Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B; bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn bội lẻ : đổi dấu; qua nghiệm kép bội chẵn : không đổi dấu.. Với bất phương trình
Trang 1Chuyên đề đại số ồ Văn Hoàng
KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Chuyển vế :
a + b = c a = c – b; ab = c
0 0 /
b
;
a/b = c
0
b
a b a b;
a b a b;
2 2
0
n
a
a
0, 0 0 /
;
0 /
b c b
a c b
a b c a c b ab c
b
a c b
2 Giao nghiệm :
;
p G
G
a < x < b(neáu a < b)
VN (neáu a b)
Nhiều dấu V: vẽ trục để giao nghiệm
3 Đổi biến :
a Đơn giản:
2
0, x 0 , log
a
b Hàm số : t = f(x) dùng BBT để tìm điều kiện của t Nếu x
có thêm điều kiện, cho vào miền xác định của f.
c Lượng giác:t = sinx, cosx, tgx, cotx Dùng phép chiếu
lượng giác để tìm điều kiện của t
d Hàm số hợp : từng bước làm theo các cách trên
4 Xét dấu :
a Đa thức hay phân thức hữu tỷ, dấu A/B giống dấu A.B;
bên phải cùng dấu hệ số bậc cao nhất; qua nghiệm đơn (bội
lẻ) : đổi dấu; qua nghiệm kép (bội chẵn) : không đổi dấu
b Biểu thức f(x) vô tỷ : giải f(x) < 0 hay f(x) > 0
c Biểu thức f(x) vô tỷ mà cách b không làm được : xét tính
liên tục và đơn điệu của f, nhẩm 1 nghiệm của pt f(x) = 0,
phác họa đồ thị của f , suy ra dấu của f
5 So sánh nghiệm phương trình bậc 2 với :
f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a 0)
* S = x1 + x2 = – b/a ; P = x1x2 = c/a
Dùng S, P để tính các biểu thức đối xứng nghiệm Với đẳng thức
g(x1,x2) = 0 không đối xứng, giải hệ pt: 1 2
1 2
0
g
Biết S, P thỏa S2– 4P 0, tìm x1, x2 từ pt : X2– SX + P = 0
Dùng, S, P để so sánh nghiệm với 0 : x1 < 0 < x2 P < 0,
0 < x1 < x2
0 0 0
P S
; x1 < x2 < 0
0 0 0
P S
6 Phương trình bậc 3 : ax3 + bx2 + cx + d = 0
a Viet : A = x1 + x2 + x3 = – b/a ,
B = x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a , C = x1.x2.x3 = – d/a
x1, x2, x3 là 3 nghiệm phương trình : x3– Ax2 + Bx – C = 0
b Số nghiệm phương trình bậc 3 :
x = f(x) = ax2
+ bx + c = 0 (a 0) :
3 nghiệm phân biệt 0
( ) 0
f
2 nghiệm phân biệt 0 0
= 0 < 0 hay
f = 0
7 Bất phương trình, bất đẳng thức :
Ngoài các bất phương trình bậc 1, bậc 2, dạng cơ bản của
, , log, mũ có thể giải trực tiếp, các dạng khác cần lập bảng xét dấu Với bất phương trình dạng tích AB < 0, xét dấu tích A.B
Nhân bất phương trình với số dương : không đổi chiều;
số âm: có đổi chiều (Chia bất phương trình : tương tự)
Chỉ được nhân 2 bất pt vế theo vế , nếu 2 vế không âm
Bất đẳng thức Côsi : a, b 0 :
2
a b
ab
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b
a, b, c 0 : 3
3
abc
Dấu = xảy ra chỉ khi a = b = c
Bất đẳng thức Bunhiacốpxki : a, b, c, d (ac + bd)2 (a2
+ b2).(c2 + d2); Dấu = xảy ra chỉ khi a/b = c/d
8 Bài toán tìm m để phương trình có k nghiệm :
