Đề cương HK1 toán 9 đáp án chi tiết

Tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự ở Cvà D.. Chứng minh rằng e AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD.. Tiếp tuyến của đường tròn O tại Ccắt đường thẳng

TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN – NĂM HỌC 2019 – 2020 NỘI DUNG ÔN TẬP KIỂM TRA HK1 LỚP 9 – MÔN TOÁN

Bài 4 Cho hai biểu thức:

Bài 5 Cho biểu thức:

b) Tính giá trị của x khi B 2

c) Tìm các giá trị của x để B nhận giá trị nguyên

Bài 6 Cho biểu thức 26 19 2 3

b) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

           a) Rút gọn P

Bài 9 Cho các biểu thức 1 3

xB

Dạng 3 Hàm số:

Bài 11 Cho hàm số bậc nhấtym2x m 3  d

a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến Tìm m để hàm số nghịch biến

b) Tìm mđể  d đi qua A 1;2

c) Tìmm để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 3x 3 m d    1

d) Tìmm để đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y 3x 3 m d    2

e) Tìmm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

f) Tìmm để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

g) Tìmm để đồ thị các hàm số y  x 2; y2x1; ym2x m 3 đồng quy

h) Tìm mbiết  d tạo với trục hoành một góc 45 0

i) Tìm mbiết  d tạo với trục hoành một góc 150 0

j) Tìm mđể khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d bằng 1

k) Tìm mđể  d cắt Ox Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 ;

l) CMR: với mọi giá trị của mđường thẳng  d luôn đi qua một điểm cố định.Tìm điểm đó Bài 12 Cho hàm số  1  2

b) Gọi giao điểm của đường thẳng  d1 với trục Oy là A , giao điểm của đường thẳng  d2

với trục Ox là B , còn giao điểm của đường thẳng   d1 d2 là C Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A B C, ,

c) Tính diện tích tam giác ABC

Bài 13 Xác định hàm số bậc nhất y ax b  trong mỗi trường hợp sau :

a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y3x1 và đi qua điểm A 2;5

b) Đồ thị của hàm số vuông góc với đường thẳng y x 5 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Đồ thị hàm số đi qua A1; 2 , B 2; 3 

d) Đồ thị hàm số có hệ số góc là 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

e) Đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 600 và đi qua điểm B1; 3 

B – HÌNH HỌC

Bài 1 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB2R Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By (Ax, By nằm

cùng phía đối với nửa đường tròn) Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( M khác A và

B ) Tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự ở Cvà D Chứng minh rằng

e) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

f) Gọi giao điểm AD vàBC là N Chứng minh MN/ /AC

g) Gọi BN' là tia phân giác của ABD N 'OD Chứng minh 1 1 2

'

OBBD  BNBài 2 Cho đường tròn O cm;3 , đường kính AB Lấy Ithuộc đoạn AO sao cho IA1cm Kẻ dây

cung CDvuông góc với ABtại I Tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại Ccắt đường thẳng ABtại E

a) Tính độ dài OEvà CD

b) Chứng minh tam giác EDC cân và ED là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

c) Chứng minh CA là tia phân giác của DCE VàAlà tâm đường tròn nội tiêp tam giác DCE d) Chứng minh BI AE BE AI 

Bài 3 Cho đường tròn O cm;3  và A là một điểm cố định thuộc đường tròn Đường thẳng d tiếp xúc

với đường tròn tại A Trên d lấy điểm M, M khác A Kẻ dây cung AB vuông góc với OM tại H a) Tính độ dài OM và AB khi OH2 cm

b) Chứng minh rằng MBA cân và MB là tiếp tuyến của đường tròn  O

c) Kẻ đường kính AD, đoạn thẳng DM cắt đường tròn tại E Chứng minh rằng

2

MA MH MO ME MD   từ đó suy ra EHM ODM

d) Chứng minh rằng khi M chạy trên đường thẳng d thì trọng tâm G của tam giác BOD luôn chạy trên một đường tròn cố định

