de thi hsg toan 9

1 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn O ; R, hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H.. Kẻ đường kính AK của đường tròn O ; R, gọi I là trung điểm của BC..[r]

PHÒNG GD&ĐT BÌNH GIANG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG I

NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN - LỚP 9

(Thời gian làm bài: 150 phút)

Câu I (2,0 điểm).

Cho biểu thức:

A

x x 1 x x 1 1 x

    với x 0, x 1   1) Rút gọn A

2) Chứng tỏ rằng:

1 A 3



Câu II (2,0 điểm).

1) Giải phương trình: x  x 15   17

2) Tìm x, y sao cho: 5x 2 x 2 y      y2   1 0

Câu III (2,0 điểm).

1) Tìm số nguyên x, sao cho : x2  x p 0   với p là số nguyên tố.

2) Tìm m để hàm số bậc nhất

2

2

m 2013m 2012

m 2 2m 3 là hàm số nghịch biến.

Câu IV (3,0 điểm).

1) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ; R), hai đường cao BE và CF của tam giác cắt nhau tại H Kẻ đường kính AK của đường tròn (O ; R), gọi I là trung điểm của BC.

a) Chứng minh AH = 2.IO.

b) Biết BAC 60   0, tính độ dài dây BC theo R.

2) Cho  ABC(A 90 )   0 , BC = a Gọi bán kính của đường tròn nội tiếp

ABC

 là r Chứng minh rằng:





.

Câu V (1,0 điểm).

Cho x 3y 1   Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: C x  2 y2

–––––––– Hết ––––––––

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG VÒNG I NĂM HỌC 2012-2013

MÔN: TOÁN - L Ớ P 9

Câu I

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ)

A

A

A







A



, với x 0, x 1 

0.25 0.25

0.25 0.25

2

(1,0 đ)

Xét

A



2

1

A 0 3

A 3



0.50

0.25 0.25

Câu II

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ)

ĐKXĐ: x 15

 





0.25 0.25 0.25 0.25

2

(1,0 đ)

ĐKXĐ: x 0

  2

(1)

Vì 2 x 1 2 0, x y 2   0 x 0, y

Để (1) xẩy ra thì

1 x

1

2









0.25 0.25

0.25

0.25

Câu III

(2,0 điểm)

1

(1,0 đ) Theo bài ra:p x  2  x x x 1     mà x, x + 1 là số nguyên liên tiếp

nên x x 1   là số chẵn  p là số chẵn

Mặt khác p là số nguyên tố nên p = 2

0.25 0.25

 x2 x 2 0   x 2 x 1      0 x = 1 hoặc x = - 2 (TM) 0.50

2

(1,0 đ)

Để hàm số

2

2

  nghịch biến thì 2

2

0



  (1) m2  2 2m 3 m 22  1 0 m

1 m 2012

0.25 0.25

0.25

0.25

Câu IV

(3,0 điểm)

1a (1,0 đ)

Vì B, C thuộc đường tròn đường kính

KB AB,KC AC

BK // CH,CK // BH

 BHCK

 là hình bình hành

I là trung điểm của BC (gt)

I

 là trung điểm của HK

O là trung điểm của AK (gt)

OI

 là đường trung bình của KAH

1

2

0.25

0.25

0.25 0.25

1b

(1,0 đ)

KOC 2.OAC

Chứng minh tương tự: KOB 2.OAB  

Vì I là trung điểm của BC (gt)  OI BC

Trong OIC I 90 0

:

2

0.25 0.25 0.25

0.25

2

(1,0 ) đ



C/m được AB + AC = 2r + a

AB AC BC 2

   

2

0.25 0.25

0.25

BĐT (1) đúng 





, dấu “=” xảy ra khi ABC v/cân tại A

0.25

Câu V

(1,0 điểm) (1,0 đ)

biểu thức C:  C 10y 2 6ay 6y a  2 2a 1

2

2

1 min C

10

khi:

3

1

10





0.25 0.50

0.25

* Học sinh làm bằng cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.