a Chứng minh rằng tứ giác OBMC nội tiếp đường tròn và xác định tâm K của đường tròn này Giải:... hệ quả góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung ∆MBD ∽ ∆MAB g.g.[r]
Trang 1Đ S 1: QU N 1, NĂM 2014-2015 Ề Ố Ậ Bài 1: (3 đi m)ể Gi i các phả ương trình và h phệ ương trình sau:
a) 3x2+15=0 b) x2− ( 2 √ 3−1 ) x−2 √ 3=0
c) 3x4−10x2−8=0 d) { 7x−5y=33 3x−2y=15
Bài 2: (2 đi m) ể Cho phương trình: x2+3x+m−1=0 (x là n)ẩ
a) Đ nh m đ phị ể ương trình có hai nghi m ệ x1, x2 Tính x1+x2 và x1x2 theo m
b) Đ nh m đ phị ể ương trình có hai nghi m ệ x1, x2 th a mãn: ỏ x1(x14−1)+x2(32x24−1)=3
Bài 3: (1,5 đi m) ể
a) Vẽ đ th (P) c a hàm s ồ ị ủ ố y=− x2
4 b) B ng phép tính tìm t a đ giao đi m c a (P) v i đằ ọ ộ ể ủ ớ ường th ng ẳ ( d ) :x−2y=4
Bài 4: (3,5 đi m) ể Cho tam giác nh n ABC (AB < AC) n i ti p đọ ộ ế ường tròn (O; R) Các ti p tuy n t i B, t iế ế ạ ạ
C c a đủ ường tròn (O) c t nhau t i Mắ ạ
a) Ch ng minh r ng t giác OBMC n i ti p đứ ằ ứ ộ ế ường tròn và xác đ nh tâm K c a đị ủ ường tròn này
b) G i D là giao đi m c a MA và đọ ể ủ ường tròn (O) (D khác A), H là giao đi m c a OM và BC Ch ngể ủ ứ minh r ng MBằ 2 = MD.MA
c) Ch ng minh r ng t giác OADH n i ti p và ứ ằ ứ ộ ế A ^H O=M ^H D
d) Ch ng minh r ng: ứ ằ B ^A D=C ^A H
Trang 2BÀI GI I Ả Bài 1: (3 đi m)ể Gi i các phả ương trình và h phệ ương trình sau:
a) 3x2+15=0 (1)
Gi i: ả
Δ'=02−3 15=−45<0
Do Δ'<0 nên phương trình (1) vô nghi m ệ
V y phậ ương trình (1) vô nghi m ệ
b) x2− ( 2 √ 3−1 ) x−2 √ 3=0
(2)
Gi i: ả
Ta có a−b+c=1−[−(2√3−1) ]+(−2√3)=0 nên phương trình (2) có hai nghi m: ệ
x1=−1; x2=− c
a =−
−2 √ 3
1 =2 √ 3
V y phậ ương trình (2) có t p nghi m là ậ ệ S= { −1; 2 √ 3 }
c) 3x4−10x2−8=0 (3)
Gi i: ả
Đ t ặ t=x2 ( t≥0 )
Phương trình (3) tr thành: ở 3t2−10 t−8=0 (*)
Δ'= ( −5 )2−3 ( −8 ) =25+24=49>0 ; √ Δ'= √ 49=7
Do ∆’ > 0 nên phương trình (*) có 2 nghi m phân bi t:ệ ệ
t1=5+7
3 =4 (nh n); ậ t2=5−7
3 =
−2
3 (lo i) ạ
V i ớ t1=4 thì x2=4 ⇔ x=±2
V y phậ ương trình (3) có t p nghi m là ậ ệ S= { −2; 2 }
d) { 7x−5y=33 3x−2y=15 (4)
Gi i: ả
(4)⇔{14x−10y=66
−15x +10y=−75⇔{ −x=−9
3x−2y=15⇔{ x=9
27−2y=15⇔{x=9 y=6
V y h phậ ệ ương trình (4) có nghi m là ệ ( x; y ) = ( 9; 6 )
Bài 2: (2 đi m) ể Cho phương trình: x2+3x+m−1=0 (x là n)ẩ
a) Đ nh m đ phị ể ương trình có hai nghi m ệ x1, x2 Tính x1+x2 và x1x2 theo m
Gi i: ả
Ta có Δ=32−4 1 ( m−1 ) =9−4m+4=13−4m
Đ phể ương trình có hai nghi m xệ 1, x2
4
V y phậ ương trình có nghi m xệ 1, x2 khi m≤13
4
V i ớ m≤13
4 phương trình có nghi m xệ 1, x2 th a h th c Vi-ét: ỏ ệ ứ
Trang 3a=−
3
1=−3; P=x1x2=c
a=
m−1
1 =m−1 b) Đ nh m đ phị ể ương trình có hai nghi m ệ x1, x2 th a mãn: ỏ x1(x14 −1)+x2(32x24 −1)=3
Gi i: ả
Ta có x1(x14 −1)+x2(32x24 −1)=3
⇔x15−x1+32x25−x2=3
⇔x15+32x25−(x1+x2)−3=0
⇔x15+32x25−(−3)−3=0
⇔x15+32x25=0
⇔x15=−32x25
⇔(x1)5=(−2x2)5
⇔x1=−2x2
⇔x1+2x2=0
⇔(x1+x2)+x2=0
⇔−3+x2=0
