Tài liệu Giáo án Hàm số liên tục doc

Về kiến thức : Giúp HS nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiể

SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO TIỀN GIANG Cộng hòa xã hội chủ nghĩa Việt Nam

TRƯỜNG THPT VĨNH BÌNH Độc lập – Tự do – Hạnh phúc

-GVHD : Huỳnh Văn Phước

Giáo sinh : Nguyễn Thị Xuân An

Ngày soạn : Thứ sáu 19/03/2010

Ngày dạy : Thứ hai 22/03/2010(Tiết 3)

§8 HÀM SỐ LIÊN TỤC

(2 tiết)

I Mục tiêu

1 Về kiến thức : Giúp HS nắm được định nghĩa của hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng

và trên một đoạn, tính liên tục của các hàm số thường gặp trên tập xác định của chúng và hiểu được định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục cũng như ý nghĩa hình học của định lý này

2 Về kỹ năng : Giúp HS biết cách chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng, trên

một đoạn và áp dụng định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục để chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số phương trình đơn giản

3 Về tư duy thái độ : Có tinh thần tích cực tham gia bài học, rèn luyện tư duy logic.

II Chuẩn bị

1 Giáo viên: giáo án, bài giảng, SGK, dụng cụ dạy học

2 Học sinh: SGK, tập ghi chép, xem bài trước ở nhà

III Phương pháp dạy học

Gợi mở, vấn đáp

IV Tiến trình dạy học

1 Ổn định lớp.

2 Nội dung bài mới

HĐ1: Hàm số liên tục tại một điểm

- Hoạt động gợi ý vào bài mới: (có minh

họa bằng đồ thị)

1) Cho các hàm số

2

( )

f x =x

2

2

2, 1



= − < <



a) Tính f(1), g(1), so sánh với

lim ( ),lim ( )

x f x x g x

b) Nhận xét về đồ thị mỗi hàm số tại

1

x=

2) Xét hàm số

2

1, 1

x x

x

x





Ta có

Thực hiện theo gợi ý của GV

I Hàm số liên tục tại một điểm

1

x x

h x

x

−

−

(1) 1

h =

Vậy lim ( )x→1h x ≠h(1)

 Ta có các kết quả sau

1

lim ( ) (1)

x f x f

1

lim ( )

x g x

→ không tồn tại

1

lim ( ) (1)

x h x h

Ta nói hàm số ( ) f x liên tục tại x=1,

còn các hàm số ( ) g x và ( ) h x không liên

tục tại x=1

- Nêu định nghĩa hàm số liên tục tại một

điểm

 Vậy để xét tính liên tục của hàm số tại

điểm x ta tiến hành các bước sau:0

B1: tính f x( )0

B2: tính xlim ( )→x0 f x

B3: so sánh

0

lim ( )

x x f x

→ với f x( )0

 Khi nào hàm số ( ) f x gián đoạn tại

điểm x ?0

- Thực hiện H1, minh họa bằng đồ thị

Xét tính liên tục của hàm số ( ) | |f x = x

tại điểm x=0

- Hướng dẫn HS theo dõi Ví dụ 2 SGK

trang 169

- Thực hiện H2, minh họa bằng đồ thị

Xét tính liên tục của hàm số

2 1, 1

( )

1, 1

f x

x x

 tại điểm x=1.

Ghi bài

Hàm số gián đoạn khi không tồn tại

0

lim ( )

x x f x

→

hoặc

lim ( ) ( )

x x f x f x

Theo dõi

Theo dõi Theo dõi và ghi bài

Định nghĩa

Hàm số ( )f x xác định trên

khoảng ( ; )a b và x0∈( ; )a b Hàm số f liên tục tại điểm x 0 nếu

lim ( ) ( )

x x f x f x

Hàm số không liên tục tại điểm 0

x gọi là gián đoạn tại điểm x 0

Giải (0) 0

f =

lim ( ) lim | | 0

Do lim ( )x→0 f x = f(0) nên ( )f x

liên tục tại x=0

Giải (1) 2

f =

2

lim ( ) lim( 1) 2

lim ( ) lim( 1) 0

Suy ra không tồn tại lim ( )x→1 f x Vậy hàm số gián đoạn tại x=1

Hoạt động 2: Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

HS

Nội dung chính

II Hàm số liên tục trên một khoảng, trên

- Nêu định nghĩa hàm số liên tục trên

một khoảng, trên một đoạn

 Để chứng minh hàm số liên tục trên

một khoảng ta cần chứng minh hàm

số liên tục tại mọi điểm thuộc khoảng.

