Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BD vẽ tia Dx sao cho góc BDx có số đo bằng 15 0.. Dx cắt tia AB tại E.[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN
LỚP: 7A
Thầy Ngọc
ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG
Năm học: 2014-2015
Môn thi: Toán 7 - THCS
Câu 1: Thực hiện phép tính
1) ( 34 – 81)( 3
2
5 – 81)(
33
6 – 81) .(
32000
2003 – 81) 2) S = 22010
−22009−22008 .− 2−1
Gợi ý: 1 Trong dãy số có 36
9 – 81 =
36
32 – 81 = 81 – 81 = 0 Do đó tích bằng 0.
2 2S – S = 22011− 22010−22010.− 22009+22009 .− 22
+22−2+2+1 ¿22011− 22011
+1=1
Câu 2: Tìm x biết:
a 14.2
6.
3
8.
4
10.
5
12
30
62.
31
64 =2
x
; b 4
5 +45+45+45
35+35+35 6
5 +65+65+65+65+65
25 +25 =2x
c x21 x2 3 x2 5 x2 70
d
7
3
x
Gợi ý: a. 2 21 .2 32 .2 43 .2 54 .2 65 302 31.31
26=2x
1 2 3 4 30 31
1 2 3 4 30 31 230.26=2
x
1
236=2
x
x=−36
b 4 4
5
3 35.
6 65
2 25=2
x
46
36.
66
26=2
x
(63)6.(42)6=2x
212=2x ⇒ x=12
c Nhận xét: x 2 - 7 < x 2 - 5 < x 2 - 3 < x 2 - 1 và tích của 4 thừa số âm khi có một hoặc ba thừa số
âm
x21 x2 3 x2 5 x2 7 0
2
2
2
2
1; 3; 5; 7
5
5 0
1
1 0
x
x x
x
x x
x
d.
7
3
20
9
x
Câu 3: 1) Cho x3=y
4 và
y
5=
z
6 Tính M =
2 x +3 y+4 z
3 x +4 y+5 z
2) Cho tỉ lệ thức
b d với a0,b0,c0,d 0,ab c, d Chứng minh:
2013 2013 2013
2013 2013
3) Chứng minh rằng: Nếu 2(x + y) = 5(y + z) = 3(z + x) thì 4 5
x y y z
Gợi ý: 1) x3=y
4⇒ x
15=
y
20 ; 5y=z
6⇒ y
20=
z
24 ⇒ x
15=
y
20=
z
24
Trang 2⇒ 2 x
30 =
3 y
60 =
4 z
96 =
2 x+3 y +4 z
30+60+96 ⇒ 3 x
45 =
4 y
80 =
5 z
120=
3 x+4 y +5 z
45+80+120
2 x +3 y+4 z
30+60+96 : 3 x +4 y +5 z
45+80+120 = 2 x
30 : 3 x
45
2 x +3 y+4 z
245
3 x +4 y+5 z=1⇒ M= 2 x +3 y +4 z
3 x+4 y +5 z=
186 245 2) Cho tỉ lệ thức
b d với a0,b0,c0,d 0,ab c, d
Chứng minh:
2013 2013 2013
2013 2013
Ta cú:
Mà:
2013 2013 2013 2013
Từ (1) và (2)
2013 2013 2013
2013 2013
(đpcm)
Cõu 4: Tỡm nghiệm của đa thức:
a) f x( )x2 5x6 b) f x x6 x3x2 x1
c) Chứng minh rằng đa thức :f(x) = – 4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 khụng cú nghiệm nguyờn
d) Chứng minh rằng đa thức f(x) = x8
− x5+x2− x+1 khụng cú nghiệm
Gợi ý: a) x = 2, x = 3.
