Tài liệu Chuyên đề luyện thi ĐH phần số phức pdf

Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ Ví dụ 1: Giả sử Mz là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z.. Vậy tập hợp các điểm Mz trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa

Chuyên đề số phức ồ Văn Hoàng

Chủ đề 1: DẠNG ĐẠI SỐ CỦA SỐ PHỨC

A/ Kiến thức cơ bản:

1) Các định nghĩa:

* Cho a và b là hai số thực và i là đơn vị ảo ( i2 = -1), khi

đó: z = a + bi được gọi là một số phức

a: được gọi là phần thực ; b: được gọi là phần ảo

Tập các số phức được kí hiệu là

 Số phức có phần ảo bằng 0 gọi là số thực nên R.

 Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số ảo.

0 = 0 + 0i là số vừa thực vừa ảo

* z = a - bi là số phức liên hợp của z = a + bi và ngược lại

* Mô đun của số phức z = a + bi là | z | = a2b2

2

zz' = z z' , zz=a +b  z ,z+z'=z+z', zz'=z z', z= z

z là số thực khi và chỉ khi z = z

2) Các phép toán và tính chất cơ bản:

 (a + bi) = (c + di)  a c

b d





 



 (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i

 (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i

 (a + bi).(c + di) = nhân bình thường như nhân đa thức

a bi a bi c di

c di c di c di

3) Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi (a, b ) được biểu diễn bởi M(a; b)

trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng

phức  Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực,

 Trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

Số phức z = a + bi (a, b ) cũng được biểu diễn bởi

vectơ 

( ; )

u a b , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của số

phức z = a + bi (a,b ) cũng có nghĩa là OM biểu diễn

số phức đó

Ta có:Nếu  

,

u v theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì

  

u v biểu diễn số phức z + z',

  

u v biểu diễn số phức z − z',

 k 



u k biểu diễn số phức kz,

    

OM u z , với M là điểm biểu diễn của z.

B/ CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 Xác định tổng, hiệu, tích, thương của các số phức

Ví dụ 1: Tìm phân thực, phần ảo của các số phức sau

a) z =i + (2 − 4i) − (3 − 2i); b) z’ =( 1 i)3(2 )i 3

a) z = (0 + 2 − 3) + (1 − 4 + 2)i = −1 − i

Vậy số phức đã cho có phần thực là − 1, phần ảo là − 1

b)(-1i)3(-1)33(-1)3i3(-1)i3i3 2 2 ;i

(-2 )i (-2) ( )i 8i Kết quả: 2 + 10i

Ví dụ 2: Tính



1

2 2 i

Ta có :

i

1    i i i i

1  i   (1 i )(1      i i i i )

Mà 1 − i2010 =2 Nên 2 3 2009 2

1

i

 = 1 + i.

Vd 4: Tính (1i)100

Ta có (1− i)100 =((1i) )2 50  ( 2 )i 50  ( 2) ( )50 i 50  250

Ví dụ 5:

Cmr:z2 z 1 0; z z2 1; z3 1

z

Lại có

i

i z

i

 

 

z

  Hơn nữa ta có z3 = z2.z = 1

Ví dụ 6: Tìm số phức z, nếu z2 z 0 Đặt z = x + yi, khi đó z2 z  0 (xyi)2 x2y2 0

xy





2

2

0

0

1

0

0

x

y

y

y

  

            

Vậy có ba số phức thoả điều kiện là z = 0; z = i; z = − i

2 Biểu diễn số phức trong mặt phẳng toạ độ

Ví dụ 1: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng toạ đô biểu diễn số phức z Tìm tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều kiện sau a) z  1 i 2; b) 2  z i z

a) Đặt z = x + yi suy ra z − 1 + i = (x − 1) + (y + 1)i

  1 2

(x1) (y1)  2 (x1) (y1) 4 Vậy tập hợp các điểm M(z) trên mặt phẳng toạ độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(1; − 1) bán kính R = 2

b) Gọi A (− 2 ; 0), B(0 ; 1) Khi đó 2  z i z

  z ( 2)  z i hay là M(z)A = M(z)B Vậy tập hợp các

điểm M(z) là đường trung trực của đoạn thẳng AB

Nhận xét: Với phần b ta có thể thức hiện cách giải như đã làm ở

phần a Tuy nhiên để thể thực hiện cách giải như vậy là ta đã dựa váo nhận xét sau: Nếu véctơ 

u của mặt phẳng phức biểu diễn số

phức z thì độ dài của vectơ 

u là  

u z , và từ đó nếu các điểm

A, B theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì    '

