đề thi hsg toán 9

Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được.. Câu 4.[r]

PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang Đề số: 01

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9

NĂM HỌC: 2017 - 2018 PHẦN THI CÁ NHÂN Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) (Mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Câu 1: Tính giá trị biểu thức

Câu 2: Tìm a, b biết: 2 a+15 =3 b −2

2 a+3 b −1

6 a

Câu 3 Có 6 đôi giày màu trắng và 13 đôi giày màu đen bỏ chung trong một cái hộp Hỏi phải lấy ra

ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được

Câu 4 Cho a là số nguyên, biết a chi hết cho 2 nhưng không chia hết cho 3 Tìm dạng chung của a Câu 5 Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2017 với S(n) là tổng các chữ số của n.

Câu 6 Giải phương trình 3 x 3 3 x 633, biết rằng căn bậc 3 của một số a là số x sao cho 3

x a

Câu 7 Tìm x và y biết: x2y2 10 vàxy 3

Câu 8 Tìm các số tự nhiên x, y biết x22xy2y2 25

Câu 9 Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC Biết AB = 4cm; AC = 5cm và AM =

41 2

cm Tính diện tích ABC

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH = 4cm; AC = 6cm Tính BC.

II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11 (7, 0 điểm)

a) Cho P = 8 3 1 

x x

x



  với x 0 Rút gọn biểu thức P và tìm x để

2P

Q = 1-P là số nguyên

b) Biết 1 2 là một nghiệm của đa thức P(x) =x2bx c Tìm nghiệm còn lại của P(x), biết b

và c là các số hữu tỷ

c) Cho x, y là các số thực dương 0 thỏa mãn

1 1

1

x y  Chứng minh x y  x1 y1

Câu 12 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH, trung tuyến AD.

a) Tính AC, HB, HC, AH, biết BC = 25cm, AB = 15cm.

b) Quan H kẻ đường thẳng song song với AD đường thẳng này cắt AC tại I và cắt đường thẳng

AB tại K Chứng AK.AC = AB.AI và HI + HK = 2.AD.

c) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh 3CF2 3 BE2 3 BC2

Câu 13 (4,0 điểm).

a) Tìm x, y biết: 2 2 2

xy

x y y x

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x1 y y  y 1 x x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x23xy 2y2 4y5

-

HẾT -Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Hướng dẫn chấm (Đề: 01)

Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.

- Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Câu 1

Đáp số:

3

11 1 2



Câu 2

Đáp số: (a;b) = (

1 2

;

2 3



Câu 6 Đáp số: x3; x6

Câu 10 Đáp số: BC = 2 10 2 (cm)

Câu 11

a)Ta có: P = 8 3 1  2 3 1  1 2

x x



Khi đó

1-P 1 P Để Q là số nguyên khi và chỉ khi

2

1 P là số nguyên

1

x



n x

Vậy để Q là số nguyên thì 2

1

x n

 với n là số nguyên dương tùy ý

2,0

0,5

0,5

b) Vì 1 2 là một nghiệm của đa thức P(x) =x2bx c nên

1 22b1 2  c 0 3 b c  b2 2 0

3 b c b 2 2

Nếu

3

2

b c b

b

 



Do b, c là các số hữu tỷ nên

3 2

b c b

 

 là số hữu tỷ, do đó 2 cũng là số hữu tỷ, điều này mâu thuẫn vì 2 là số vô tỷ Vậy

b   b  c

Khi đó phương trình đã cho trở thành

 2

Vậy nghiệm còn lại của P(x) là 1 2

0,5

0,5

0,5

0,5

c) Từ

1 1

1 xy x y

x y     Ta có

0,5

 x1 y12   x y 2 2 x1 y1   x y 2 2 xy x y  1

Câu 12

1 1

E

F I

K

D H

C

B A

a) Theo hệ thức lượng ta suy ra:

+ AC BC2 AB2  252152 20cm

+

2 152

25

AB

BC

; + AH  BH HC.  9.16 12 cm

1,0

b) Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên

CD = DB = AD, suy ra CAD C  và A1B

Vì KH//AD nên K A1, do đó K B , từ đây suy ra tam giác vuông

ABC đồng dạng với tam giác vuông AKI (g-g)

