Đề Thi HSG Toán 12 - THPT Chí Linh [2009 - 2010] doc

Trường THPT

chí linh

-*** -Đề Thi học sinh giỏi lớp 12

năm học 2009 - 2010 Môn Toán

Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: ( 3,0 điểm)

1) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1

1

x y x





 tại giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung.

2) Cho hàm số 3 2

Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2, x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3.

Câu 2: (1,5 điểm)

Tìm điểm cực trị của hàm số 2 sin

2

cos x

Câu 3: (1,5 điểm)

Giải phương trình : 4 sin 3 os2x c x 3.cosxsinx

Câu 4: ( 3,0 điểm)

Trong mặt phẳng (P) cho đường tròn tâm O đường kính AC=2R B là điểm di động trên đường tròn (O) ( B khác A,C) trên đường thẳng d vuông góc với (P) tại A lấy điểm

S cố định Mặt phẳng (Q) qua A và vuông góc với SC cắt SC, SB lần lượt tại M,N.

1) Cho CAB , SA=a Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a,R,  .

2) Khi B di động trên đường tròn (O) Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC tại D Chứng minh rằng:

a) D nằm trên một đường thẳng cố định.

trong đó SSCD,SSAC,SSAD,SACD là diện tích các SCD, SAC, SAD, ACD.

Câu 5: (1,0 điểm)

Cho 0

2

   Chứng minh rằng

sin

y  y.

-Hết -Hướng dẫn chấm toán 12

Cõu1

(3,0đ)

1,5

1)1,5đ

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số 3 1

1

x y x





 tại giao điểm của đồ thị hàm số với

trục tung

1

x x

 



1 3

y

2

y

0,5

Phương trỡnh tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại A(0;-1) là

y=y’(0)(x-0)-1<=> y=2x-1

0,5

ymx  mx  m Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2, x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3

Hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số và truc hoành là nghiệm của phương trỡnh

mx  mx    m m x  x   

0,25

 m=0 => (1) vụ nghiệm

m

0,25

Xột f(x)=x3-3x2+1 , f’(x)=3x2-6x, f’(x)=0 0

2

x x





  

 bảng biến thiờn

x -∞ 0 1 2 +∞

f’(x) + 0 - - 0 +

1

-1

3

0,25

Đồ thị hàm số cắt ox tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1,x2,x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3 <=> (1)

có 3 nghiệm phân biệt x1,x2,x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3 <=> Đường thẳng (d):y 1

m

  cắt đồ thị (C): f(x)=x3-3x2+1 tại 3 điểm phân biệt có hoành độ độ x1,x2,x3 thoả mãn : x1<1<x2<x3.

(d) cùng phương với ox cắt oy tại điểm có tung độ 1

m



0,25

Từ bảng biến thiên =>

3

m m

m

m m

m

m

 







KL: ( ;1)1

3

0,5

Câu 2

(1,5đ)

T×m ®iÓm cùc trÞ cña hµm sè 2 sin

2

cos x

TXĐ: D=R

y’=-sin2x+cosx

0,25

y’=0 <=>cosx(1-2sinx)=0

2

1

6

s inx

2 6

x

  













  





0,25

2

x  k 

=>y’’=2-sin(

  

)>0=>

2

x  k 

là điểm cực tiểu của hàm số 0,25

2 6

=>y’’=-3/2 <0=> 2

6

là điểm cực đại của hàm số

5 2 6

=>y’’=-3/2=> 5 2

6

là điểm cực đại của hàm số

0,25

vậy- điểm cực tiểu của hàm số là

2

x  k 

(k)

-điểm cực tiểu của hàm số là 2

6

6

  (k)

0,25

Cõu 3

(1,5đ)

Giải phương trình : 4sin 3 os2x c x 3.cosxsinx(1)

2 sin 5x 3.cosx sinx

2

k



0,5

Cõu 4

(3,0đ)

1) 1,0đ

N A

C

D

S

B

M

O

Trong tam giac vuụng ABC cú BC=AC.sinα=2Rsinα ; AB=AC.cosα

0,25

2 1

2

ABC

2 2

.

aR



2)(2,0đ)



0,5

Do A cố định, (SAC) cố định nờn D nằm trờn đường thẳng cố định đi qua A và vuụng gúc với

(SAC)

0,5

0,25

Trong tam giác vuông SAB có 12 12 12 12 12 1 2(1)

Nhân 2 vế của (1) với 2

.

9V S ACD

9 S ACD 9 S ACD 9 S ACD 9 S ACD

0,5

Câu 5

(1,0đ)

Cho 0

2

   Chøng minh r»ng

sin

y  y

Xét ( ) s inx (0; ] '( ) cos 2 s inx

2

( ) cos s inx g'(x)= cos s inx cos s inx 0 [0; ]

2

=> g(x) nghịch biến trên [0; ]

2



0,25

2

( )

g x

x

=>f(x) nghịch biến trên (0; ]

2



0,25

nên 0

2

   =>f(x)≥f(y)<=> sin

sin

Người soạn

Vũ Chí Cương- THPT Chí Linh