b, d) Xột từng khoảng
+ Xột x 0 lập luận dẫn đến dẫn đến f(x) 1 > 0
+ Xột 0 < x < 1 lập luận dẫn đến f(x) > 0
+ Xột x 1 lập luận dẫn đến f (x) > 0
Trong cả ba khoảng trờn đều cú f(x) 0 nờn đa thức f(x) khụng cú nghiệm
c)Nếu đa thứcf(x) = –4x4 + 3x3 – 2x2 + x – 1 cú nghiệm thỡ nghiệm đú là ước của -1
Ta cú : f(-1) = -11 0; f(1) = -3 0
Vậy đa thức đó cho khụng cú nghiệm nguyờn
Cõu 5: Cho cỏc số nguyờn dương a, b, c, d, e, f biết: a b>c
d>
e
f và af – be = 1.
Gợi ý: Chứng minh: d ≥ b + f
Từ a b>c
d>
e
f ad > bc, cf >ed và a, b, c, d nguyờn dương nờn ad – bc 1 , cf – ed 1
Cõu 6: 1) Cho hàm số y = f(x) = x 2 x 1
a Vẽ đồ thị của hàm số trên b)Tính f(x 2 + 2) = ?
2) Tìm công thức của hàm số g(x) biết rằng g (1+ 1
x ) =
2 x +1
x2
Gợi ý: 1) b) Ta có f(x 2 + 2) =
2
(x 2) 2
+ (x2 + 2) + 1 = 2x2 + 3
Vậy f(x 2 + 2) = 2x2 + 3
2) Cách 1: Đặt 1 + 1
x +1
x = y
Khi đó g (1+ 1
x ) = g (y) =
2 x +1
2 x +1
x2 +1 - 1 =
x2+2 x+1
x2 -1 = = (
x +1
x )2
-1 = y2 - 1
Trang 3Hay g(y ) = y - 1 g(x) = x - 1
C¸ch 2: §Æt 1 + 1
x = y ThÕ th× x =
1
y −1
Thay vµo c«ng thøc hµm sè ta cã: g(y) =
2
1
1 1 ( ) 1
y y
= y2 - 1 g(x) = x 2 - 1
Câu 7: Cho x = by + cz ; y = ax + cz ; z = ax + by
CMR : P = 1
1
1
Gợi ý: Tõ gi¶ thiÕt ta suy ra : x + y + z = 2 ( ax + by + cz ) (1)
Tõ biÓu thøc x = by + cz ax + x = ax + by + cz x ( a + 1) = ax + by + cz
a + 1 = ax+by +cz
x
1
x
ax+by +cz (1®) Hoµn toµn t¬ng tù:
Tõ biÓu thøc y = ax + cz b + 1 = ax+by +cz
y
1
y
ax+by +cz
Tõ biÓu thøc z = ax + by c + 1 = ax+by +cz
z
1
z
ax+by +cz Suy ra P = 1
1
1
x
ax+by +cz +
y
ax+by +cz +
z
ax+by +cz =
x + y +z
ax+by +cz (2)
Tõ (1) vµ (2) ta suy ra P = 2(ax+by +cz)
ax+by +cz = 2
Câu 8: a) Chứng minh rằng :
2
x y
> 0 với mọi x, yQ
b) So sánh hai biểu thức sau:
2 2
A
1
y x x y
2 2
B
2
y
Gợi ý: b) Ta có:
x
Câu 9:
1) Cho ba số a, b, c thõa mãn: 0 a b 1 c 2 và a + b + c = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của c 2) Cho a, b ,c là các số thuộc đoạn 1;2(–1a, b, c 2) thỏa mãn a + b + c = 0 Chứng minh rằng: a2 + b2 + c2 6
Gợi ý: 1) Vì: 0 a b 1 c 2 nên 0 a b 1 c 2 c 2 c 2 c 2
0 4 3c 6
(vì a + b + c = 1)
Hay 3c 2
2 3
c
Vậy giá trị nhỏ nhất của c là:
-2
3 khi đó a + b =
5 3
2 Ta có: (a + 1)0, (a + 2) 0, suy ra (a + 1)(a – 2) 0
Suy ra: a2 – 2 – a 0, suy ra a2 2 + a Tương tự, cộng vế với vế suy ra đpcm
Câu 10: Cho a > b > 0 So sánh A và B biết:
Trang 4A = 2
và B = 2
Gợi ý: Ta có:
1
n
n n
n
a
a
1
n
n n
n
b
b
Do a > b > 0 nên
AB A > B
Câu 11: Cho a, b, c thảo mãn điều kiện: a + b + c = 0
Chứng minh rằng:
2
Gợi ý: Khai triển
2
1 1 1
a b c
… Suy ra đpcm
Câu 12: Cho a, b, c thoả mãn a + b + c > 0, ab + bc + ca > 0 và abc > 0 Chứng minh rằng a, b,
c là các số dương
Gợi ý: Vì abc > 0 nên ít nhất phải có 1 số dương Không mất tính tổng quát, giả sử a > 0.
