ON THI HSG TOAN 9 DE 15

giác ABC Chú ý: Có thể dùng diện tích để c/m Câu 4.. 5 điểm Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt nhau tại H.[r]

ÔN TẬP THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2017 – 2018

ĐỀ THI SÔ 15

Thời gian làm bài: 150 phút

Câu 1 (4 điểm)

a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 2018 và

1 1 1 1

2018

a b c   Tính giá

a b c

b) Rút gọn biểu thức

3 2 2

5 1

 

Câu 2 (3 điểm)

Giải phương trình

2 2

2

4

5

4 4

x x

Câu 3 (3 điểm)

Tìm số tự nhiên y để y2  1x3 y3  1x chia hết cho 6, biết x N*

Câu 4 (5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt nhau tại H

a) Giả sử HB = 6cm; HF = 3cm; CE = 11 và CH > HE Tính độ dài CH; EH b) Gọi I là giao điểm EF và AH Chứng minh rằng

IH HD

AI AD

c) Gọi K là điểm nằm giữa C và D Kẻ AS vuông góc HK tại S Chứng minh SK là phân giác của DSI

Câu 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC, I là điểm nằm trong tam giác Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh

BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F

AI BI CI

ID IE  IF 

Câu 6 (2 điểm)

Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng

0

=== hết===

HƯỚNG DẪN Câu 1 (4 điểm)

a) Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn a + b + c = 2018 và

1 1 1 1

2018

a b c   Tính giá

a b c

Giải:

Thay a + b + c = 2018 vào

1 1 1 1

2018

a b c   ta được

a b c  a b c 

Ta có:

0

a b c  a b c   a b c a b c     

a b a b c c

ab c a b c

   

 

ab c a b c

 

0

a b

ab c a b c

 

a b ca cb c  2 ab 0

a b c a c   b a c  0

         a b a c b c         0

0; 2018 2018

0; 2018

a b c

a b a c b c

a c b

a b c

b c a



  

Ta có: A =

2018



Mà a2017 b2017 a b a   2016  a2015b  ab2015 b2016  0 nên A = 2017

1 2018

b)Rút gọn biểu thức A =

3 2 2

5 1

 



a

 

2 5 2 2 5 1

Vì a > 0 nên a = 2 5 1  

Và 3 2 2    2 1  2  2 1 

Vậy

 

 

2 5 1



Câu 2 (3 điểm)

Giải phương trình

2 2

2

4

5

4 4

x x

 

2 2

2

2

Đặt

2

2

x

y

x



 ta được PT y2 4y 5 0   y 1 y 5   0 y1  1;y2  5

2

2

x

x

+

2 2

x

x

Vậy S = {- 2; 1}

Câu 3 (3 điểm)

Tìm số tự nhiên y dể y2  1x3 y3  1x chia hết cho 6, biết x N*

Gợi ý x3  x 3 , từ đó ta có hướng viết lại biểu thức y2  1x3 y3  1x dưới dạng tổng mới , loại trừ các hạng tử chia hết cho 3 từ đó tìm được điều kiện cho y

y  x  y  xy x x y x x y x  x y x y x  x  x

y x2 3  xxy21 yx3  x

+ Chỉ ra x3 – x chia hết chi 6

+ A chia hết cho 6 khi xy21ychia hết cho 6

Dễ thấy xy21y 2, do đó A chia hết cho 6 khi y = 3k hay y = 3k -1

Câu 5 (3 điểm)

Cho tam giác ABC, I là điểm nằm trong tam giác Các tia AI, BI, CI cắt các cạnh

BC, AC, AB lần lượt tại các điểm D, E, F

AI BI CI

ID IE  IF 

+ Kẻ qua A đường thẳng song song với BC cắt

BE tại K, cắt CF tại H

+ AH // BC suy ra

AF AH

FB BC & AK // BC suy ra

AE AK

EC BC

Do đó:

AF AE AH AK HK

FB EC BC BC BC (1)

+ AH // CD suy ra

AI AH

ID CD & AK // BD suy ra

AI AK

ID BD

Do đó:

AI AH AK AH AK HK

ID CD BD CD BD BC



+ Từ (1) và (2) suy ra

AI AF AE

ID FB EC (3)

K H

D

E F

A

I

L M

I S

E H F

D

A

K

+ Chứng minh tương tự ta được:

BI BF BD

IE FADC (4) &

CI CE CD

IF EABD (6) + Cộng (3), (4), (5) vế theo vế ta được

AI BI CI AF AE BF BD CE CD

IDIE IF FB EC FADC EA BD

       

và chỉ khi a = b

AI BI CI

giác ABC

Chú ý: Có thể dùng diện tích để c/m

Câu 4 (5 điểm)

Cho tam giác ABC nhọn, ba đường cao AD, BF, CE cắt nhau tại H

c) Giả sử HB = 6cm; HF = 3cm; CE = 11 và CH > HE Tính độ dài CH; EH

d) Gọi I là giao điểm EF và AH Chứng minh rằng

IH HD

AI AD

c) Gọi K là điểm nằm giữa C và D Kẻ AS vuông góc HK tại S Chứng minh SK là phân giác của DSI

HB HE

HC HE HB HF

Đặt CH = x thì HE = 11 – x (với 0 < x < 11)

Ta có x11 x18 x211x18 0

Vì CH + EH = 11; CH > EH nên CH = 9; HE = 2

b) Ta có cosA =

AF AE

Suy ra AFEABC

C/m tương tự ta được CFD CBA (c.g.c) suy ra CFD ABC 

Do đó AFE CFD Mà AFE EFB CFD BFD    900 EFB BFD  Vậy FB là phân giác của

Do đó theo t/c đường phân giác trong và ngoài ta có:

&

cần c/m HM = HL

+ Ta có: HL // SA

HL HI

SA AI

(2) và MH // SA

SA AD

(3)

Từ (1) , (2), (3) suy ra

HL MH

HL MH

SA SA

góc ISK

Câu 6 (2 điểm)

Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng

0

0

y z x z x z x y x y y z

0

x x y x y y y z y z z z x z x

x x y y y z z z x

2x 2x y 2y 2y z 2z 2z x 0

(đúng)

=============