AB z z

Ví dụ 2: Trong các số phức z thoả mãn điều kiện

 2 3 3

2

z i Tìm số phức z có modul nhỏ nhất

Xét biểu thức  2 3 3

2

z i (1) Đặt z = x + yi Khi đó (1)

trở thành( 2) ( 3) 3 ( 2)2 ( 3)2 9

x  y i   x  y 

Do đó các điểm M biểu diễn số phức z thoả mãn (1) nằm trên đường tròn (C) tâm I(2; −3) và bán kính R = 3

2

Ta có |z| đạt giá trị nhỏ nhất điểm M(C) và gần O nhất

Chuyên đề số phức Hồ Văn Hoàng

Do đó M là giao điểm của (C) và đường thẳng OI, với M là

giao điểm gần O hơn

Ta có OI = 4 9 13

Kẻ MH  Ox

Theo định lí ta lét có

3 13 2

OI



9 6 13 9

26

2 13

Lại có

3

2

OH

Vậy số phức cần tìm là 263 13789 13

Ví dụ 3: Chứng minh rằng với mọi số phức z, w, ta có

z w z w Đẳng thức xảy ra khi nào?

Gọi A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức

z, w, z + w Ta có z OA w, OB z, w OC

Từ OC  OA + AC suy ra zw  zw

Hơn nữa OC = OA + AC khi và chỉ khi O, A, C thẳng hàng

và A thuộc đoạn thẳng OC Khi O  A (hay z  0) điều đó

có nghĩa là có số k  0 để  

AC kOA tức là w = kz.

(Còn khi z = 0, rõ ràng zw  z w ).

Vậy zw  zw khi và chỉ khi z = 0 hoặc nếu z  0 thì

tồn tại kR để w = kz.

Chủ đề 2: CĂN BẬC HAI CỦA SỐ Phức

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

1 Căn bậc hai của số thực âm:

Mỗi số thực âm a có 2 căn bậc hai là i |a và - i || a|

số -9 có 2 căn bậc hai là 3i và -3i

2 Định nghĩa căn bậc hai của số phức

Cho số phức w mỗi số phức z thoả mãn z2 w được gọi là

một căn bậc hai của số phức w

a) Nếu w là số thực

+ w < 0 thì có hai căn bậc hai: i w &  i w

+ w 0 thì có hai căn bậc hai: w &  w

b) Nếu w là số phức khi đó ta thực hiện các bước:

+ Giả sử w = a + ib, đặt z = x + iy là một căn bậc hai của

w tức là: 2

z w khi đó ta có hệ:

xy b



Bình phương 2 vế của (1) và (2) rồi cộng lại ta được

x y  a b Ta có hệ:

(1) (2')







Giải hệ tìm được x và2 y suy ra x và y để tìm z.2

Chú ý: Theo (2) ta có : nếu b > 0 thì x, y cùng dấu

nếu b < 0 thì x, y trái dấu

3 Phương trình bậc hai với hệ số thực:

ax2 + bx + c = 0 , (a,b,cR) (1)

>0:pt(1) có 2 nghiệm thực phân biệt 1

2

b x

a

  



= 0 : pt (1) có nghiệm (thực) kép: 1 2

2

b

x x

a



< 0 : pt (1) có 2 nghiệm phức phân biệt:

1

| | 2

b i x

a

2

b i x

a



4.Công thức nghiệm của ph trình bậc hai hệ số phức

Cho phương trình : 2

0; (1) ( , , , 0)

ax bx c a b ca

4

 Nếu  0 pt có hai nghiệm 1 ; 2

Trong đó là một căn bậc hai của 

 Nếu = 0 thì pt có nghiệm kép: 1 2

2

b

x x

a

B CÁC DẠNG BÀI TẬP

1 Giải phương trình bậc nhất Biến đổi phương trình về

dạng Az + B = 0; A, B , A ≠ 0 Viết nghiệm z B

A

 

Ví dụ : Giải phương trình 2iz + 1 - i = 0 Nghiệm của phương trình là (1 ) 1 1 1 1

i

2.Tính căn bậc hai và giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Tìm căn bậc hai của các số phức sau:

a) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -5 + 12i tức là

xiy    i x y  ixy   i

5

x y

2 3

x y

 





Do b = 12 > 0x, y cùng dấu do đó 2

3

x y





 

2 3

x y

 



  



Vậy -5 + 12i có 2 căn bậc hai là z1=2+3i và z2= -2-3i b) Tương tự gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 8+ 6i tức

xiy   ix y  ixy  i

8

x y

3 1

x y

 





Do b= 6> 0x, y cùng dấu do đó 3

1

x y





 

3 1

x y

 



  



