Đề cương HK1 toán 9 đáp án chi tiết

a Chứng minh rằng bốn điểm A, C, O, M cùng thuộc một đường tròn b Chứng minh rằng MB // OC c Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn O.. Qua C trên nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến

1) Học thuộc phần tóm tắt các kiến thức cần nhớ chương I SGK trang 92

2) Học thuộc phần tóm tắt các kiến thức cần nhớ chương II SGK trang 126

B BÀI TẬP TỰ LUẬN

Bài 1 Cho biểu thức 1

1

xAx





 với x01) Tính A khi x 6 4 2;

2) Tính A khi x là nghiệm của phương trình 2x2 3x  5 x 1;

3) Tìm giá trị của x để 1;

6

A4) Tìm giá trị của x để A  A;

5) Tìm giá trị của x để 2

0;

A   A6) So sánh A với 1

7) So sánh A với biểu thức 3

2

xN

15) Tìm x thỏa mãn A x 1 2 6 1  x 2x2 x  5 1;

16) Tìm m để phương trình A=m có nghiệm;

c) Tìm số nguyên x để P=A.B là số nguyên

e) Tính giá trị nguyên của x để M nguyên

Bài 4: Cho biểu thức: 2 9

93

A

xx

Bx





 với x0;x9;x25a)Rút gọn biểu thức A và B b)Đặt P A

B

 Hãy so sánh P với 1 c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P

Bài 5: Cho biểu thức: 2 2

xP

  và

63

a)Với giá trị nào của m thì đường (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

b)Tìm m để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y2015 x

c)Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d) luôn đi qua với mọi m

d) Tìm phương trình đường thẳng (d) , biết đồ thị đi qua I 2; 2 và có hệ số góc bằng 2 Bài 7: Cho hàm số bậc nhất y 1 2m x m   có đồ thị là 1  d

a) Tìm m để đồ thị hàm số trên song song với đồ thị hàm số y2x 3

b) Vẽ đồ thị hàm số với m vừa tìm được ở câu a)

c) Tìm m để đường thẳng  d và đường thẳng y   cắt nhau tại một điểm có hoành độ 3x 1bằng 1

d*) Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d là lớn nhất

Bài 8: Cho các đường thẳng  d1 :y4mxm với 5 m0 ;    2   2 

d y m  x m  a) Với giá trị nào của m thì    d1 / / d2

b) Với giá trị nào của m thì  d1 cắt  d2 Tìm tọa độ giao điểm khi m2

c) Chứng minh rằng khi m thay đổi thì đường thẳng  d1 luôn đi qua điểm cố định A ;  d2 đi qua điểm cố định B

Bài 9: Cho hàm số y ax b 

a) Xác định hàm số biết đồ thị của nó song song với y2x và đi qua điểm 3 A1; 2 

b) Vẽ đồ thị hàm số vừa xác định rồi tính độ lớn của góc  tạo bởi đường thẳng trên và tia Ox c) Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng trên với đường thẳng y   4x 3

d) Tìm giá trị của m để đường thẳng trên song song với đường thẳng y2m3x 2

Bài 10: Cho hàm số y   m  1  x  2  m  1 

a) Tìm điều kiện của m để hàm số (1) đồng biến trên R

b) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) là đường thẳng có hệ số góc là 2

c) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) đi qua điểm A (2; 1)

d) Tìm giá trị của m và k để đồ thị hàm số (1) và đuờng thẳng y x k    1 trùng nhau

e) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích bằng 4

Bài 11: Cho hàm số bậc nhất y   m  2  x  2 m  5 có đồ thị là đường thẳng d

a) Tìm m để d cắt trục tung có tung độ bằng 3

b) Vẽ đồ thị với m tìm được ở câu a

c) Tìm m biết đường thẳng d vuông góc với đường thẳngd1: 2 x    y 3 0

d) chứng tỏ đường thẳng d luôn đi qua một điểm cố định

e) Tìm m để khoảng cách từ M  2; 0  đến d là lớn nhất

Bài 12: Cho ba đường thẳng 1 2 1 3

3 x

a) Vẽ d d d1, ,2 3 trên cùng một mặt phẳng toạ độ

b) Gọi A, B lần lượt là giao điểm của d3 với d d1; 2 Tìm toạ độ của điểm A và B

c) Chứng minh tam giác AOB cân

d) Tính diện tích của tam giác OAB

Bài 13 Cho đường tròn tâm O bán kính R, đường kính AB Qua điểm A kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Trên tia Ax lấy điểm C sao cho AC > R Từ điểm C kẻ tiếp tuyến CM với đường tròn (O) (M là tiếp điểm)