Mà: abc > 0 bc > 0
Nếu: b, c < 0 b + c < 0
Từ: a + b + c > 0 b + c > - a (b + c)2 < – a(b + c)
b2 + 2bc + c2 < – ab – ac ab + bc + ca < – b2 – c2 – bc < 0, vô lý
Vậy: b, c > 0 a, b, c > 0
Câu 13: Cho x, y z là các số dương Chứng minh rằng:
3
x y z y z x z x y
Gợi ý:
Ta cã:
x y z
Áp dụng BĐT Cô-si ta có:
1
4
x y z x y z x y z x y z
3 1
(*)
3
3
2x y z 2y z x 2z x y (2x y z x )( 2y z x y )( 2 )z (**)
Lấy (*) nhân (**) ta được:
x y z
x y z y z x z x y
Suy ra: P
3
, dấu “=” xảy ra khi x = x = z.
Câu 14: Tìm tổng hệ số của các đa thức sau khi được khai triển:
(1 3 x3 ) (1 3x x 3 )x
Gợi ý: (1 3 3) 2014.(1 3 3) 20151
Câu 15:
Trang 51 Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2013 x 3014x 2015
2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A x 2008 x 2009 y 2010 x 2011 2012
Gợi ý: 1 A x 2013 x 3014 x 2015
Ta cú:
A x 2013 2015 x x 3014 x 2013 2015 x x 2014 2 x 2014
Mà: x 3014 0 A 0
Dấu bằng sảy ra
2013 2015 2013 2014
2014 2014
x x
Vậy GTNN của A =2 khi x 2014
Cõu 17: a) Cho hai sú tư nhiờn a và b, với a > b và thỏa món: 3(a + b) = 5(a – b) Tỡm thương
của hai số a và b
b) Tỡm cỏc số nguyờn dương a, b, c biết rằng:
a3 – b3 – c3 = 3abc và a2 = 2(b + c)
Gợi ý: a) a : b = 4
b) Cỏch 1: a3 - b3 - c3 = 3abc (1); a2 = 2(b + c) (2)
Từ (2) suy ra a2 chẵn a chẵn
Từ (1) suy ra a > b; a > c 2a > b + c 4a > 2(b + c) kết hợp với (2) a2 < 4a a < 4
a = 2 thay vào (2) được: b + c = 2 b = c =1 (vỡ b, c nguyờn dương)
Thử lại thấy đỳng vậy a = 2; b = c = 1
Cỏch 1: Dựng hằng đẳng thức
Cõu 18: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giỏc và chu vi 2p = a + b + c.
Chứng minh rằng:
2
p a p b p c a b c
Dấu bằng của bất đẳng thức xảy ra khi tam giỏc cú đặc điểm gỡ?