⇔x2=3 Thay x2 = 3 vào S và P ta được:
{x1+3=−3
x1 3=m−1⇔{ x1 =−6
x1=m−1
3
⇒m−1
3 =−6 ⇔m−1=−18 ⇔m=−17
(th a) ỏ
Bài 3: (1,5 đi m) ể
a) Vẽ đ th (P) c a hàm s ồ ị ủ ố y=− x2
4
Gi i: ả
B ng giá trả ị
y=− x2
Vẽ đ thồ ị
Trang 4b) B ng phép tính tìm t a đ giao đi m c a (P) v i đằ ọ ộ ể ủ ớ ường th ng ẳ ( d ) :x−2y=4
Gi i: ả
Ta có ( d ) :x−2y=4 hay (d):y=
1
2x−2
Phương trình hoành đ giao đi m c a (P) và (d) là:ộ ể ủ
− x2
4 =
1
2 x−2
⇔− x2=2x−8
⇔ x2+2x−8=0 ( 5 )
Ta có Δ'=12−1.(−8)=1+8=9>0; √ Δ'= √ 9=3
Do Δ'>0 nên phương trình (5) có hai nghi m phân bi t: ệ ệ
x1=−1+3
1 =2; x2=−1−3
V i ớ x1=2 , ta có y1=−22
4 =−1
V i ớ x2=−4 , ta có y2=−(−4 )
2
V y t a đ giao đi m c a (P) và (d) là ậ ọ ộ ể ủ A ( 2; −1 ) , B ( −4 ; −4 )
Bài 4: (3,5 đi m) ể Cho tam giác nh n ABC (AB < AC) n i ti p đọ ộ ế ường tròn (O; R) Các ti p tuy n t i B, t iế ế ạ ạ
C c a đủ ường tròn (O) c t nhau t i Mắ ạ
Trang 5a) Ch ng minh r ng t giác OBMC n i ti p đứ ằ ứ ộ ế ường tròn và xác đ nh tâm K c a đị ủ ường tròn này
Gi i: ả
Ta có M ^B O=900 (tính ch t ti p tuy n)ấ ế ế
⇒ B thu c độ ường tròn đường kính MO (1)
Ta có M ^C O=900 (tính ch t ti p tuy n) ấ ế ế
⇒ C thu c độ ường tròn đường kính MO (2)
T (1) và (2) ừ ⇒ 4 đi m O, B, M, C cùng thu c để ộ ường tròn đường kính MO
V y t giác OBMC n i ti p đậ ứ ộ ế ường tròn đường kính MO và tâm K là trung đi m c a MO ể ủ
b) G i D là giao đi m c a MA và đọ ể ủ ường tròn (O) (D khác A), H là giao đi m c a OM và BC Ch ngể ủ ứ minh r ng MBằ 2 = MD.MA
Gi i: ả
Xét ∆MBD và ∆MAB có:
Trang 6^M1 : chung
^
B1= ^A1 (h qu góc t o b i ti p tuy n và dây cung) ệ ả ạ ở ế ế
⇒ ∆MBD ∆MAB (g.g) ∽
⇒MB
MA=
MD
MB ⇔MB
2=MD MA
c) Ch ng minh r ng t giác OADH n i ti p và ứ ằ ứ ộ ế A ^H O=M ^H D
Gi i: ả
Ta có MB = MC (tính ch t 2 ti p tuy n c t nhau)ấ ế ế ắ
OB = OC = R
⇒ MO là đường trung tr c c a đo n th ng BC ự ủ ạ ẳ
⇒ MO ¿ BC t i H (v i H là trung đi m c a BC)ạ ớ ể ủ
Ta có ∆MBO vuông t i B và có BH là đạ ường cao
⇒ MB2 = MH.MO (h th c lệ ứ ượng)
Và MB2 = MD.MA (do trên)
⇒ MH.MO = MD.MA
Xét ∆MHD và ∆MAO có:
^M2 : chung
MH
MA=
MD
MO (vì MH.MO = MD.MA)
⇒ ∆MHD ∆MAO (c.g.c) ∽
⇒ ^H1= ^A2 (3) (2 góc tương ng) ứ
Xét t giác OADH có: ứ H^1= ^A2 (do trên)
⇒ T giác OADH n i ti p (góc trong b ng góc đ i ngoài) ứ ộ ế ằ ố
⇒ ^H2= ^D1 (4) (cùng ch n cung OA) ắ
Vì OA = OD = R nên ∆OAD cân t i O ạ
⇒ ^D1= ^A2 (5)
Trang 7T (3), (4) và (5) ừ ⇒ ^H1= ^H2
Hay A ^H O=M ^H D
d) Ch ng minh r ng: ứ ằ B ^A D=C ^A H
Gi i: ả
Ta có C ^A H=1800− C ^H A− A ^C H (t ng 3 góc trong ∆ACH)ổ
= B ^H A−A ^C H (vì C ^H A và B ^H A là 2 góc k bù)ề
=900− ^H2−A ^C H (vì B ^H A và ^H2 là 2 góc ph nhau)ụ
=
1800−2 ^H2
=
1800− ^H1− ^H2
=
D ^H A
2 − A ^C H (vì H^1+D ^H A + ^H2=M ^H O=1800 )
=
D ^O A
2 − A ^C H (cùng ch n cung AD c a t giác OADH n i ti p) ắ ủ ứ ộ ế
= D ^C A−A ^C H (h qu góc n i ti p) ệ ả ộ ế
= D ^C B
= B ^A D (cùng ch n cung BD)ắ
V y ậ B ^A D=C ^A H