a) Chứng minh rằng bốn điểm A, C, O, M cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh rằng MB // OC

c) Gọi K là giao điểm thứ hai của BC với đường tròn (O) Chứng minh rằng: BC.BK = R2

d) Chứng minh rằng CMK MBC   

Bài 14 Cho nửa đường tròn tâm (O) đường kính AB, tiếp tuyến Bx Qua C trên nửa đường tròn

kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn cắt Bx ở M Tia AC cắt Bx tại N

a) Chứng minh 4 điểm O, C, M, B cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh: OM BC 

c) Chứng minh M là trung điểm của BN

d) Kẻ CH  AB, AM cắt CH ở I Chứng minh I là trung điểm CH

e) Chứng minh:

2

2 AB NC.NA NO

4

g) Khi C di động trên (O) thì trọng tâm G của tam giác BOC thuộc đường tròn cố định nào? Bài 15 Cho đường tròn (O; 5cm) đường kính AB gọi E là một điểm trên AB sao cho BE = 2cm Qua trung điểm H của đoạn AE vẽ dây cung CD AB 

a) Tứ giác ACED là hình gì? Vì sao?

b) Gọi I là giao điểm của DE với BC Chứng minh I thuộc đường tròn (O’) đường kính EB c) Chứng minh HI là tiếp tuyến của đường tròn (O’)

d) Tính độ dài đoạn HI

Bài 16 Cho hai đường tròn (O) và (Ó) tiếp xúc ngoài ơ A Tiếp tuyến chung ngoài cua hai đường tròn, tiếp xúc với đường tòn (O) ở M, tiếp xúc với đường tròn (O’) ở N Qua A kẻ đường thẳng vuông góc với OO’ cắt MN ở I

a) Chứng minh ∆AMN vuông

b) ∆IOO’ là tam giác gì? Vì sao

c) Chứng minh rằng đường thẳng MN tiếp xúc với đường tròn đường kính OO’

d) Cho biết OA = 8cm, OA’ = 4,5cm Tính độ dài MN

Bài 17 Cho đường tròn đường kính AB Dây CD không qua O, vuông góc với AB tại H Dây

CA cắt đường tòn đường kính AH tại E và đường tròn đường kính BH cắt dây CD tại F Chứng minh rằng:

a) Tứ giác CEFH là hình chữ nhật

b) EF là tiếp tuyến chung cua đường tròn đường kính AH và đườnng kính BH

c) Tiếp tuyến tại A cắt đường thẳng BC tại M, gọi I là tâm hình chữ nhật CEHF, BI cắt AM ở N Chứng minh N là trung điểm của AM

Bài 18 Cho đường tròn tâm O bán kính 3cm Từ một điểm A cách O là 5cm vẽ hai tiếp tuyến

AB, AC với đường tròn (B, C là tiếp điểm)

a) Chứng minh AO vuông góc với BC

b) Kẻ đường kính BD Chứng minh rằng DC song song với OA

c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

d) Qua O kẻ đường thẳng vuông góc với BD, đường thẳng này cắt tia DC tại E Đường thẳng AE

và OC cắt nhau ở I Đường thẳng OE và AC cắt nhau ở G Chứng minh IG là trung trực của đoạn thẳng OA