Bài 4 Cho đường tròn O R, , đường kính AB Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến  d và  d'

với đường tròn  O Một đường thẳng qua O cắt đường  d ở M và cắt đường thẳng  d' ở

P Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng  d' ở N

a) Chứng minh OM OP và NMP cân

b) Hạ OI MN Chứng minh OI R và MN là tiếp tuyến của O

c) Chứng minh AM BN R  2

d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất Vẽ hình minh họa

Bài 5 Cho đường tròn  O , bán kính OA R Vẽ dây cung BC vuông góc với OA tại trung điểm

H của OA

a) Tứ giác ABOClà hình gì? Vì sao?

b) Gọi K là điểm đối xứng với Oqua A Chứng minh , , ,K B O C cùng thuộc một đường tròn; c) KB và KClà tiếp tuyến của đường tròn  O ;

d) Tam giác KBClà tam giác gì? Vì sao?

e) Tính độ dài BCtheo R

Bài 6 Cho nửa đường tròn O R , đường kính ;  AB, C là một điểm nằm trên nửa đường tròn Kẻ

phân giác BI của góc ABC ( I thuộc đường tròn) Gọi E là giao điểm của AI và BC

a) Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao ?

b) Gọi K là giao điểm của AI và BC Chứng minh EKAB

c) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I Chứng minh AF là tiếp tuyến của  O

d) Khi C di chuyển trên nửa đường tròn thì E di chuyển trên đường nào ?

Câu 7 Từ một điểm S nằm bên ngoài đường tròn  O , vẽ các tiếp tuyến SA SB ( ,, A B là các tiếp

điểm) Kẻ đường kính AC của  O Tiếp tuyến tại C của  O cắt AB tại E

a) Cho SO5,AB Tính bán kính của đường tròn 3  O

b) Chứng minh SO BC AC// , 2 AB AE

c) Kéo dài SB cắt CE tại I Chứng minh I là trung điểm của EC

d) SC cắt  O tại K Chứng minh EK là tiếp tuyến của  O

Bài 8 Cho hai đường tròn  O và  O tiếp xúc ngoài tại A Kẻ tiếp tuyến chung ngoài DE,

c) Chứng minh OO là tiếp tuyến của đường tròn đường kính DE

d) Tính độ dài DE theo R và R

C – MỘT SỐ BÀI NÂNG CAO

Bài 1 Cho a b, 0;a2b216 Tính giá trị lớn nhất của biểu thức :

TRƯỜNG THCS NGÔ SĨ LIÊN – NĂM HỌC 2019 – 2020

NỘI DUNG ÔN TẬP KIỂM TRA HK1 LỚP 9 – MÔN TOÁN

xx

 x 1  1;3

 0; 2x

 0;4x

0x

 0;1x

 0;1x

  (vì  2 0 và x 1 0) Vậy P1

 hay P 1 Dấu “=” xảy ra  x 0

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là: 1 khi x0

Bài 3 Cho biểu thức: : 1 1 2



 Vậy

1

xEx

xx

1 01

1x

 

Kết hợp điều kiện suy ra x 1

Bài 4 Cho hai biểu thức:

Lời giải a) Điều kiện x0,x1,x 9

Bài 5 Cho biểu thức:

c) Tìm các giá trị của x để B nhận giá trị nguyên

Lời giải a) Điều kiện x0,x 4

602

f) Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức P

g) Tính giá trị nhỏ nhất của P

h) Tính P khi x 3 2 2

Lời giải a) Điều kiện : x0;x 1

Bài 7 Cho biểu thức

( )2

4

1

3 3x

xB





a) Tính giá trị B tại x36

b) Rút gọn A ;

c) Cho biết PA: (1B), tìm x để P 1

Lời giải a) Điều kiện x0;x1

xP

xx



01

xx





301

xx

Vậy với x hoặc 09   thì x 1 P 1

Bài 10 Cho biểu thức P x 1 : x 1 1 x

Lời giải a) Điều kiện x0;x1

1

xP

:

1

xP

:1

xx

x



 (Điều kiện x0;x1)

b) Theo ý a) ta có

1xP

c) Theo ý a) ta có

1xP

2 0

4 0

xx

xx

xx

  (thỏa mãn điều kiện x0;x1)

Vậy với x thì 4 P x6 x 3 x 4

Dạng 3 Hàm số:

Bài 11 Cho hàm số bậc nhấtym2x m 3  d

a) Tìm m để hàm số luôn đồng biến Tìm m để hàm số nghịch biến

b) Tìm mđể  d đi qua A 1;2

c) Tìmm để đồ thị hàm số song song với đường thẳng y 3x 3 m d    1

d) Tìmm để đồ thị hàm số vuông góc với đường thẳng y 3x 3 m d    2

e) Tìmm để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

f) Tìmm để đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

g) Tìmm để đồ thị các hàm số y  x 2; y2x1; ym2x m 3 đồng quy

h) Tìm mbiết  d tạo với trục hoành một góc 45 0

i) Tìm mbiết  d tạo với trục hoành một góc 150 0

j) Tìm mđể khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d bằng 1

k) Tìm mđể  d cắt Ox Oy tạo thành tam giác có diện tích bằng 2 ;

l) CMR: với mọi giá trị của mđường thẳng  d luôn đi qua một điểm cố định.Tìm điểm đó

Lời giải a) Để hàm số luôn đồng biến thì m  2 0 m 2

Vậy m5thì đồ thị hàm số  d song song với đường thẳng y 3x 3 m d    1

d) để đồ thị hàm số  d vuông góc với đường thẳng y 3x 3 m d    2 thì:

m thì đồ thị hàm số  d vuông góc với đường thẳng y 3x 3 m d    2

e) đồ thị hàm số  d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3nên thay x3;y vào 0  d

ta có: m2 3    m 3 0 3m    6 m 3 0 4m 3 0

 

34

Vậy 3

4

m thì đồ thị hàm số  d cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3

f) để đồ thị hàm số  d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3nên thay x0;y vào 3  d

ta có: m2 0        m 3 3 m 3 3 m 0

Vậy m0thì đồ thị hàm số  d cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3

g) Xét phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y  x 2; y2x có: 1

Thay x1 vào y   ta có: x 2 y    1 2 1

Vậy tọa độ giao điểm của y  x 2; y2x là 1  1;1

Vì 3đường thẳng y  x 2; y2x1; ym2x m 3 đồng quy nên thay x1;y 1vào ym2x m 3có: m    2 m 3 1 2m  0 m 0

Gọi OHlà khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng  d

Trong tam giác OAB vuông tại Ođường cao OHcó:

l) Gọi điểm cố định I x y 0; 0 Vì đường thẳng đi qua điểm cố định với mọi mnên

b) Gọi giao điểm của đường thẳng  d1 với trục Oy là A , giao điểm của đường thẳng  d2

với trục Ox là B , còn giao điểm của đường thẳng   d1 d2 là C Tam giác ABC là tam giác gì? Tìm tọa độ các điểm A B C, ,

c) Tính diện tích tam giác ABC

Lời giải a)

B

A là giao điểm của ( )d với trục tung 1 yA 2 A 0; 2

B là giao điểm của ( )d với trục hoành 2 0 1 2 4  4;0

Bài 13 Xác định hàm số bậc nhất y ax b  trong mỗi trường hợp sau :

a) Đồ thị của hàm số song song với đường thẳng y3x1 và đi qua điểm A 2;5 b) Đồ thị của hàm số vuông góc với đường thẳng y x 5 và cắt Ox tại điểm có hoành độ bằng 2

c) Đồ thị hàm số đi qua A1; 2 , B 2; 3 

d) Đồ thị hàm số có hệ số góc là 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

e) Đồ thị hàm số tạo với trục hoành một góc 600 và đi qua điểm B1; 3 

Lời giải a) Đồ thị hàm số  d song song với đường thẳng y3x1

Vậy đồ thị hàm số cần tìm là 5 1

y  x d) Đồ thị hàm số có hệ số góc là 2 và cắt trục tung tại điểm có tung độ là 2

    d y:  3x b

Đồ thị hàm số đi qua điểm B1; 3    3 3.1    b b 3 3

Vậy đồ thị hàm số cần tìm là y 3x 3 3

B – HÌNH HỌC

Bài 1 Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB2R Kẻ hai tiếp tuyến Ax và By (Ax, By nằm

cùng phía đối với nửa đường tròn) Gọi M là một điểm thuộc nửa đường tròn ( M khác A và