Nếu tách được m, dùng sự tương giao của (C) : y = f(x) và (d) : y = m Số nghiệm bằng số điểm chung
Nếu có điều kiện của x I, lập BBT của f với x I
9.Tìm m để bpt vô nghiệm, luôn có nghiệm, có nghiệm xI Nếu tách được m, dùng đồ thị, lập BBT với x I
f(x) m : (C) dưới (d) (hay cắt); f(x) m : (C) trên (d) (hay cắt)
ủ đề : Hệ phương trình phương trình đại số
1 Hệ phương trình bậc 1 :
Tính : D =
' '
a b
a b , Dx = ' '
c b
c b , Dy = ' '
a c
a c
D 0 : nghiệm duy nhất x = Dx/D , y = Dy/D
D = 0, Dx 0 Dy 0 : VN
D = Dx = Dy = 0 : VSN hay VN (giải hệ với m đã biết)
2 Hệ phương trình đối xứng loại 1 :
Từng phương trình đối xứng theo x, y Đạt S = x + y, P = xy
ĐK : S2– 4P 0 Tìm S, P Kiểm tra đk S2
– 4P 0;
Thế S, P vào pt : X2– SX + P = 0, giải ra 2 nghiệm là x và y (,) là nghiệm thì (,) cũng là nghiệm;
Nghiệm duy nhất = m = ? Thay m vào hệ, giải xem có duy nhất nghiệm không
3 Hệ phương trình đối xứng loại 2 :
Phương trình này đối xứng với phương trình kia Trừ 2 phương trình, dùng các hằng đẳng thức đưa về phương trình tích A.B = 0 Nghiệm duy nhất làm như hệ đối xứng loại 1
4 Hệ phương trình đẳng cấp :
Xét y = 0
Xét y 0 : đặt x = ty, chia 2 phương trình để khử t Còn 1 phương trình theo y, giải ra y, suy ra t, suy ra x Có thể xét x = 0, xét x 0, đặt y = tx
1 Hệ đối xứng I
11 1)
30
11 30
hpt
p s
5; 6 5; 6
ĐS: (2; 3);(3;2);(1;5);(5;1)
Trang 2Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng
2)
30
5; 6 : (2;3); (3; 2) 35
0; 2 (1; 0)
hpt
3
30
125 5 6 KQ: (4;9),(9;4) 3
30
35
p s
5) Cho: 5( ) 4 4
1
a) Tìm m để hpt có nghiệm (HD: Giải hệ S; P ta được S = 4m;
P = 5m −1;ĐK: S2− 4P 0 1 1
4
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ĐS: m = 1/4, m = 1
6) a) Cmr: Hệ 2 2 22 1
x y xy m mcó nghiệm với mọi m.
b) Tìm m hpt có nghiện duy nhất
ĐS: hệ S1, P1vn; 2 2
24 2( 1) 0
b) Hệ có nghiệm duy nhất 2
24 2 0
(m1) 0 1
m Suy ra x = y = 1 Vậy : (1;1)
2 Hệ đối xứng II
3
3
1)
y
x x
y
; 3)
HD:1)
3 3
ĐS: (0; 0), ( 11; 11), ( 11; 11)
2) ĐK:x 0; y 0 Hệ (2 )(2 4) 0
3)Lấy (1) − (2) có 3(x − y)(x + y −1) = 0 y = x hoặc y = 1 − x
Kết hợp (1) khi y = x : (1;1) ; (2;2); khi y = 1 − x VN
4)
2
2
x
y
3 Hệ nửa đối xứng
VD Giải hệ
3
0
x y
3
x y
4
1
2 0
x y
x y
x
+ Ta có I):
3
1
2
2
x y
+ Ta có II) :
1 ( )
x y
x
4 Hệ đẳng cấp
VD Cho hệ phương trình :
2
a) Giải hệ pt` với m = 1; b) Tìm a để hệ có nghiệm Cách 1:
Dễ thấy y = 0 không phải là nghiệm của hpt
Đặt x = ty, ta có : Hệ
4
2 2
2
( 4 1) (1 3 ) 4
2
2
4 1
(1 3 ) 4
t
(I)
Do y 0 nên từ y2
(1 - 3t) = 4 1 - 3t > 0 t < 1
3
a) Với m = 1 ta có hệ :
2
2
(1 3 ) 4
t
kq : (1 ; 4), (-1 ; -4)
b) Ta có :(I)
2 2
4( 4 1) (1 3 ) (1 3 ) 4
2 2
4 (16 3 ) 4 0 (*) (1 3 ) 4
2
−(16−3m)t+4−m
thì hệ có nghiệm (*) có nghiệm thoả mãn t < 1
3.