AB AC

AB AI AC AK

AK AI

Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên 2AD = BC

Vì K B nên tam giác HBK cân tại H  HK HB

Do HI//AD  I1 CAD C   CH IH

Do đó IH HK HB HC BC2AD

0,50

0,50

0,50 0,50

c) Ta có 3CF2 3 BE2 3 BC2  3CF BC2. 3 BE BC2. BC

Ta sẽ chứng minh CF BC CH2.  3

Thật vậy: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

CH CF AC CH CF AC CF CH BC CF BC CH ;

Chứng minh tương tự ta cũng có: BE BC BH2.  3

Do đó 3 CF BC2. 3 BE BC2. 3CH3 3 BH3 CH BH BC(đpcm)

0,50

0,50 Câu 13 a) Ta có: điều kiện x y , 2 Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có:

x y y x



Dấu “=” xảy ra:

2 2

4

2 2

x

x y y





0,25 1,50

0,25

b) Ta có: điều kiện x y , 1, từ x1 y y y1 x x

suy ra x1x x  y1y y

Do đó nếu xy1 thì x1x x y1y y, tương tự nếu

0,25

0,25 0,50 0,50

1 x y   x 1 x x  y 1 y y , do đó x = y.

Vì x = y nên S = x23xy 2y2 4y5=  

2

2 y 1  3 3 Vậy GTNN của S = 3 khi x = y = 1

0,25 0,25

HẾT -PHÒNG GD-ĐT HỒNG LĨNH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi có 01 trang Đề số: 02

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THỊ XÃ LỚP 9

NĂM HỌC: 2017 - 2018 PHẦN THI CÁ NHÂN Môn: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút

I PHẦN GHI KẾT QUẢ (thí sinh chỉ cần ghi kết quả vào tờ giấy thi) (Mỗi câu đúng 0,5 điểm)

Câu 1: Tính giá trị biểu thức

Câu 2: Tìm a, b biết:

a

Câu 3 Có 7 đôi giày màu trắng và 14 đôi giày màu đen bỏ chung trong một cái hộp Hỏi phải lấy ra

ít nhất bao nhiêu chiếc giày (mà không nhìn vào trong hộp) để chắc chắn có một đôi cùng màu và đi được

Câu 4 Cho a là số nguyên, biết a chi hết cho 4 nhưng không chia hết cho 3 Tìm dạng chung của a Câu 5 Tìm số tự nhiên n biết n + S(n) = 2019 với S(n) là tổng các chữ số của n.

Câu 6 Giải phương trình 3 x 4 3 x 834, biết rằng căn bậc 3 của một số a là số x sao cho 3

x a

Câu 7 Tìm x và y biết: x2y2 5 vàxy 2

Câu 8 Tìm các số tự nhiên x, y biết 2x22xy y 225

Câu 9 Cho tam giác ABC có M là trung điểm cạnh BC Biết AB = 5cm; AC = 6cm và AM =

61 2

cm Tính diện tích ABC

Câu 10 Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH, biết BH =6cm; AC = 7cm Tính BC.

II PHẦN TỰ LUẬN (thí sinh trình bày lời giải vào tờ giấy thi)

Câu 11 (7, 0 điểm)

a) Cho P = 8 3 1 

x x

x



  với x 0 Rút gọn biểu thức P và tìm x để

2P

Q = 1-P là số nguyên

b) Biết 1 2 là một nghiệm của đa thức P(x) =x2bx c Tìm nghiệm còn lại của P(x), biết b

và c là các số hữu tỷ

c) Cho x, y là các số thực dương 0 thỏa mãn

1 1

1

x y  Chứng minh x y  x1 y1

Câu 12 (4,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại, đường cao AH, trung tuyến AD.

a) Tính AC, HB, HC, AH, biết BC = 25cm, AB = 15cm.

b) Quan H kẻ đường thẳng song song với AD đường thẳng này cắt AC tại I và cắt đường thẳng

AB tại K Chứng AK.AC = AB.AI và HI + HK = 2.AD.

c) Gọi E và F lần lượt là hình chiếu của H trên AB và AC Chứng minh 3CF2 3 BE2 3 BC2

Câu 13 (4,0 điểm).

a) Tìm x, y biết: 2 2 2

xy

x y y x

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn x 2 y y y 2 x x Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = x23xy 2y2 8x35

-

HẾT -Lưu ý: - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay;

- Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

Hướng dẫn chấm (Đề: 02)

Lưu ý: - Từ câu 1 đến câu 10 thí sinh chỉ cần ghi kết quả, không trình bày lời giải.