B ) Tiếp tuyến tại M với nửa đường tròn cắt Ax và By theo thứ tự ở Cvà D Chứng minh rằng

e) AB là tiếp tuyến của đường tròn đường kính CD

f) Gọi giao điểm AD vàBC là N Chứng minh MN/ /AC

g) Gọi BN' là tia phân giác của ABD N 'OD Chứng minh 1 1 2

'

OBBD  BN Lời giải

a) Ta có C là giao của hai tiếp tuyến CMvàCA

=>OC là tia phân giác AOM

D là giao của hai tiếp tuyến DMvà DB

=>OD là tia phân giác MOB

MàAOM và MOB là hai góc kề bù

c) C là giao của hai tiếp tuyến CMvàCACA CM

D là giao của hai tiếp tuyến DMvàDBDB MD

CA BD CM MD

CA BD CD

d) Trong tam giác vuông CODcó OM2 CM MD  R2CA BD

mà R không đổi AC BD không đổi khi M di chuyển trên nửa đường tròn ;

2

ABO

e) Gọi I là trung điểm CD

mà Olà trung điểm AB OIlà đường trung bình hình thang ABDC AC BD / / 

Q I

D

C

M

g) Gọi giao của OIvới đường tròn là Q

mà OI AB OB OQ R,   OBQvuông cân tại O

cung CDvuông góc với ABtại I Tiếp tuyến của đường tròn ( )O tại Ccắt đường thẳng ABtại E

a) Tính độ dài OEvà CD

b) Chứng minh tam giác EDC cân và ED là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

c) Chứng minh CA là tia phân giác của DCE VàAlà tâm đường tròn nội tiêp tam giác DCE d) Chứng minh BI AE BE AI 

Lời giải

2 1

a) CD ABtại I CI ID Xét OCE vuông tại C có CI OE,OI 2cm OC; 3cm

b) Xét EDC có CI ID EI; CD=> EDC cân tại E

Ta có ODC cân tại O có OI CD=> O1O2

xét OCE và ODE có

OC OD ;  R O1O2, OE chung

=> OCE  ODE(c-g-c)

=> ECO EDO  90 O=> EDODtại D mà D( )O

=> ED là tiếp tuyến của đường tròn ( )O

c) EDC cân tại E có EO là đường phân giác vừa là đường cao mà A EO

=> AC AD => ECA ACD=> CA là tia phân giác của DCE

Ta có EDC có CA và EA là hai phân giác cắt nhau tại A

=> Alà tâm đường tròn nội tiêp tam giác DCE

d) Ta có

3 2 5( )4,5 3 1,5( )

6 1,5 7,5( )1( )

Bài 3 Cho đường tròn O cm;3  và A là một điểm cố định thuộc đường tròn Đường thẳng d tiếp xúc

với đường tròn tại A Trên d lấy điểm M, M khác A Kẻ dây cung AB vuông góc với OM tại H a) Tính độ dài OM và AB khi OH2 cm

b) Chứng minh rằng MBA cân và MB là tiếp tuyến của đường tròn  O

c) Kẻ đường kính AD, đoạn thẳng DM cắt đường tròn tại E Chứng minh rằng

2

MA MH MO ME MD   từ đó suy ra EHM ODM

d) Chứng minh rằng khi M chạy trên đường thẳng d thì trọng tâm G của tam giác BOD luôn chạy trên một đường tròn cố định

Lời giải

a) Vì MA là tiếp tuyến của  O nên  90OAM  

Xét OAM vuông tại A, đường cao AH có

Tam giác OAB có OA OB R  , suy ra OAB cân tại O

Mà OH AB (giả thiết) nên OH là đường cao đồng thời cũng là trung tuyến, phân giác của OAB

12

  (hai cạnh tương ứng) và OAM OBM (hai góc tương ứng)

Mà OAM   90 OBM  90 MB là tiếp tuyến của  O

Tam giác MBA có MA MB (chứng minh trên)  MBA cân tại M (dấu hiệu nhận biết) c) Điểm E thuộc đường tròn đường kính AD, suy ra 1

A

AM MH MO (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (1)

Xét ADM vuông tại A, đường cao AE có

2

AM ME MD (hệ thức lượng trong tam giác vuông) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MA2 MH MO ME MD   (điều phải chứng minh)

Mà ABDB (chứng minh trên) OFDB (từ vuông góc đến song song)

    nằm trên đường tròn đường kính OK cố định

Vậy khi M chạy trên đường thẳng d thì trọng tâm G của tam giác BOD luôn chạy trên đường tròn đường kính OK cố định

Bài 4 Cho đường tròn O R, , đường kính AB Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến  d và  d'

với đường tròn  O Một đường thẳng qua O cắt đường  d ở M và cắt đường thẳng  d' ở

P Từ O vẽ một tia vuông góc với MP và cắt đường thẳng  d' ở N

 AOM BOP (đối đỉnh)

 là tiếp tuyến của  O

c) Có MA MI là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại , M MA MI

M

Dấu “=” xảy ra AM NB R M d sao cho MA R

Vậy diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất M d sao cho MA R

Bài 5 Cho đường tròn  O , bán kính OA R Vẽ dây cung BC vuông góc với OA tại trung điểm

H của OA

a) Tứ giác ABOClà hình gì? Vì sao?

b) Gọi K là điểm đối xứng với Oqua A Chứng minh rằng , , ,K B O C cùng thuộc một đường tròn;

c) KB và KClà tiếp tuyến của đường tròn  O ;

d) Tam giác KBClà tam giác gì? Vì sao?

e) Tính độ dài BCtheo R

Lời giải

a) Tứ giác ABOClà hình gì? Vì sao?

- Xét tam giác ABO, có: BH vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên tam giác ABOcân tại B nên BA BO (tính chất)

Mà BO OA R  BA BO AO 

Chứng minh tương tự, ta có: CA CO AO 

Do đó CA CO BO AB  

Suy ra tứ giác ABOClà hình thoi

b) Gọi K là điểm đối xứng với Oqua A Chứng minh rằng , , ,K B O C cùng thuộc một đường tròn;

Vì K là điểm đối xứng với Oqua A nên AK AOmà AO AB

Do đó ; ;K B O cùng thuộc đường tròn

Chứng minh tương tự, ta có: ; ;K C O cũng cùng thuộc đường tròn

Vậy , , ,K B O C cùng thuộc một đường tròn;

c) KB và KClà tiếp tuyến của đường tròn  O ;

Vì CA CO AO  (chứng minh trên) nên tam giác ACOđều AOC60 0

Xét tam giác KCO, có KCO90 ;0 COK600CKO 30  0

Chứng minh tương tự, ta có: BKO 30  0

Do đó BKC60 0

Xét tam giác KBC, có KB KC (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) mà BKC600

Suy ra Tam giác KBClà tam giác là tam giác đều

Bài 6 Cho nửa đường tròn O R , đường kính ;  AB, C là một điểm nằm trên nửa đường tròn Kẻ

phân giác BI của góc ABC ( I thuộc đường tròn) Gọi E là giao điểm của AI và BC e) Tam giác ABE là tam giác gì? Vì sao ?

f) Gọi K là giao điểm của AI và BC Chứng minh EKAB

g) Gọi F là điểm đối xứng với K qua I Chứng minh AF là tiếp tuyến của  O h) Khi C di chuyển trên nửa đường tròn thì E di chuyển trên đường nào ?

Lời giải