de thi hoc sinh gioi toan 10 hay

Chứng minh rằng 2cot A cot C  cot B 2/ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC.. Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC..[r]

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH

Thời gian làm bài : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho x, y Z; x 1;y 1   , sao cho

3





Chứng minh rằng:

2016

Z

y 1







Câu 2: (4 điểm)

Cho hàm số yx2 (2m1)x m  1 có đồ thị (Pm) Tìm m để (Pm) cắt trục hoành tại

hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x1 2 thỏa:

2

1 1

Câu 3:

1/Giải bất phương trình: 2

1





x x

2/ Giải hệ PT:







xy x y yx y x

x y y xy

Câu 4:

1/ Cho tam giác ABC có

b c

m c

bm Chứng minh rằng 2cot A cot C cot B 

2/ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Hai điểm M(4;-1),

N(0;-5) lần lượt thuộc AB, AC và phương trình đường phân giác trong góc A là :x 3y 5 0,

trọng tâm của tam giác là

2 5

;

3 3

 

G

Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC

Câu 5:

Cho các số dương a b c ab bc ca, , :   3.

1a b c(  ) 1 b c a(  ) 1 c a b(  )abc

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN THI HSG LỚP 10

- Điểm toàn bài không làm tròn.

- Học sinh làm cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa

1

Đặt:

3





Ta có:

Z



Nên: ad bc bd   ad bc b   ad b  d b (1)

Mặt khác:

a c

Từ (1) và (2) suy ra:

3

y 1







Mà x2016  1 (x ) 3 672  1 x 31 nên x2016  1 y 1 

Vậy :

2016

Z

y 1





2

Phương trình hoành độ giao điểm của (Pm) với Ox : x2 (2m1)x m  1 0

Để (Pm) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ x ; x1 2 khi 0

2 4m 8m 5 0, m

Theo giả thuyết :

2

1 1

2

1 2 1 2

2 1

x x x x

Hay:

Câu 4:

1 1 Theo bài ra: c b=m b

m c ⇒ c2

b2=

m b2

m c2

áp dụng công thức tính độ dài đường trung tuyến ta có :

a2+c2=2 mb2

+b2

2 và a

2+b2=2 m2c

+c2

2 Nên:

c2

b2=

a2+c2− b

2 2

a2+b2− c

2 2

⇔ a2

c2+b2c2−1

2c

4

=a2b2+b2c2−1

2b

4⇔a2

(c2−b2)−1

2(c − b

4

)=0

¿⇔(c2−b2

) (a −1

2(c

2+b2

) )=0⇔a2−1

2(c

2+b2

)=0

⇔2 a2

=b2+c2⇔2 a2

=a2+2 bc cos A ⇔ a2

=2 bc cos A

sin B C

cot A

2 cot A cot C cot B

Câu 5: Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương ta cú:3ab bc ca  3 (3 abc)2  abc1

Suy ra:

2

2 2



a b c abc a b c a ab b

c ca a

1b c a(  ) 3b 1c a b(  ) 3c

Cộng (1), (2) và (3) theo vế với vế ta cú:

ab bc ca

 

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi abc1,ab bc ca   3 a b c  1, ( , ,a b c0).