 Để chứng minh hàm số liên tục trên

đoạn [ ; ] a b trước hết chứng minh hàm

số liên tục trên khoảng ( ; ) a b và kết

hợp với lim ( ) x a→ + f x = f a( ),

lim ( ) ( )

x b− f x f b

 Vậy chứng minh hàm số liên tục

trên nửa khoảng [ ; ),( ; ], a b a b

[ ;a +∞ −∞),( ; ]b thế nào?

- Thực hiện Ví dụ 3 SGK trang 170,

minh họa đồ thị

Xét tính liên tục của hàm số

2

f x = −x trên đoạn [ 1;1]−

- Yêu cầu HS làm Ví dụ, minh họa

bằng đồ thị

Chứng minh rằng

g x = − x liên tục trên đoạn

[-2;2]

2) ( )h x = 2x−1 liên tục trên nửa

khoảng [ ;1 )

2 +∞

Ghi bài

Theo dõi

Thực hiện yêu cầu của GV

một đoạn Định nghĩa

Hàm số f xác định trên tập hợp J, trong đó

J là một khoảng hoặc là hợp của nhiều khoảng, gọi là liên tục trên J nếu nó liên tục tại mọi điểm thuộc J.

Hàm số f xác định trên đoạn [a;b] gọi là

liên tục trên đoạn [a;b] nếu nó liên tục trên khoảng (a;b) và

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x a+ f x f a x b− f x f b

Giải

0 ( 1;1)

x

Nên hàm số liên tục trên khoảng ( 1;1)−

Ngoài ra ta có

2

2

Do đó hàm số liên tục trên đoạn [ 1;1]− .

Giải 1) ( )g x xác định trên đoạn [-2;2]

0 ( 2; 2),

x

∀ ∈ −

Nên ( )g x liên tục trên khoảng (-2;2)

Ngoài ra ta có

2

2

Vậy ( )g x liên tục trên đoạn [-2;2]

2) ( )h x xác định trên nửa khoảng [ ;1 )

2 +∞

0

1 ( ; ) 2

x

Nên ( )h x liên tục trên khoảng ( ;1 )

2 +∞

 Hàm số liên tục trên một khoảng

hay trên một đoạn thì có đồ thị là

đường liền nét Hàm số gián đoạn tại

một điểm thì đồ thị không là đường

liền nét.

- Nêu nhận xét

- Nêu định lý

Ghi bài

Ghi bài

Ngoài ra

1

2

Vậy ( )h x liên tục trên nửa khoảng [ ;1 )

2 +∞

Nhận xét

1) Tổng, hiệu, tích, thương của hai hàm số liên tục tại một điểm là những hàm số liên tục tại điểm đó ( trong trường hợp thương, giá trị của mẫu tại điểm đó phải khác 0) 2) Hàm đa thức và hàm phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức) liên tục trên tập xác định của chúng (tức là liên tục tại mọi điểm thuộc tập xác định của chúng)

Định lý 1

Các hàm số lượng giác sin , cos , tan , cot

y= x y= x y= x y= x

liên tục trên tập xác định của chúng

Hoạt động 3: Tính chất của hàm số liên tục

- Yêu cầu học sinh làm ví dụ sau

đó lên bảng trình bày:

1 Cho hàm số y = f(x)

=-x3+3x2+1 liên tục trên đoạn

[-1;3] có đồ thị như hình vẽ

a Tính f(-1), f(3) Hãy so sánh

f(-1) và f(3)

b Với M=3 nằm giữa f(-1), f(3),

hãy tìm c∈(-1;3) sao cho f(c) =

M

 Cho hàm số y = f(x) (có đồ

thị như hình vẽ) liên tục trên

đoạn [a;b] và f(a) ≠ f(b), một

điểm M nằm giữa f(a), f(b)

Phán đoán có tồn tại c∈(a;b)

sao cho f(c) = M?