Bài 19: Cho đường tròn tâm O đường kính AB và một điểm C trên đường tròn Từ O kẻ một đường thẳng song song với dây AC đường thẳng này cắt tiếp tuyến tại B ở điểm , D

a) Chứng minh OD là phân giác của góc BOC

b) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn

c) Qua D kẻ cát tuyến DMN với đường tròn ( N nằm giữa D và M ) Chứng minh

2

DB DM DN

d) Dây CM cắt đường kính AB tại I Chứng minh rằng IC IM IA IB

Bài 20: Cho nửa đường tròn  O đường kính AB Gọi Ax By là các tia vuông góc với , AB (

;

Ax By và nửa đường tròn cùng thuộc nửa mặt phẳng bờ AB Qua điểm M thuộc nửa đường ).tròn ( M khác A và ),B kẻ tiếp tuyến với nửa đường tròn, nó cắt Ax tại C và cắt By tại D a) Chứng minh CD AC BD  và  90 COD o

b) AD cắt BC tại N Chứng minh: MN/ /BD

c) Tích AC BD không đổi khi điểm M di chuyển trên nửa đường tròn

d) Gọi H là trung điểm của AM Chứng minh: ba điểm O H C thẳng hàng , ,

Bài 21: Cho nửa đường tròn O R; , đường kính AB M là điểm thuộc nửa đường trònO R;  Đường cao MH Tiếp tuyến tại M của O R; cắt tiếp tuyến tại A ở E , cắt tiếp tuyến tại B ở F OEcắt AM tại P , EB cắt MH tại K , OFcắt MB tại Q

a) Tính MH HA HB theo R khi  30; ; ABM  o

b) Tứ giác MPOQ là hình gì? Vì sao?

c) Xác định vị trí của điểm M trên nửa đường tròn O R; để diện tích tam giác EOF nhỏ nhất Tính giá trị nhỏ nhất đó theo R

d) Chứng minh rằng: , ,P K Q thẳng hàng

Bài 22 Cho đường tròn O R;  có đường kính AB Qua A và B lần lượt vẽ hai tiếp tuyến ( )d và ( ')d với đường tròn ( )O Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng ( )d ở M và cắt đường thẳng ( ')d ở P Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng ( ')d ở N

a) Chứng minh OM OP và tam giác NMP cân

b) Hạ OI vuông góc với MN Chứng minh rằng OI R và MN là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

c) Chứng minh AM BN R2

d) Tìm vị trí điểm M để diện tích tứ giác ABNM nhỏ nhất

Bài 23 Cho đường tròn tâm O đường kính AB2R Vẽ hai tiếp tuyến Ax By của đường tròn ,( )O ( A, B là tiếp điểm ) Trên ( )O lấy điểm C bất kì, tiếp tuyến tại C với ( )O cắt Ax By lần lượt ,tại E, F

a) Chứng minh AEBF EF

b) Chứng minh tam giác OEF là tam giác vuông

c) Đường thẳng BC cắt tia Ax tại D Chứng minh E là trung điểm của AD

d) Gọi M là giao điểm của OE và AC, N là giao điểm của OF và BC, H là hình chiếu của C trên

AB Chứng tỏ khi C di động trên đường tròn tâm O thì đường tròn ngoại tiếp tam giác MHN luôn đi qua một điểm cố định

C LỜI GIẢI Bài 1

x    ( thỏa mãn điều kiện x0)

2 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2

.7

3

6 0

2

xx

Vậy x 1

5) A2  A 0  

 

2 2

011

xx

xx





  

Kết hợp với điều kiện x0 Vậy 0  x 1

 

Bài 2

Kết hợp với điều kiện ta được x49; 25;1;16 

Bài 4:Cho biểu thức: 2 9

93

A

xx

Bx





 với x0;x9;x25a)Rút gọn biểu thức A và B b)Đặt P A

B

 Hãy so sánh P với 1 c)Tìm giá trị nhỏ nhất của P

HD:

ĐKXĐ: x0;x9;x25

93

A

xx

  và

63

Vậy khi m 1 thì đường (d) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

b) Để đường thẳng (d) song song với đường thẳng y2015 x

thẳng d luôn đi qua

d) Gọi phương trình đường thẳng d có hệ số góc bằng 2 là y-2x+b

biết đồ thị đi qua I 2; 2 nên Thay x2,y vào d ta được: 2

2.2 b 2 b 6

    

