Gọi X và Y lần lượt là trung điểm của OA và OB thì: IX // d và IY //d nên I di chuyển trên đường cố định đi qua X và Y trừ ra những điểm thuộc đoạn XY.[r]
Trang 2ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 THCS NĂM HỌC 2011-2012 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
CÂU 1: (5đ)
Cho biểu thức : P=a2−a√a+a√+1−3a−2a√a√+a−4a√−2
1 Rút gọn P.
2 Tìm GT nhỏ nhất của P.
CÂU 2: (5đ)
Giải các phương trình sau:
1 2x3−x2+2x3−3x+1−−−−−−−−−−√3=3x+1+x2+2−−−
−−√3
2 x4−2y4−x2y2−4x2−7y2−5=0; (với x;y nguyên)
CÂU 3: (4đ)
Cho đường tròn (O;R) Đường thẳng d không đi qua O cắt đường
tròn (O) tại hai điểm A và B Từ một điểm M tuỳ ý trên đường
thẳng d và ở ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MN và MP với đường tròn (O), ( N,P là hai tiếp điểm).
1 Dựng vị trí điểm M trên đường thẳng d sao cho tứ giác MNOP là hình vuông.
2 CMR tâm của đường tròn đi qua 3 điểm M,N,P luôn chạy trên đường thẳng cố định khi M di chuyển trên đường thẳng d.
CÂU 4:(4đ)
1 a) Tìm Max của : y=|x|9−x2−−−−−√
b) GT x,y,z là những số dương thoả mãn đk: xyz=1.
Tìm min: f(x)=1x3(y+z)+1y3(x+z)+1z3(x+y).
2 Cho 3 số a,b,c thoả
mãn: a+b+c=1 ; a2+b2+c2=1;a3+b3+c3=1.
CMR: a2n+1+b2n+1+c2n+1=1 với nϵN∗.
CÂU 5: (2đ)
Cho △ABC thay đổi có AB=6 và AC=2BC Tìm giá trị lớn nhất
của S△ABC.
Trang 3Bài 1:
ĐKXĐ: a>0, a ≠ 2
P=a−3 +4 = ( -3/2)2 +4-9/4 ≥ 7/4
minP =7/4a=9/4
Bài 2:
1/ chuyển vế: đặt =a, =b, ta có PT: a3+a=b3+b
(a-b)(a2+ab+b2-1)=0
2/ Giải phương trình sau: x4−2y4−x2y2−4x2−7y2−5=0; (với x;y nguyên)
Đặt: a=x2≥0; b=y2≥0
PT tương đương với:
a2−2b2−ab−4a−7b−5=0
a2−a(b+4)−2b2−7b−5=0 (*)
coi (*) là PT ẩn a thì đk cần để có nghiệm a là:
Δ=(b+4)2+8b2+28b+20=(3b+6)2≥0 với b≥0
Mà a≥0 nên ta tìm được: a=2b+5.
=> x2−2y2=5 (1)
đến đây ta xét Module 3, hai vế của (1), từ đó ta => PT không có nghiệm với x, y
nguyên
Bài 3:
a/ MNOP là hình vuông MN=MP= R OM = R(có 2 vị trí điểm M thoả mãn)
b/ Tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP là trung điểm của OM ( do tứ giác MNOP nội tiếp đường tròn đường kính OM) Gọi X và Y lần lượt là trung điểm của OA và OB thì: IX // d và IY //d nên I di chuyển trên đường cố định đi
qua X và Y trừ ra những điểm thuộc đoạn XY
Bài 4:
1 a/ y = = √81
4 −(x2−9
4)2 ≤ Dấu = xảy ra khi x = ± b/
2.Ta có:
(a+b+c)=1(a+b+c)2=1a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1ab+bc+ca=0(1)
Ta lại có: a3+b3+c3=1a3+b3+c3−3abc=1−3abc(a+b+c)
(a2+b2+c2−ab−bc−ca)=1−3abc
3abc=0abc=0
Vậy hoặc: a=0,b=0,c=0
Thay vào a+b+c=0 ta được nghiệm của hệ có 2 nghiệm = 0, 1 nghiệm =1 suy ra ĐPCM
* Cách 2:
Trang 4AD hằng đẳng thức: (a+b+c)3=a3+b3+c3+3(a+b)(b+c)(a+c)
rồi từ ĐK (1) và ĐK(3) => a=−c hoặc a=−b hoặc b=−c từ đó dễ dàng cm được
Bài 5:
Câu này dùng quỹ tích của điểm C, C nằm trên đường tròn đường kính DE không đổi, với D là giao điểm của tia phân giác góc ngoài của góc C với AB, E là giao điểm của đường phân giác góc trong của góc C, dễ dàng cm DE cố định và có độ dài là 8 ( SD t/c tia phân giác) rồi từ đó=> đường cao có độ dài lớn nhất hạ từ C là 4=> Max (SABC)=12
câu 5 dễ mà đấy là cái đường tròn apoloniut
Đây là đường tròn Apoloniut
Cho đoạn thẳng PQcố định Tìm tập hợp (L) gồm những điểm sao cho tỉ số khoảng cách từ mỗi điểm đó đến P và Q = m/n, m và n là độ dài 2 cạnh cho trước
Phần thuận:
Trên đường thẳng PQ, tồn tại 2 điểm D và D' chia đoạn thẳng PQ theo tỉ số m/n đã cho:
D chia đoạn PQ và D' chia ngoài
Ta có: DP/DQ = D'P/D'Q = MP/MQ (=m/n)
=> MD và MD' là phân giác ngoài của góc PMQ
=> góc DMD' = 900⇒ M nằm trên đường tròn dk DD'
Phần đảo:
Lấy M tùy ý nằm trên duog tròn đường kính DD'
Ta cmr: MP/MQ = m/n
<=> (L) là đường tròn dk DD', gọi là đường tròn Apollonius