- Nêu định lý 2 (định lý về giá trị

Thực hiện theo yêu cầu GV

Có

Ghi bài

Giải

a f(-1) = 5, f(3) = 1 Vậy f(-1) ≠ f(3)

b Ta có f(c) = - c3 + 3c2 + 1

M = 3

Và f(c) = M nên :

- c3 + 3c2 + 1 = 3

⇔ - c3 + 3c2 + 1 – 3 = 0

⇔ - c3 + 3c2 - 2 = 0

⇔ (c – 1)(- c2 + 2c + 2) = 0





= + +

−

=

−

0 2 2

0 1

c c

⇔ 





−

=

+

3 1

3 1 1

c c c

Vậy có 3 giá trị c thỏa mãn yêu cầu đề bài

Định lý 2

Hàm số f liên tục trên đoạn

trung gian của hàm số liên tục)

- Hướng dẫn cho HS bằng cách

phân tích trên đồ thị để rút ra

nhận xét về ý nghĩa hình học

 Hàm f liên tục trên đoạn

[a;b], M nằm giữa f(a) và f(b)

Khi M = 0, f(a).f(b) < 0 Theo

định lí 2: tồn tại ít nhất 1 điểm

c∈(a;b) sao cho f(c) = 0

- Nêu hệ quả

 Ta có: f(c) = 0 Khi đó c được

gọi là nghiệm của phương trình

f(x) = 0.

- Nêu ý nghĩa hình học của hệ

quả

 Ứng dụng của hệ quả là

chứng minh phương trình có

nghiệm thuộc khoảng.

- Yêu cầu HS làm Ví dụ

1) Chứng minh hàm số f(x) = x3

+ 2x – 2 có ít nhất một nghiệm

dương nhỏ hơn 1

2) Chứng minh rằng phương

trình x3 + x + 1= 0 có ít nhất một

nghiệm

Theo dõi và ghi bài

Theo dõi

Ghi bài

Ghi bài

Làm bài

[a;b] Nếu f(a)≠f(b) thì với mỗi

số thực M nằm giữa f(a) và f(b),

tồn tại ít nhất một điểm ( ; )

c∈ a b sao cho f(c)=M.

Ý nghĩa hình học của định lý

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn

[a;b] và M là một số thực nằm

giữa f(a) và f(b) thì đường thẳng

y=M cắt đồ thị của hàm số ( )

y= f x ít nhất tại một điểm có hoành độ c∈( ; )a b

Hệ quả

Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì tồn tại ít nhất một điểm c∈(a;b) sao cho f(c) = 0

Ý nghĩa hình học của hệ quả

Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và f(a).f(b) < 0 thì đồ thị của hàm số y= f x( ) cắt trục hoành ít nhất tại một điểm có hoành độ c∈( ; )a b

Giải 1) f(x) = x3 + 2x – 5 liên tục trên R

Đoạn [0;1]⊂R nên hàm f liên tục trên đọan [0;1]

Lại có : f(0) = - 2 f(1) = 1

và f(0).f(1) = -2.1 = -2 < 0 Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c∈(0;1) sao cho f(c) = 0 Vậy x = c là một nghiệm của

- Yêu cầu HS làm H4

Cho hàm số

( )

x x

f x

x

=

+

Chứng minh rằng tồn tại ít nhất

một điểm c∈( ; )a b sao cho

( ) 0.8

f c = −

Làm bài

phương trình f(x)= 0 (đpcm) 2) Xét hàm f(x) = x3 + x + 1 liên tục trên R

Ta có [-1;0]⊂R nên hàm f liên tục trên đoạn [-1;0]

Lại có : f(0) = 1 f(-1) = -1

và f(-1).f(0) = -1 < 0 Theo hệ quả, tồn tại ít nhất một điểm c∈(-1;0) sao cho f(c) = 0 Vậy x = c là một nghiệm của phương trình f(x)= 0 (đpcm) Giải

Hàm số f liên tục trên đoạn

[0;2], (0)f = −1; (2) 2f =

Vì 0.8 ( 1; 2)− ∈ − nên theo định

lý về giá trị trung gian của hàm

số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm c∈(0; 2) sao cho ( ) 0.8

f c = −

Nhận xét của GVDH Người soạn

Bài soạn đầy đủ

Huỳnh Văn Phước Nguyễn Thị Xuân An