Vậy phương trình đường thẳng (d) cần tìm là y   2x 6

Bài 7: a) Đồ thị hàm số là hàm số bậc nhất, song song với y2x khi: 3

12

c) Hai đường thẳng cắt nhau khi :

Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị:

1 2 m x m     1 3x 1 1  Hai đồ thị cắt nhau tại điểm có hoành độ x1 nên x1 là nghiệm của phương trình 1 , suy ra 1 2 m.1   m 1 3.1 1    ( loại) m 2

Vậy không tồn tại giá trị của m để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có hoành độ x1

d) Xét m  1 0 m    Đồ thị là đường thẳng qua gốc tọa độ nên 1 y x dO d,   0Với 1; 1

2

m m , đồ thị hàm số y 1 2m x m   cắt trục 1 Ox tại 1 ; 0

1 2

mM

Từ O kẻ OH MN suy ra khoảng cách từ O đến đường thẳng  d là OH

x y

-32

34

B A

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông OMN ta có:

Dấu bằng xảy ra khi m0

Vậy khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d lớn nhất bằng 2

m-1

1-m1-2m

H N

Đồ thị cắt Ox tại điểm A có tung độ y   0 x 2 A 2;0

Đồ thị cắt Oy tại điểm B có hoành độ x    0 y 4 B0; 4 

Đồ thị y2x là đường thẳng đi qua hai điểm ,4 A B

Hình vẽ:

Dựa vào hình vẽ, góc tạo bởi đường thẳng với tia Ox là OAB

Trong tam giác vuông OABcó:  4  0

2OAB  OABc) Hoành độ giao điểm của y2x và 4 y   là nghiệm của phương trình: 4x 3

 

d) Đề hai đường thẳng trùng nhau thì: 1 1

1 2

m k

m k





  

 e) giao điểm của d với hai trục Ox và Oy lần lượt là:

x y

a) Gọi điểm B là giao điểm của đồ thị cắt trục tung Ta được B (0;3)

Vậy I ( 2, 1)   là điểm cố định của đưường thẳng d

e) Với mỗi m, Gọi H là hình chiếu vuông góc của M(2; 0) trên d

Vậy toạ độ điểm A ( -1 ; -3)

Tương tự, toạ độ điểm B   3; 1 

Xét tam giác AOB:

Vậy tam giác AOB có OA = OB nên là tam giác cân tại O

d) Gọi H là chân đừơng cao hạ từ O xuống đờng thẳng d3

Suy ra: OH vuông góc AB.d O d ( , )3  OH

O

M

Xét CAO vuông tại A  CAOnội tiếp đường tròn đường kính CO (1)

Xét CMO vuông tại M  CMOnội tiếp đường tròn đường kính CO (2)

Từ (1) và (2)

 4 điểm A, C, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OC

b) Theo gt: CA, CM là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) CA CM

 OC là đường trung trực của AM  OC AM  (1)

Mặt khác, M thuộc đường tròn đường kính AB AMB 90     AM  MB(2)

Từ (1) + (2) suy ra MB // OC ( Quan hệ từ vuông góc đến song song)

c) K thuộc đường tròn đường kính AB AKB 90     AK  BC

Áp dụng hệ thức lượng trong đường tròn đường kính AK có:

Bài 14

a) Ta có: MCO MBO 90      (theo tính chất của tiếp tuyến)

Xét CBO vuông tại A  CBOnội tiếp đường tròn đường kính OM (1)

Xét CMO vuông tại M  CMOnội tiếp đường tròn đường kính OM (2)

Từ (1) và (2)

 4 điểm O, C, M, B cùng thuộc đường tròn đường kính OM

b) MC, MB là 2 tiếp tuyến của đường tròn (O) MB MC (1)

 OM là đường trung trực của BC  OM BC 

c) Xét  ANBvuông tại B có ANB BAC 90       ANB 90     OAC 

Mặt khác có ACO OCM MCN 180         MCN 90     ACO 

Mà  AOC cân tại O OAC ACO     ANB MCN     CNM MCN   

MCN

  cân tại M

MC MN (2)