Vậy 8 + 6i có 2 căn bậc hai là 3+i và -3-i

c) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của 33 - 56i tức là

xiy   i x y  ixy   i

33

x y

7 4

x y

 





Do b = -56 < 0x, y trái dấu do đó 7

4

x y





  

7 4

x y

 



 



Vậy 2 căn bậc hai của 33 - 56i là 7- 4i và -7+i4

d) Gọi z = x + iy là một căn bậc hai của -3 +4i tức là

xiy    ix y  ixy    i

3

x y

1 2

x y

 





Do b = 4 > 0x, y cùng dấu do đó 1

2

x y





 

1 2

x y

 



  



Vậy 2 căn bậc hai của -3 + 4i là 1 + 2i và -1-2i

x

y

M

I

- 3

Chuyên đề số phức Hồ Văn Hoàng

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

2

2

3 4i 4 5i 1 3 4i

Theo kết quả ví dụ 1d) thì có hai căn bậc hai là 1+ 2i và

-1 - 2i Do đó pt (1) có hai nghiệm là:

x       i x      i

b) Tương tự ta có  2  

Theo kết quả ví dụ 1b) thì có hai căn bậc hai là 3 + i và

-3 - i Do đó pt (2) có hai nghiệm là:

Chú ý: PT (2) có thể dùng nhẩm nghiệm nhờ a + b + c = 0

Ví dụ 3: Giải các phương trình :a) 3x2  x 2 0 (1);

a) Ta có = 12- 4.3.2 = −23 = − 23 i2< 0 nên ta có hai căn

bậc hai của là: i 23 &i 23 Từ đó nghiệm của pt (1)

b) Tương tự ta có  = − 3 = −3i2< 0 có hai căn bậc hai là:

3 & 3

i i nên (2) có các nghiệm là:

;

x   x  

2

1 0

1 0; (*)

x

 





Theo b) (*) có hai nghiệm là 1 1 3; 2 1 3

x   x  

Từ đó ta có các nghiệm của pt (3) là:

( Các nghiệm của pt (3) được gọi là căn bậc ba của 1)

Ví dụ 4 : Lập phương trình bậc hai có các

nghiệm là:  4 3 ;i    2 5i

Theo bài ra ta có:    2 8i và    23 14i

kết quả pt bậc hai cần lập là: 2  

x   i x i 

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình: 2

x mx i 

có tổng bình phương 2 nghiệm bằng 8

Theo bài ra ta có: 2 2  2

x x   x x  x x  (1)

Theo Vi-et ta có 1 2

x x i



 Thay vào (1) ta được

m  i m   im là một căn bậc hai của 8+6i.

Theo kết quả VD1b/ có 2 giá trị của m là: 3 + i và -3 - i.

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình

5 2 (1)





Từ (2) ta có 2 2

z z  z z   i

Kết hợp với (1) ta có z z1 2  5 5i vậy ta có hệ phương

trình: 1 2

1 2

4

5 5



 Do đó z z là nghiệm của1, 2

phương trình z24i z  5 5i0 Ta có    5 12i

theo VD1a/ ta biết có hai căn bậc hai là: 2 + 3i và -2 - 3i

Vậy ta có 1

2

3 2

1 2 2

  



   



hoặc 1

2

1 2 3

 



Ví dụ 8: Cho z z là 2 nghiệm của phương trình1, 2

1i 2z232i z   1 i 0 Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

a A z z b B z z z z c C

Theo Vi-et ta có:

1 2

1 2

i

i i

i









A z z  z z =

2

2

b) Bz z1 2z1z2

c) Ta có

1 2

6 26 2 18

C

z z

i

Ví dụ 9: Giải pt: 4 2

Đặt 2

z t Khi đó (1) có dạng: 2

t  t  (2)

Ta có:   ' 16= 16.i2có hai căn bậc hai là 4i và - 4i nên

pt (2) có hai nghiệm là t1 3 4ivà t2  3 4i Mặt khác 3 + 4i có hai căn bậc hai là: 2 + i và -2 - i còn

3 - 4i có hai căn bậc hai là: 2 - i và -2 + i nên pt (1) có 4 nghiệm là:z1 2 i; z2   2 i; z3  2 i; z4   2 i

Bài 1: Thực hiện phép tính :

1

i i



 ĐS: i

a i a



i

 

(1 2 )(1 )

i



5  5i f)

  

34  17i

i a



ĐS: b i a

a h) (2 – i) 6 ĐS: -117 – 44i

Bài 2: Giải các phương trình trùng phương:

a z  i z   i b z  i z   i

Bài 3: Choz z là 2 nghiệm phương trình:1, 2 2  

z  i z  i Không giải pt hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

Bài 4: Giải các hệ phương trình:

2 2

1 2

4

  





  

2 2

1 2

5 2.