Ta lại có ( )1 8 0
3 9
af m nên hệ luôn có nghiệm thoả mãn
t1 < 1
3 < t2 Vậy hệ luôn có nghiệm vớim
Cách 2 : Khử một ẩn
Hệ
2
2
4
2
4
y x
(x = 0 thoả mãn hệ khi m = 4)
Với m 4 đặt : f(t) = 2t2
+ (8 - m)t - (4 - m)2 ta có f(0) = -(4 - m)2 < 0 nên phương trình f(t) = 0 luôn có nghiệm
t > 0 hay phương trình (*) luôn có nghiệm vớim
Các bài tập luyện tập :
Bài 1: Một số hệ dạng cơ bản 1) Cho hệ phương trình ( 1)(2 1)2
8
a) Giải hệ khi m=12 b)Tìm m để hệ có nghiệm
2) Cho hệ phương trình
1 1
2
a
HD: Lấy (1) − (2) có (x − y)(2 + 4/xy ) = 0
y = x ; y = −2/x
y = x : (1;1) ; (-1;-1) ;
y = -2/x : ( 2; 2); ( 2, 2)
Trang 3Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng
Tìm a để hệ phương trình có đúng 2 nghiệm phân biệt
3) Tìm m để hệ có nghiệm
1
a) Giải hệ khi m = 6 b)Tìm m để hệ có nghiệm
Bài 2:
2
2
2
2
2 3
2 3
y
y
x
x
x
y
(B 2003)
Bài 3:
Bài 4:
1 (2)
.HD: từ (2) : -1 ≤ x , y ≤ 1 Xét hàm số: 3
3
Bài 5: CMR hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất
2
2
2
2
2
2
a
y
a
x
2
( )2
HD Bình phương 2 vế,đối xứng loại 2
Bài 7:
2
2
( 1) ( 1)
xy y a x xác định a để hệ có nghiệm duy nhất
HD sử dụng ĐK cần và đủ a=8
Bài 8:
2
2
10 20 (1)
HD : Rút ra
2
5
2 5
2
20
20
Bài 9:
2
(KB 2002)
HD: từ (1) đặt căn nhỏ làm nhân tử chung (1;1) (3/2;1/2)
3
x y a Tìm a để hệ có nghiệm
HD: từ (1) đặt u x1,v y2 được hệ dối xứng với u, - v
Chỉ ra hệ có nghiệm thì phương trình bậc hai tương ứng có 2
nghiệm trái dấu.
