 CĐ Cơ khí luyện kim – 2007

 2 1

ln

27 e 

Bài 14 CĐSP Vĩnh Phúc – 2007

4

2 1

sin



1

384 32 4

  

Bài 15 CĐ Khối B – 2007



cos

 

y x x , x0, x KQ:

2



Bài 16 CĐ Khối D – 2007

0

2

1





Bài 17 CĐ Dệt may thời trang Tp.HCM – 2007

3

3 1

3 12



Bài 18 CĐ Hàng hải – 2007

3

1



x x dx KQ: 14 3

5

Bài 19 CĐ Kinh tế kĩ thuật Thái Bình – 2007

0 2 1

1



e

Bài 20 CĐ Công nghiệp Phúc Yên – 2007

1

0

xe dx KQ: 1

2008

4 6

0cos 2



 tg x dx

ln 2 3

4

0

sin 4 sin 2 2 1 sin cos

4



2 3 1

ln

dx

3 2 ln 2 16



Bài 4 CĐ Khối A, B, D – 2008

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol

:   4

P y x x và đường thẳng d y: x KQ: 9

2 (đvdt)

Trang 6

Một số bí quyết tìm nguyên hàm và tích phân

Dùng biến đổi vi phân tìm nguyên hàm

Các tính chất của nguyên hàm các bạn có thể đọc trong sách giáo

khoa Chỉ lưu ý tính chất đậm nét quan hệ giữa nguyên hàm và vi

phân:d F x ( )F x( )C

Từ đó, bằng các phép biến đổi vi phân, các bạn dễ dàng tìm được

nguyên hàm Xem lại các bài tự luyện và đáp án ở số này để theo

dõi các thí dụ (các biến đổi vi phân trung gian đã lược bớt để cho

gọn bài viết)

Thí dụ 1: Tìm nguyên hàm

2 1  5

s inx.cos x

 dx 3. ln x dx x

2x 1 x  x 5 dx x  x 5 d x  x 5

8 x  x C

2.sinx.cos x.dx7 = ( os x).d(cosx)= d - os x7 1 8 - os x+C1 8

3 ln ln (ln ) 1ln2

2

Thí dụ 2: Tìm nguyên hàm

1 sin 3 os2x.dxx c 2

1



1



 x dx x

1. sin3 os2x.dx 1 sin 5 s nx

2

x c   x i dx

d  c 



= 1 os5x -1 osx + C



2

d x

dx

x x  x 

  d2 ln x  1 x 2 ln x  1 xC

1

1 2

d x



4



 2

Thí dụ 3: Tìm nguyên hàm 1.

s inx

 dx

cos x

 dx

1.

2

dx

x c x tg c x x

2

x

d tg

x

tg

   

 

d tgx

3

tg x d tgx d tgx tg x

3

tgx tg x C

2 Dùng đổi biến đặc biệt để tính tích phân.

Nhiều khi các bạn muốn tính tích phân b ( )

a

f x dx mà không thể

tìm nguyên hàm của f(x) Có nhiều con đường xử lí, nhưng xin

gợi ý một cách đổi biến đặc biệt, đặt t = a + b – x

Thí dụ 1: Tính

1

1 2



  

x

Đặt t = -x  x = -t  dx = - dt Đổi cận: x = -1  t = 1 và x = 1  t = -1.

1



=

1 1

1 2

1 2t dt I I t





 Thí dụ 2: Tính

2

 x

x dx

Đặt t = -x  x = -t  dx = - dt Đổi cận x = -2  t = 2 và x = 2  t = -2

t dt t dt

2 1 1

2

t t

t dt



2

.

3

t dt



Thí dụ 3: Tính

2

0

s inx

sinx osx





t  v x  t

Do đó:

2

t dt



   

Vì I + J =

2 0

sinx.

dx c





2 0

osx.

c dx c





2 0

1

0



 



Thí dụ 4: Tính

0

.s inx.sin3x.dx



x

Đặt t = − x x = − t dx = − dt Đổi cận: x = 0  t = , x =   t =0

Do đó:

0



0 sin sin3

t t t dt





 =

sin sin3 t t dt t.sin sin3 t t dt

0 os2t-cos4t





0



CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH TÍCH PHÂN

Các bạn cần nắm chắc các phương pháp được trình bày dưới đây

1 Sử dụng định nghĩa (định lý Newton - Leibnitz)

 Định lý : Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên [a ; b] và F(x)

là một nguyên hàm của f(x) thì

( )  ( )  ( ) ( )

a a

f x dx F x F b F a

 Chú ý : Giả thiết y = f(x) liên tục trên [a ; b] là điều kiện bắt

buộc phải có để được sử dụng định lý Nhiều bạn cứ tưởng có được F(x) là tính được tích phân Chẳng hạn, có bạn viết :

3

3 4

4

0

cos

1 ( ) cos



f x

x không

xác định tại 0;3

  

   

x nên I không tồn tại.