  



    



Bài 5: Lập phương trình bậc hai hệ số thực có nghiệm là:

a) 1 i 2 và 1 i 2 b) 3 2i và 3 2i

Bài 6: Lập phtrình bậc hai hệ số thực nhận 2 số phức z và z làm nghiệm

Bài 7: Trên mặt phẳng toạ độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức

z = a + bi , thoả mãn điều kiện:

a) Phần thực bằng phần ảo b) phần thực 1 < a < 2 c) |z| = 4

= z , ở đây z là số phức liên hợp

ĐS: (2 – i; -1 – 3.i), (-1 – 3i; 2 – i), (-2 + i; 1 + 3i), (1 + 3i; -2 + i)

Chuyên đề số phức Hồ Văn Hoàng

Chủ đề 3 : DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ

PHỨC

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ

I Số phức dưới dạng lượng giác.

1 Acgumen của số phức z 0

Cho số phức z 0 Gọi M là điểm

trong mặt phẳng phức biểu diễn số

phức z Khi đó số đo (radian) của

mỗi góc lượng giác tia đầu Ox, tia

cuối OM được gọi là một Acgumen của z

Chú ý: + Nếu  là Acgumen của z thì mọi Acgumen của z

đều có dạng: + k2 , k Z

+ Acgumen của z 0 xác định sai khác k2 , kZ

2 Dạng lượng giác của số phức

Cho số phức z = a+bi, (a, bR), với r = a2b2 là

modun của số phức z và là Acgumen của số phức z.

Dạng z = r (cos +isin ) được gọi là dạng lượng giác của

số phức z 0, còn dạng z = a + bi được gọi là dạng đại số

của số phức z

II Nhân và chia số phức dưới dạng lượng giác

Nếu z=r(cos +isin ), z'=r'(cos '+isin ')(r 0 & r'0) thì

zz' = rr ( cos (  ')isin(  '))

z r

i

z r      (khi r' > 0)

III Công thức Moa-Vrơ và ứng dụng

1 Công thức Moa- Vrơ

r(cosisin )nr n(cosn isinn )

cosisinn cosn isinn , n N*

2 Căn bậc n của một số phức

Với z = r(cos +isin ), r > 0, có hai căn bậc hai của z là

r i 

;

1 Viết số phức dưới dạng lượng giác

Ví dụ 1: Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác

)(1 3 )(1 ); ) ; ) sin cos

1

i





b) Từ phần trên ta có ngay kết quả

i

i i

     

z i    i 

.

z  i   .

Ví dụ 2: Tuỳ theo góc , hãy viết số phức sau dưới

dạng lượng giác (1 cos isin )(1 cos  isin ).

Xét số phức z = (1 cos  isin )(1 cos  isin ) , ta có

i



2 sinsin icos

 Nếu sin 0 , thì từ (*) có z = 2sin cos( ) sin( )

dạng số phức cần tìm.

 Nếu sin < 0, thì từ (*) ta có z  2 sin ( sin icos )

 Nếu sin = 0, thì z = 0, nên không có dạng lượng giác xác định.

2 Các bài tập tính toán tổng hợp về dạng lượng giác

Phương pháp: Đưa số phức về dạng lượng giác rồi sử

dụng các công thức Moivre để tính toán các đại lượng theo yêu cầu của bài tập

Ví dụ 1: Tìm phần thực và phần ảo của mỗi số phức sau 10

9

(1 )

i

i

2009 2009

1 )

c z z

 ,nếuz 1 1

z

 

a)

10 5 10

9 9

9

4

(cos sin )

i

i

i



b)

7

i





      



z i 

, ta có 2009

2009

1

z z



1

i

i







Ví dụ 2: Tính tổng sau S (1 i)2008 (1 i)2008

2008 1004

2008 1004

Ví dụ 3: Chứng minh rằng các điểm biểu diễn các căn bậc ba của 1 lập thành một tam giác đều

Xét phương trình 3

1

z  trên  , có nghiệm dạng zr(cosisin ) .

r







Do đó phương trình trên có đúng ba nghiệm ứng với ba giá trị của k là Với k = 0 ta có z0 = cos0 + isin0 = 1;

Với k = 1 ta có z1 = cos2 sin2 1 3;

    

Với k = 2 ta có z2 = cos4 sin4 1 3

    

.

Chuyên đề số phức Hồ Văn Hoàng

Nên 1 có ba căn bậc ba đó là các số phức được xác định như trên.

Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn các số phức

z0, z1, z2 Khi đó 



1;

2

; 3 2 3

AOB

BOC









  

Từ đó suy ra tam giác ABC là tam giác đều.