Bài 10:
1)
2
2)
2
19
x y đặt t = x/y có 2 nghiệm
x x y đặt X=x(x+2) và Y=2x+y
4)
2 (1) 4
đổi biến theo v,u từ ph trình số (1)
5)
6
Đặt x =1/z thay vào được hệ y,z DS (-1/2,3) (1/3,-2)
Chủ đề: Phương trình và bất phương trình phương trình
đại số
1) Bất phương trình bậc hai ; Định lý về dấu của tam thức bậc hai;
Phương pháp hàm số
2) Phương trình, bất phương trình chứa giá trị tuyệt đối
0
;
;
B
3) Phương trình, bất phương trình chứa căn thức
*PT chứa căn thức:
2
0
2
A
* Bất phương trình chứa căn thức:
Ví dụ 1
1) 2
x
x HD: x 1 t t; 0 t 3 :x 2; 4
2x 6x 8 x 1 30 4) 3x2-x3> 9x –2.Chia hai trường hợp : x>3 ; x< 3 5) Giải x22x 3 3x3
Ví dụ 2: Bình phương hai vế :
a) x2 + x 1 1.Hd: pt
0
2
x
x
b)pt: 5x 1 3x 2 x 1 0 ĐK: x ≥ 1 Chuyển vế, bình phương 2 vế : x = 2; x = 2/11( loại ) Vậy x = 2 c) x 9 5 2x4 ĐK x ≥ − 2 Bình phương hai lần ta có :ĐS x = 0
d) 16 x 9 x 7 KQ x: 0; 7
(4x1) x 9 2x 2x1 ĐK x ≥ ¼ Bình phương hai lần ta có :ĐS x = 4/3
Ví dụ 3: Đặt ẩn số phụ :
HD: TH1 x=y suy ra x=y=1 TH2 chú ý: x>0 , y> 0
suy ra vô nghiệm
Trang 4Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng
x x x x Đặt : t = x2− 3x +3 ≥ ¾
Phương trình t t 3 3 t 1.KQ x: 1; 2
Đặt :
2
2
t
ptt2− 3t +2 = 0 t =1 V t = 2 Vn t =1 < x = 0 V x = 1
2x 3 x 1 3x2 2x 5x 3 16
1;
pt t x
x x x x x x
tx x
Ví dụ 4: x 1 3 x (x1)(3x)m
a) Giải pt khi m=2 b) Tìm m để pt có nghiệm
ĐK: −1 ≤ x ≤ 3 Đặt t x 1 3 x 2 t 2 2
(vì a b a b 2(a b ))
2
t
b) Xét f(t) = − t2/2 + t + 2 = m (1)
Lập bảng biến thiên : Tacó : 2 2 2 m 2
Ví dụ 5: 1) x 9 x x2 9xm ĐK 0 ≤ x ≤ 9
Bình phương : Đặt t = x(9x) 0 t 9 / 2
f t t t t m
2
t
x x m m x x
Lập BBT : m >19 VN; m =19: 1 ngh; m< 19 2 ngh
Ví dụ 5:
(2x) (7x) (7x)(2x)3
-Đặt :
3
3
2
7
3 9
u v uv
u v 23
u v uv
u 1;v 2 KQ: x 1;x 6
2) 32 x 1 x1.ĐK : x1
3
1 2
0;1; 2; 1; 0;3
1 1; 0
KQ: 1; 2;10
x
Bất phương trình
(x1)(x3)(x 4x6)m
Tìm m để bất phương trình trên nghiệm đúng với mọi x
HD: sử dụng hàm số hoặc tam thức : m ≤ −2
Bài 2: Tìm a đểx: 2
f x x x a ĐS a≥4Va ≤ 0
Bài 3: Giải các phương trình ,bất phương trình sau
1) 8x26x 1 4x 1 0
2) x 4 1 x 1 2 x ĐS: x = 0
3) 2(x22 )x x22x 3 9 0 ĐS:x 1 5
4) x x2 1 x x2 1 2tích 2 nhân tử bằng 1 suy ra cách giải
(x 3 )x x 3x 2 0 KD 2002
Bài 4: Tìm m để hệ có nghiệm
2
2
10 9 0
Bài 5: Giải bất phương trình 2 x 1 2 x x 2
HD nhân 2 vế với biểu thức liên hợp của VT
Biến đổi về BPT tích Chú ý ĐK
Bài 6: Giải bất phương trình3 3 2 1 7
2 2
x x
HD Đặt 1 , 2
2
x AD BĐT cô si suy ra ĐK
Bài 7: Giải bất phương trình
2
x
x
HD Xét 2 trường hợp chú ý ĐK x ≥ −1
Trong trường hợp x ≥4 tiến hành nhân và chia cho biểu thức liên hợp ở mẫu ở VT
Bài 8: Tìm m để ptrình x 9 x x2 9xmcó nghiệm
HD Bình phương 2 vế chú ý ĐK
Đặt t= tích 2 căn t.Tìm ĐK t Sử dụng BBT suy ra KQ
Bài 9: Giải bất ptrình
2
3
x
Bài tập áp dụng
1)
0
Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất.