Từ (1) + (2) suy ra MB = MN  M là trung điểm của BN

d) Áp dụng định luật Ta-lét trong ABM có IH // MB (cùng AB) có IH AI

MB  AM (3)

x

G D

I

H

M N

O

C

Tương tự áp dụng định luật Ta-lét trong  AMN có IC AI

MN  AM (4)

Từ (3) + (4) suy ra IH IC

MB  MN mà MB = MN (chứng minh câu c)

IH IC

   I là trung điểm của CH

e) Áp dụng hệ thức lượng trong  ABN đường cao BH (vì ACB 90   ) có

4

g) Gọi D là trung điểm của OB suy ra trọng tâm G của  BOC là giao điểm của OM và CD

Kẻ đường thẳng qua G song song với OC cắt OB tại J

Áp dụng định lý Ta-lét trong  OCD có

Vì D là trung điểm của OB, mà OB không đổi  D cố định  J cố định

 G thuộc đường tròn cố định tâm J bán kính R

M N

O

C

 tứ giác ACED là hình bình hành, lại có AE CD   tứ giác ACED là hình thoi

b) Tứ giác AECD là hình thoi (cmt) AC // CE mà AC CB  (vì C thuộc đường tròn đường kính AB)  DE  CB  EI  IB  EIB 90     I thuộc đường tròn (O’) đường

     cân tại H HCI HIC    (1)

Xét tam giác EIB vuông tại I có IO’ là đường trung tuyến

Từ (1) + (2) suy ra  HIC O'IB HCI O'BI 90           HIO' 90     HI  IO'tại I

  (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (1)

Ta có AI, NI là hai tiếp tuyến của   O '

AI là đường trung tuyến

 là tia phân giác của MIA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có AI, NI là hai tiếp tuyến của   O '

'

IO

 là tia phân giác của NIA (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Ta có IO là tia phân giác của MIA 

Và IO’ là tia phân giác của NIA

OO

EI  EO EO   ( do  O ' vuông tại I)

MN là tiếp tuyến của '

; 2

OO E

Có MN  2 AI  2.6 12  cm

Vậy MN =12 cm

Bài 17:

a) Xét   O có ACBlà góc nội tiếp chắn nửa đường tròn C 90 o

Xét   P có  AEH là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn CEH  90 AEH  oXét   Q có HFB là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn CFH  90 HFB  oXét tứ giác CEHF có ECF   90CEH CFH  o

CEHF

 là hình chữ nhật

b) Dễ thấy EFH  AHE (g-g)   1 

2 FEH EAH sd EH

EF là tiếp tuyến của   P

Chứng minh tương tự  EF là tiếp tuyến của   Q

 là tam cân tại I

Mà G là trực tâm ( do EO và AC lần lượt là đường cao) GI

 là trung trực của AO

Bài 19 Giải

T

N C

B O

A

D

M

a) Vì OD/ /AC gt COD OCA  (so le trong) và CAO BOD (đồng vị) (1)

Vì OC OA R   ACO cân tại OOCA CAO  (2)

Từ  1 và  2 COD BOD  Vậy OD là phân giác của góc BOC

(quan hệ giữa đường kính và dây cung của  O )

Vì TON vuông tại T TO2TN2 ON2 (đly pytago)

Vì DM DB là hai tiếp tuyến cắt nhau tại D của ,   O gt DB DM và  1

2MOD BOM

Bài 21

a) Ta có  30o

ABM  nên

2 23

( )d và ( ')d lần lượt là tiếp tuyến với O R; tại A và BV (gt)

Xét OAMvuông tại A và OBPvuông tại B, có:

Mà M O P thẳng hàng , ,  O là trung điểm của MP

Xét MNP, có: ON vừa là đường trung tuyến, vừa là đường cao kẻ từ đỉnh N của MNP  MNP

Xét MON vuông tại O, có đường cao OI

Áp dụng hệ thức giữa đường cao và hình chiếu của hai cạnh góc vuông trên cạnh huyền, có: