Tìm vị trí của EF để tứ giác ABFE có diện tích lớn nhất.[r]
Trang 1Phòng GD & ĐT Thọ xuân Đề thi học sinh giỏi lớp 9
Trờng THCS Xuân Lập Năm học: 2010 – 2011
Môn: Toán Thời gian: 120 phút
đề đề xuất
Bài 1 (3.0đ) Biến đổi đơn giản các biẻu thức.
a A =
81
34 2 25
14 2 16
1 3
b B =
100 99
1 99
98
1
3 2
1 2
1
1
Bài 2: (4.0đ) Rút gọn và tính giá trị của biểu thức.
a C =
b a ab
b a a b
Với a =
2003
11
20 b =
2003
11 18
b Tìm các căp số (x,y) nguyên dơng thỏa mãn
x2 - y2 = 2003
Cõu 3 : ( 5điểm ) giải phương trỡnh
a) x x x
1
3 6
= 3 + 2 x x2
b)
4
( x )
Bài 4: (3.0 điểm)
Cho nửa đường trũn (O, R) đường kớnh AB EF là dõy cung di động trờn nửa đường trũn sao cho E thuộc cung AF và EF = R AF cắt BE tại H AE cắt BF tại C CH cắt AB tại I
a Tớnh gúc CIF
b Chứng minh AE.AC + BF BC khụng đổi khi EF di động trờn nửa đường trũn
c Tỡm vị trớ của EF để tứ giỏc ABFE cú diện tớch lớn nhất Tớnh diện tớch đú
Bài 5 ( 3 điểm)
Cho tam giỏc ABC nhọn và O là một điểm nằm trong tam giỏc Cỏc tia AO, BO, CO lần lượt cắt BC, AC, AB tại M, N, P Chứng minh :
AM BN CP+ +
Bài 6 (2điểm) Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0 a b c, , 2 và a+b+c=3 Chứng
minh a3 b3 c3 9
đáp án và thang điểm
Trang 2b 9 1.5 đ
2 a Rút gọn : a - b
Tính đợc kết quả: 2
b x2 - y2 = 2003
(x - y)(x + y)=2003
=> x -y và x+ y là ớc cùng dấu của 2003
Mà Ư(2003) 1 ; 2003
vì x, y dơng nên x+y> x-y
Ta xét hai trờng hợp
1001
1002 1
2003
1001
1002 2003
1
y
x yx
yx
y
x yx
yx
1.0đ 1.0đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ
0.5đ
0.5đ
Vậy cặp số (x,y) nguyên dơng thảo mãn x2 -y2 = 2003
3
a) ĐK 0 < x < 1 và x
2 1
Khử mẫu ở vế trỏi ta được phương trỡnh:
3( x 1 x) = 3 + 2 x x2
Đặt x 1 x= t đk : 0 < t < 2 Phương trỡnh viết thành : t2 - 3 t + 2 = 0 Kết luận: x = 0 ; x = 1 là nghiệm của phương trỡnh đó cho
b)
điều kiện: 1
3
x x
Đặt a =(x-1)2 ; b = x2 - 3 Phươngtrỡnh
4
( x )
trở thành:
0,5đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ
Trang 35
2
4
2
1
2
a
Dấu = xãy ra khi
2 1 1
a b b
Vậy nghiệm của phương trình là x = 2
- BE, AF là hai đường cao của ABC CI là đường cao
thứ ba hay CIAB
- Tứ giác IHFB nội tiếp HIF = HBF hay CIF =
EBF
- EOF đều nên EOF = 600
- EF = 600 CIF = EBF = 300
- Chứng minh ACI đồng dạng với ABE
AE
AI AB
AC
- Tương tự BCI đồng dạng với BAE được:
BI BA BF BC BF
BI BA
BC
- Cộng được: AE.AC + BF BC = AB.AI + AB.BI
=AB(AI + IB) = AB2 = const
- Chứng minh ABC đồng dạng với FEC
2 2
R
R AB
EF S
S
ABC
FEC
ABC
S
4
3
- Để S ABFE lớn nhất S ABC lớn nhất CI lớn nhất C
0,5®
1®
1®
1®
E
F C
H I
Trang 4chạy trên cung chứa góc 600 vẽ trên AB nên CI lớn nhất khi
I O CAB cân EF // AB
- Lúc đó
4
3 3 3
2
3
S R
R R
S ABC ABFE
N A
O
K
P
Từ A và O kẻ AH BC
OK BC (H, K BC)
AH // OK
Nên OM OK
AM AH (1)
1 2 1 2
BOC
ABC
OK BC
S AH BC AH
(2) (1) , (2) BOC
ABC
S AM
Tương tự : AOC
ABC
S BN
AOB
ABC
S CP
OM ON OP
AM BN CP S S S (3)
Với ba số dương a,b,c ta chứng minh được:
(a+ b + c) ( 1 1 1
a b c ) 9 Nên ( OM ON OP AM)( BN CP) 9
AM BN CP OM ON OP (4)
Từ (3) ,(4) suy ra :
AM BN CP 9
OM ON OP (đpcm)
V× vai trß cña a, b, c nh nhau, kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶
sö: a b c
0,5đ 0,5đ
1đ
1đ
0,5® 0,5®
0,5®
0,5®
Trang 5Khi đó vì 0 a b c, , 2 và a+b+c=3 nên ta có 0 a1 3
1 c2 (c-1)(c-2)(c+3) 0 c3 7c 6
Xét hai trờng hợp của b
+Nếu 0 b1 b3 b Khi đó ta có
a b c a b c
Mà a+b+7c-6 = (a+b+c)+6c-6 3+6.2-6=9 a3 b3 c3 9
+ Nếu 1 b2 b3 7b 6 Khi đó ta có
-6a0)
Kết luận a3 b3 c3 9(đpcm)