Tìmnghiệm duy nhất ĐS a = −1 và a=3 2) Tìm m để bất p trình 4x 2 16 4 xm có nghiệm
b) x12 x 3 2x1
2(1x) x 2x 1 x 2x1
HD: đặt t x22x1 coi là phương trình bậc hai ẩn t.
5) (x1)x (2x x) 2 x2
2
x
7) Cho phương trình x4 x 4 x x 4 m
a) Giải phương trình khi m=6
b) Tìm m để phương trình có nghiệm 8) a)
2
51 2
1 1
x
2
x x x
Chủ đề: PHƯƠNG TRÌNH − BẤT PHƯƠNG TRÌNH
MŨ, LÔGARIT
CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN
1 Định nghĩa và các tính chất của luỹ thừa và lôgarit
2 Tính chất của hàm số mũ, hàm số lôgarit
3 Các phương trình, bất phương trình cơ bản:
Với m > 0, 0 < a 1 thì: ax = m x = logam
ax > m log ; ( 1)
log ; (0 1)
a
a
x 0 với mọi x R
Với mọi số thực m và 0 < a 1 thì:
logax = m x = am logax > m ; 1
m m
MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1) Phương pháp đưa về cùng cơ số
Với 0 < a 1 thì: af(x)
= ag(x) f(x) = g(x);
af(x) > ag(x) f(x) > g(x) nếu a > 1 hay f(x) < g(x) nếu 0 < a <1
logaf(x) = logag(x)
( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
f x
g x
f x g x
Trang 5Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng
logaf(x) > logag(x)
( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
f x
g x
f x g x
; nếu a > 1
logaf(x) > logag(x)
( ) 0 ( ) 0 ( ) ( )
f x
g x
f x g x
; nếu 0 < a < 1
Ví dụ 1 Giải PT: 2x+1 5x = 2.102x+5 (1)
LG: (1) 10x = 102x+5 x = 2x +5 x = - 5.
Ví dụ 2 Giải PT: log3 (2x+1) - 1
3
log (1x) (2)
Đkiện 2x+1 > 0 và 1- x > 0 1 1
2 x (2) log 3 (2x+1)=
1 1 log
1 x
1
1
x
x 2x2 x 0 x=0; x=2(loại) PT có nghiệm duy nhất x = 0.
Ví dụ 3 Giải BPT: log5(4x +144) – 4log52 < 1+ log5(2x-2 +1) (3)
LG: Đkiện: x R
(3) log5(4x +144) < log580(2x-2+1)
4x
-20.2x +64 < 0 4 < 2x
< 16 2< x < 4
Ví dụ 4 Giải BPT:
1
1 1
( 5 2) ( 5 2)
x
x x
5 2 ( 52) , (4) 1
1 1
x
x x
1
x
x
2) Phương pháp đặt ẩn phụ
Ví dụ 5 Giải PT: 3.49x + 2.14x– 4x = 0 (5)
HD: Chia hai vế PT cho 4x rồi đặt t = 7
2
x
2
Ví dụ 6 Giải PT: 5x-53 x = 20 (6)
LG: Đkiện x 0, do phương trình chứa căn, đặt t = 5 x1
(5) t − 125
t − 20 = 0 t2
– 20t −125 = 0 t = −5 (l), t = 25
Ví dụ 7 Giải BPT: 4x– 2.52x < 10x
HD: Chia hai vế cho 10x , ta được
, Đặt t =
2
5
x
t
BPT t2 t 2 0
t
Với đkiện t > 0 ta có 0 < t < 2 2
5
2
5
x
x
(Chú ý do cơ số < 1)
3 log 2xlog x (8) HD: Đkiện 0 < x 1/2 và 1 Đặt t = log2x , t 0
(8) 2
1 1
(1 )
t
t
;
Suy ra tập nghiệm của (8) là : 1 31
; 1; 4