Thí dụ 1 : Tính

7 3 3 0

( 1)







I

x (ĐH Ngoại ngữ HN-1999)

3

1 [(3x 1) 2]dx 1 [(3x 1) 2(3 1) ]d(3x 1)

x



 



7

0

1



I

x x (ĐH Ngoại thương HN-1999)

Trang 7

1

0

x



Chú ý : Khi gặp các hàm số có chứa dấu trị tuyệt đối thì cần tách

cận tích phân để khử dấu trị tuyệt đối

3 2 1

2



I x x x dx

I x x x dx x x x dx x x x dx x x x dx

x x x dx x x x dx x x x dx



2 Phương pháp biến đổi số :

Nếu t = u(x) đơn điệu trên [a ; b] thì

( ) b

( )

[u(x)].u'(x)dx ( )

4 2





I

x x

(Học viện KTQS - 1999)

Đặtt 1

x

t

 

7

t ; x = 4  1

4

t

Do đó :

1

7

2

4 4

7







x dx

I (Đề Học viện BCVT - 1999)

Đặt t =  x  x =  t  dx =  dt.

Đổi cận : x =  1  t = 1 ; x = 1  t =  1 ta có :

t



5

I

Chú ý : - Để tính b ( )

a

f x dx không nhất thiết phải tìm nguyên

hàm F(x) của f(x)

- Cách tích phân dạng ( )

1



g x dx

a với a > 0 và g(x) là hàm số

chẵn, đều làm như trên

1

2 ln 2





dx x

Đặt t = - x thì dx = - dt Với x = -1 thì t = 1, với x = 1 thì t = -1.Do đó :

-1

Chú ý : + Tích phân trên một miền đối xứng của một hàm số lẻ

luôn bằng 0

+ Tích phân không phụ thuộc ký hiệu đối số :

f x dx f u du f t dt =

01 s inx





dx

Đổi biến số u =    x x  u Ta có : x   0 u ;x   u 0.

Mặt khác : dx = -du.

0

u



2

u



2 4 0

u

tg  

Chú ý : Nếu gặp tích phân b ( )

a

f x dx mà tính mãi không được,

các bạn nên nghĩ đến phép đổi biến số u = a + b - x Các thí dụ trên cũng chứng tỏ phép đổi biến này khá có tác dụng

Thí dụ 8 : Cminh rằng : Nếu f(x) là hàm số liên tục, tuần

hoàn với chu kỳ T thì với mọi a ta có :

0





a

f x dx f x dx

Ta có a T ( ) T ( ) a T ( )

f x dx f x dx f x dx

T

J  f x dx,

đặt u = x - T  x = u + T  dx = du.Đổi cận : x = T  u = 0 ; x = a + T  u = a,

do đó :

Jf u T du f u duf x dx.Thay vào (*) ta có đpcm.

Chú ý : Có thể áp dụng kết quả trên để tính các tích phân của

hàm số tuần hoàn

2007

0

s inx



Chứng minh dễ dàng hàm số y = sinx là hàm số tuần hoàn với chu kỳ là

Do đó :

0

3 Sử dụng công thức tích phân từng phần :

Ta có : b  bb

a

udv u v vdu

Nguyên tắc chọn u, v các bạn tương tự như khi sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần, chỉ lưu ý thêm có khi các bạn phải kết hợp với phương pháp đổi biến :

2

0

sin





I xdx (Đề ĐH Đà Lạt - 1999)

Đặtt x x t 2  dx = 2tdt Đổi cận x = 0  t = 0 ;x2  t =  nên :

0

I  t tdt   t d t   t t  tdt

Thí dụ 11 : Tính I =

1 5 0

x e dx

Giải : Xét

1 0

n x n

I x e dx Đặtu x ndu nu n1;dv e dx x  v e x Theo công thức tích phân từng phần ta có :

1

I x e dx udv uv vdu x e n x e dx e nI



với mọi n nguyên và n >1.Ta có :

1

I x e dx xe e dx e e  

Chú ý : Bài trên thay vì làm nhiều lần tích phân từng phần tương

tự nhau, ta làm một lần tổng quát rồi áp dụng lần lượt cho

n = 2;3;4;5

Trang 8

CÁC BÀI TỐN CHỌN LỌC

1 Tính tích phân :

2 3 2





I

x x

(A – 2003)

2

5

4

3

1 4

4 4

1 ln1 ln1

Đặt t x t x tdt xdx tdt xdx

x x

t









1 5ln

4 3



1

0

1

I x x dx (Dự bị 2A – 2003)