- Mọi cách giải khác đáp án, đúng và ngắn gọn đều cho điểm tương ứng.

Câu 1

Đáp số:

3

364 2





Câu 2

Đáp số: (a;b) = (

3 4

;

2 3

 ), (2;

13

3 )

Câu 3 Đáp số: 22.

Câu 4 Đáp số: a = 12k+4 hoặc 12k+8 (k là số nguyên)

Câu 5 Đáp số: 1995; 2013

Câu 6 Đáp số: x4; x8

Cách giải: Đặt ẩn phụ

Câu 7 Đáp số: (x,y)=(2;1);(1;2);(-1,-2);(-2,-1)

Câu 8 Đáp số: (x,y)=(0,5);(3,1).

Câu 9 Đáp số: S ABC 15cm2

Câu 10 Đáp số: BC = 58 3 (cm)

Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông

Câu 11 a)Ta có:

x x



Khi đó

1-P 1 P Để Q là số nguyên khi và chỉ khi

2

1 P là số nguyên

1

x



n x

Vậy để Q là số nguyên thì 2

1

x n

 với n là số nguyên dương tùy ý

2,0

0,5

0,5

b) Vì 1 2 là một nghiệm của đa thức P(x) =x2bx c nên

1 22b1 2  c 0 3 b c  b2 2 0

3 b c b 2 2

Nếu

3

2

b c b

b

 



Do b, c là các số hữu tỷ nên

3 2

b c b

 

 là số hữu tỷ, do đó 2 cũng là số hữu tỷ, điều này mâu thuẫn vì 2 là số vô tỷ Vậy

0,5

0,5

0,5

2 0 2 1

b   b  c

Khi đó phương trình đã cho trở thành

 2

Vậy nghiệm còn lại của P(x) là 1 2

0,5

c) Từ

1 1

1 xy x y

x y     Ta có

 x1 y12   x y 2 2 x1 y1   x y 2 2 xy x y  1

0,5

1,5

Câu 12

1 1

E

F I

K

D H

C

B A

a) Theo hệ thức lượng ta suy ra:

+ AC BC2 AB2  252152 20cm

+

2 152

25

AB

BC

; + AH  BH HC.  9.16 12 cm

1,0

b) Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên

CD = DB = AD, suy ra CAD C  và A1B

Vì KH//AD nên K A1, do đó K B , từ đây suy ra tam giác vuông

ABC đồng dạng với tam giác vuông AKI (g-g)

AB AC

AB AI AC AK

AK AI

Vì tam giác ABC vuông tại A, AD là trung tuyến nên 2AD = BC

Vì K B nên tam giác HBK cân tại H  HK HB

Do HI//AD  I1 CAD C   CH IH

Do đó IH HK HB HC BC2AD

0,50

0,50

0,50

0,50

c) Ta có 3CF2 3 BE2 3 BC2  3CF BC2. 3 BE BC2. BC

Ta sẽ chứng minh CF BC CH2.  3

Thật vậy: Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có:

CH CF AC CH CF AC CF CH BC CF BC CH ;

Chứng minh tương tự ta cũng có: BE BC BH2.  3

Do đó 3 CF BC2. 3 BE BC2. 3CH3 3 BH3 CH BH BC(đpcm)

0,50

0,50 Câu 13 a) Ta có: điều kiện x y , 2 Khi đó, áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có: 0,25

1,50

2 2 2 2

x y y x



Dấu “=” xảy ra:

2 2

4

2 2

x

x y y





0,25

b) Ta có: điều kiện x y , 2, từ x 2 y y  y 2 x x

suy ra x 2x x  y 2y y

Do đó nếu xy2 thì x 2x x y 2y y, tương tự nếu

2 x y   x 2 x x y 2 y y, do đó x = y

Vì x = y nên S = x23xy 2y216y35=  

2

2 y  4  3 3 Vậy GTNN của S = 3 khi x = y = 4

0,25

0,25 0,50 0,50 0,25 0,25

HẾT