* DạngA a bf x( )B a( b)f x( ) cnếu(a+ b)(a- b)=1, đặt t =a b( )
* Dạng au 2f(x)
+b(uv) f(x)
+cv 2f(x)
= 0, nên chia hai vế cho v 2f(x)
, đặt t =
( )
u v
3) Phương pháp logarit hoá
Ví dụ 9 Giải PT:3 8 2 6
x
x x (9) LG: Đkiện x -2 Lôgarit cơ số 3 hai vế ta có
3
2 log 2 3
x
x = 1 hoặc x = − (1+log32)
Ví dụ 10 Giải BPT: log 2 4
32
x
x (10) Đkiện x > 0 LG: Lấy logarit cơ số 2 hai vế ta có : (log2x +4)log2x < 5, Đặt t = log2x
PT t2+4t −5 < 0−5 < t < 1−5 < log2x < 1 2-5 < x < 2
4) Phương pháp sử dụng tính chất của hàm số
a > 1, thì af(x) > ab f(x)>b ; logaf(x) > logab f(x) > b >0 0<a<1, thì af(x) > ab f(x)<b ; logaf(x) > logab 0<f(x) < b
Ví dụ 11 Giải PT: 3x = 3 – log5x (11) LG: Ta có x = 1 là một nghiệm của phương trình (11) Với x > 1 thì 3x > 31 = 3 và - log5x < log51 = 0 3x > 3 – log5x Với x < 1 thì 3x < 31 = 3 và - log5x > log51 = 0 3x < 3 – log5x Vậy x =1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Ví dụ 12 GPT: 3x + 2x = 3x +2 LG: Dễ thấy rằng PT có nghiệm x = 0 , x = 1
(PT không có nghiệm duy nhất) Xét hàm số: f(x) = 3x + 2x– 3x+2 ta có : f’(x) = 3xln3 + 2xln2 – 3 f’’(x) = 3xln23 + 2xln22 > 0Rhàm số đồng biến trên R Mặt khác hàm số f’(x) liên tục trên R và f(-1).f(1) < 0 PT f’(x)=0 có nghiệm duy nhất x0(-1; 1) Ta có bảng biến thiên:
Dựa vào bảng biến thiên ta
có phương trình có không quá 2 nghiệm
Vậy nghiệm của phương trình là: x = 0; x = 1
5) Hệ phương trình, hệ bất phương trình mũ và lôgarit
Chú ý : Ta cũng dùng các phương pháp giải hệ phương trình , hệ bất phương trình như đối với hệ hữu tỉ đã biết và kết hợp với các phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ và lôgarit
để giải hệ PT, Hệ BPT mũ và lôgarit
Ví dụ 13 (ĐH K B-2005) Giải HPT:
3log (9 ) log 3 (2)
(2) 3(1+ log3x) – 3log3y = 3 log3x = log3y x = y Thay x = y vào phương trình (1) ta có (1)(x-1)(2-x) = 0
x = 1 ; x = 2 Từ đó HPT có hai nghiệm là (1 ; 1) và (2; 2)
Ví dụ 14 (ĐH KD-2002 ).Giải HPT:
1
(2)
x
x x x
y
LG: Từ PT(2) 2x = y, y > 0;
Thế vào PT(1) ta được PT :y3-5y2 +4y = 0 y = 0, y = 1, y = 4
Hệ PT có nghiệm (0; 1) ; (2; 4)
6) Các bài toán tổng hợp (Hay và khó)
Ví dụ 15 (996) Tìm nghiệm dương của PT: log 3 2 log 5 2
HD: Biến đổi PT về dạng: log 2 log 2 log 2
Đặt t = log2x, PT 2t + 3t = 5t Bằng phương pháp hàm số có nghiệm t = 1x = 2
Ví dụ 16 (ĐH KA-2002) Cho PT:
log x log x 1 2m 1 0 (16) (m là tham số)
1 Giải PT khi m =2
2 Tìm m để PT (16) có ít nhất 1 nghiệm thuộc đoạn 3
1;3
Đk x > 0, Đặt t = 2
3
log x1 1 ta có PT t2+t-2m-2 = 0 (*) (16) có nghiệm thuộc 1;33 (*) có nghiệm thuộc [1; 2]. Xét hàm số f(t) = t2+t trên [1; 2] ta được
PT (16) có nghiệm 3
1;3
m [0 ; 2]
Ví dụ 17.(ĐHQGHN-1997) Giải và BL BPT theo tham số a:
( )
a ax
HD: Điều kiện a > 0, a 1, x > 0
Trang 6Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng
Với 0 < a < 1 Lấy lôgarit cơ số a hai vế PT
(1+logax)logax 4(1+logax) (logax+1)(logax-4) 0
-1 logax 4 a4 x a-1
Với a > 1, Biến đổi như trên với chú ý cơ số > 1 ta được
(logax+1)(logax-4) 0
4
1
a a
a x
Ví dụ 18.(ĐHQG HN - 2000) Giải PT:
HD: Đkiện x > 0, đặt t = log2x x = 2t ,
(2 2)t2 (2t 2)t 1 2t
Nhân cả hai vế với (2 2)t sau đó biến đổi ta có:
[ (2 2)t-4t][ (2 2)t-1] = 0 t = 0 x = 1
Ví dụ 19 Giải PT:
3
2 1 3 2
2
8
log (4 4 4)
(19) HD: Ta có 4x2– 4x+4 = (2x-1)2 + 3 3 log3(4x2-4x+4) 1, Suy ra
VP 8 Mặt khác theo BĐT Cô-si, ta có: VT 8
(19)
3
2 1 3 2
2
8
8
x x
giải hệ ta có nghiệm là x = 1
2
Ví dụ 20.(ĐH KD - 2006) Chứng minh rằng với a > 0, hệ sau có
nghiệm duy nhất: ln(1 ) ln(1 ) (1)
(2)
x y
Đkiện x > -1, y > -1 Thế (2) y = x+a vào (1)
ta có PT: ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) (3) với x > -1, a >0
hệ có nghiệm duy nhất (3) có nghiệm duy nhất x > -1
Xét hàm số f(x) = ex+a- ex +ln(1+x) – ln(1+a+x) ĐPCM
C BÀI TẬP TỔNG HỢP
I Các bài toán trong đề thi đại học từ năm 2002 đến 2008
Bài 1 (A 2008) Giải PT: log2x-1(2x2+x-1) + log(x+1)(2x-1)2 = 4
ĐS: x = 2; x = 5/4
Bài 2 (B.2008) Giải BPT:
2
4
x
ĐS: x (-4; -3) (8; + )
Bài 3 (D.2008) Giải BPT:
2 1 2
x
ĐS: x (2 2;1)(2; 2 2 2 )
3
2 log (4x 3) log 2x3 2 ĐS:
3
;3 4
Bài 5 (B.2007) Giải BPT: ( 2 -1)x + ( 2 +1)x- 2 2 = 0
ĐS: x = 1; x = -1
Bài 6 D.2007) Giải BPT:
1
4.2 3
x
ĐS: x = log23 Bài 7 (A.2006) Giải PT: 3.8x+4.12x-18x-2.27x = 0 ĐS x = 1
Bài 8 (B.2006) Giải BPT:
log5(4x+144)-4.log52 < 1+ log5(2x-2+1) ĐS: x (2; 4)
Bài 9 (A.2004) Giải HPT: 14 4
1 log ( ) log 1
25
y
ĐS:(3; 4)
Bài 10 (D.2003) Giải PT: 2 2 2
2xx2 x x 3.ĐS: x= -1; x =2 Bài 11 (B.02) Giải BPT: logx(log3(9x-72)) 1ĐS: log973 < x2
II Các bài toán trong đề thi đại học trước năm 2002
Bài 1 (HVQHQT-1999) Giải PT:
4x x 4x x 4x x 1 ĐS: x{-5; -1; 1; 2}
Bài 2 (ĐHQG-KD.2000) Giải PT: 8.3x + 3.2x = 24 +6x