1

t t

1

1 3ln ln

x



3

dx dx tdt

x  t x e  t

I t    t t dt             

Tính tích phân :

ln 5

dx I

e e



5

3

x

t

  



2 0

sin 2 cos

1 cos

x x

x







   

2

2 1

2





2 ln 2 1





2 4

0

1 2sin

1 s 2

x

in x









4

0

1 1

4

x

dt

t



  



3 3 1

dx I

x x





2

4

2

1

t t dt

t t

  



7 Tính tích phân : 2 

sin 0

cos cos

x



x

2 sin 0

0 0

2

cos

1 4

x

Vậy I A B e



 



    



8. Tính tích phân :

1 2 0

1

I x dx

2 2

Khi a x x a t t    

2 2

x t t     dx tdt

2

x  t  t x  t  t 

2

t





1 2

01

dx I x







1

2 2

a x

 

2

2 2

4 1

Đặt x tgt t dx tg t dt

tg t dt

tg t

 



 



 



1 2

dx I

x x



 



1

2 2

2 0

3 2

2

6

2

dx

x

tg t dt

tg t



 





Trang 9

11 Tính tích phân : 3  2 

2

ln

I x x dx (D – 2004)

     

2

3 2

ln

Đặt :

x-1

x x-1

=3ln6-2ln2- 2x+ln x-1 =3ln6-2ln2- 6+ln2 -4 =-2+3ln6-3ln2=-2+3ln3

x

x x





12 Tính tích phân : 1  2

0

2 x

I x e dx (D – 2006)

0

du=dx

u=x-2

2





4

01 cos2

x







1

4

1 0

cos '

x



1 ln2

8 4

14 Tính tích phân : 2

1 3 0

x

Ix e dx (Dự bị 1 D – 2003)

 

2

1

0

1

1 1

2

dt

I x e xdx te te dt I

dv e dt v e



2

0

sin

I x xdx (Dự bị 1 D – 2004)

2

1 0

2

Đặt t x x t dx tdt

2

0

2

sin

du tdt

u t

Đặt

dv tdt

I t t   t tdt  I

 



1

' '

' cos

du dt

u t

Đặt

dv tdt



 



2 2 0

Ix x dx (D – 2003) Giải phương trình x 2

– x = 0, ta được x = 0 V x = 1

x 2

Vậy I x x dx x x dx   

2 0

1 4

x x

x

 





2

2 2

 

1 4

t  t 

4 4

dt

 2

2

ln 2

4 4

tg t dt

tg t

18 Chứng minh rằng :

1 3 1

dx x







3

x



2

4

5

3 2sin





2

4 2

2 4

; , ta có :

4 2

5

3 2sin

x



 



0

1

x dx



2 2

0

x x

x dx



4

3

1 cos2





  

2

-3

I= 2sin xdx= 2 sinx dx= 2 sinx dx+ sinx dx = 2 sinxdx- sinxdx

2

22 Tính tích phân : 2  

2 1

6

x

x x





 



Trang 10

2

có :

Ta

2 2

1 1

6 ln 2 -2 ln 2 -3ln3 4 ln 2 -3ln3



23 Xác định các hằng số A, B sao cho :

1

x dx x





1

x

1

2 0

1

x







2

1

0

1 1

1

xdx

x

tdt

t







1 1





25 Tính : e2ln ln ln 

e

x



 

2 2

2

1

ln

3

2 ln 2 2 1 2 ln 2 1 2 ln 2

2

dx

x

t

dt

dv dt v t

I

 







1

2

  

3 2 2 6

cos sin

x



 (Sở GĐ TP 2004−2005)

         

π

2

1

2

1-t dt

6

x dx I

x







 

2

0

2

1 1

0

9

x dx

x

t

  





28 Cho

sin x ; J cos x sin x+cos x sin x+cos x

Tính I bằng cách đặt

2

t  x

 

3

2

2 2 0

0 2

2 sin

Ngoài ra :

Đặt t x dt dx

t



  



 



3

4 sin cos

dx I





2

4

4 4

cos

dx

x

Vậy I

t



30 Tính tích phân : 1  

0

sin

I  x dx

 

1 2

0

1

0 0

2 2

1

du dt

u t Đặt



  

 



2

0

sin 2

x







2

0

2 2

1

2 2

xdx

t t

t







0

sin x

I xe dx

0 0

1

2

dv e dx v e

e







33 Giải phương trình :

2 0

x

t  tdt x

1

1 ln ln 4

Tiêu đề	Tài liệu Chuyên đề luyện thi ĐH phần tích phân pptx
Tác giả	ồ Văn Hồng
Trường học	Trường Đại Học
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	14
Dung lượng	531,58 KB