Gợi ý: Áp dụng BĐT
x yx y , với x, y dương
Cõu 19: Tỡm x, biết:
a) (2x – 1)(3 – x)(5x – 3) < 0 b)
1
0 (4 3)(5 2 )
x
c) (x – 1)2(1 – 2x)(x + 5) 0
Câu 20: Cho góc xOy = 90o, tia phân giác Oz Trên tia Oz lấy điểm A Từ A kẻ AB Ox; AC
Oy (B Ox; C Oy) D là điểm tuỳ ý trên đoạn thẳng OB Nối AD Tia phân giác góc CAD cắt Oy tại E Chứng minh rằng AD = CE + BD
Gợi ý: Trên Ox lấy điểm F sao cho BF = CE CE + DB = BF + DB = DF
dễ chứng minh đợc vuông ACE = vuông ABF ( c.g.c)
CEA = BFA.(1)
Mặt khác CEA = EAB (2)( Hai góc so le trong)
Lại có CAE = EAD ( do AE là tia phân giác )
CAE = BAF ( Do vuông ACE = vuông ABF )
EAD = BAF EAB = DAF (3)( cùng cộng với DAB)
Từ (1); (2); (3) ta có DAF = BFA DAF cân tại D
AD = DF = CE + DB ( đccm)
Câu 21: Cho tam giỏc nhọn ABC, cú BC = a, CA = b, AB = c Gọi M là một điểm thuộc miền
trong của tam giỏc Hạ MH,MK,MP lần lượt vuụng gúc với BC, CA, AB
a/ Chứng minh : AP2 + BH2 + CK2 = BP2 + CH2 + AK2
b/ Tỡm giỏ trị nhỏ nhất của: AP2 + BH2 + CK2 (tớnh theo a,b,c)
Gợi ý:
a) Ta cú: AP2 + BH2 + CK2 = AM2 - MP2 + MB2 - MH2 + MC2 - MK2
= AM2 - MK2 + MC2 - MH2 + MB2 - MP2 = AK2 + CH2 + BP2 (đpcm)
b) Từ cõu a suy ra: 2( AP2 + BH2 + CK2 ) = (AP2 + BP2) + (KA2 + KC2) + (CH2 + BH2 )
Trang 6=
2 2 2 2
A
M
H
K P
Vậy GTNN của AP2 +BH2 +CK2 là
2 2 2 4
M là giao điểm ba đường trung trực của tam giác.
C©u 22: Cho tam giác đều ABC,đường cao AH Trên tia HC lấy điểm D sao cho AH = DH.
Trên nửa mặt phẳng không chứa A có bờ là BD vẽ tia Dx sao cho góc BDx có số đo bằng 150
Dx cắt tia AB tại E Chứng minh: EH = DH
Gợi ý:
A
D H
E
Ta có BAH 300; AED 450
- Giả sử AEH 300 HED 150=HDE HD HE
AH EH
, vô lý
- Giả sử AEH 300 HED 150=HDE
HD HE
AH EH , vô lý Vậy AEH 300 nên tam giác AHE cân, suy ra: EH = HE = HD
Câu 23: Gọi O là điểm nằm trong tam giác ABC sao cho ABO ACO Vẽ OH AB, OK AC Gọi M là trung điểm của BC
a) Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của OB và OC Chứng minh rằng OEH OFK
b) MH = MK
Gợi ý: a) Các tam giác vuông OHB và OKC có HE và KF là các đường tẻung tuyến ứng với
cạnh huyền nên E12 ,B F 1 12C 1, do đó E1F1(1)
b) Từ (1) suy ra MEH MFK Từ đó MEH KFM (c.g.c) nên MH = MK
Câu 24: ABC cân tại A, đường cao AD Kẻ DH vuông góc với AC Gọi I là trung điểm của
DH Chứng minh rằng AI BH
Gợi ý: Gọi M là trung điểm của CH thì DM//DH Ta sẽ chứng minh AIDM
MI là đường trung bình của HDC nên MI//DC Do đó MI AD
ADM có I là trực tâm nên AI DM Do đó AI BH
Hết