ĐS: x = 1; x = 3
Bài 3 (ĐHQG-KB.1998) Giải PT: 125x +50x = 23x+1 ĐS: x = 0
(5 21)x7.(5 21)x2x ĐS: x = 0 ; x = 5 21
2
log 7
Bài 5 (ĐH Y-2000) Giải PT: 3
3( 1)
x x
Bài 6 (ĐHTL 2000) Giải PT: 22x219.2x2x22x20 ĐS: x = -1; x = 2
Bài 7 (ĐHTCKT-1997) 25x-2(3-x)5x + 2x -7 = 0 ĐS: x = 1 Bài 8 (ĐH NT-1997) Giải PT: 2x+1– 4x = x-1 ĐS: x =1 Bài 9 (ĐHSP 2001) Giải PT: 3x + 5x = 6x+2 ĐS: x = 0; x =1 Bài 10 (ĐHNNHN-2000) Cho phương trình:
(m+3).16x + (2m-1).4x +m +1 = 0
Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu ĐS: 1 3
4
m
Bài 11 (ĐHQG TPHCM.1996) Cho phương trình:
(2+ 3 )x + (2- 3 )x = m Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt m > 2 Bài 12 (ĐH NT -1998) Tìm m để pt
2
| 4 3|
1
1 5
x x
có 4 nghiệm phân biệt ĐS: m (-1 ; 1)\ {0} Bài 13 (QGHN- 1995) Giải HPT: 2 2 2 ( 2 )( 2)
2
x y
ĐS: (1; 1); (-1 ; -1) Bài 14 (ĐHGT -1998) Giải BPT:
( 10 3) ( 10 3)
ĐS: x (-3; - 5 ) (1; 5) Bài 15 (ĐH Dược HN -1997) Giải BPT:
4 2x 3.2x 2x 8 12
x x x x ĐS:(- 2 ; -1)( 2; 3) Bài 16 (ĐHQG HN-1996) Tìm tất cả các cặp số (x; y) thoả mãn phương trình : sin2 s2
8 x8co x1+cos2y ĐS: ( ; )
2 2
k m
Bài 17 (ĐHQG HN-1999) Tìm tất cả các giá trị của tham số m
để bất PT sau có nghiệm:2sin2x3cos2xm.3sin2x ĐS: m 4 Bài 18 (ĐHSP TPHCM-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số
m để bất PT sau có nghiệm: 1
ĐS: m 1 Bài 19 (ĐH BKHN-1999) Giải PT: log10 log log1002
4 x6 x2.3 x (Chia 4logx)ĐS: x = 10-2
Bài 20 (ĐH THHN-1994) Giải PT: log 2 3 log 8
Bài 21 (ĐH SPHN-1994) Giải PT: ĐS: x = 1/ 2 ; x=2
log (x ) log (x ) 3
Bài 22 (ĐHSPHN-1990) Giải PT:
log (1 ) log (1 ) 2.log ( )
ĐS:
1
2
Bài 23 (ĐH Mỏ ĐC -1993) Giải BPT:
log (1 2 ) x 1 log (x1) ĐS: 2 1
Bài 24 (ĐH Luật HN-1997) Giải BPT:
2
log ( 1) log ( 1)
0
. ĐS: -1 <x< 0; x > 4 Bài 25 (ĐH YHN-1997) Giải BPT: log2x64 log 16 x2 3 ĐS: x 1 13
( ; 2 ] (1; 4]
2
Bài 26 (ĐH BKHN 2000) Giải PT:
3 2
log 4 x log (4x) x{2,2– 24 }
Trang 7Chuyên đề đại số Hồ Văn Hoàng Bài 27 (ĐH SPHN-2000) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để
mọi x [0; 2] đều thoả mãn bất phương trình
log x 2x m 4 log (x 2xm)5 ĐS: m [2; 4]
Bài 28 (ĐH Mỏ ĐC -1999) Giải hệ:
2
log ( ) log (2 ) 1 log ( 3 )
x
y
ĐS: (a ; a), a > 0; (2; 1)
Bài 29 (ĐH SPHN-1991) Giải hệ:
2 2
ĐS: (8; 2); (2; 1
2 ( ; 2) 2
Bài 30 (ĐHSPNN-1998) Giải hệ:
2
log log log ( ) log ( ) log log 0