KI THUAT AP DUNG BDT PHU

Chứng minh bất đẳng thức phụ Dấu = khi x=y..  Chứng minh bất đẳng thức phụ Dấu = khi x=y.[r]

Kĩ thuật sử dụng bất đẳng thức phụ

Câu 1 Cho a b c, , 0, a2b2 c2 1. Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 3 3 1  

2

ơ

 Phương pháp: Chứng minh bất đẳng thức phụ  2  

2

 Thay

1 1 1







Hướng dẫn

 Do a b c, , 0, a2b2c2 1.

 Nên

 

o Từ giả thiết ta có 0a b c, , 1.

o Ta chứng minh  2  

2

 Thật vây:  2 4 2 22 4 2 2  2 4

3

 Đẳng thức xảy ra khi

1 3

x 

2

 Hoặc ta xét hàm số

 

1

0;1 1



Ta lập bảng biến thiên ta sẽ có đpcm

o Do 0a b c, , 1.

2

2

2

a

a

Đẳng thức xảy ra khi

1 3

a 

2

2

3

b

b

Đẳng thức xảy ra khi

1 3

b 

2

2

4

c

c

Đẳng thức xảy ra khi

1 3

c 

o Cộng vế theo vế có:

       

3 3

2

3 3 2

3 3

   Đẳng thức xảy ra khi

1 3

a b c  

Câu 2 Cho a, b, c không âm Chứng minh

Hướng dẫn

 Ta chứng minh được

4

 Ta có:

o Vậy

 Ta có:

 Ta có:

 Cộng lại có

Câu 3 Cho a, b, c >0 và a+b+c=1 Chứng minh a2b c 4 1  a 1 b 1 c

Hướng dẫn

 Ta chứng minh được 4xyx y 2 Dau = x=y

o 4 1  a 1 b 1 c 4b c  1 c  1 b, thay a=1-(b+c)

Câu 4 Cho a b c, , dương Chứng minh rằng 3 13 + 3 31 + 3 13 1 1  

Hướng dẫn

 Dấu hiệu: a b, 0 :a3b3 ab a b(  ).

 Ta có: a b, 0 :a3b3 ab a b(  ).

 Thật vậy: a b, 0 :a3b3ab a b(  ) a3 a b b2  3 ab2  0 a a b2  b b a2  0

a b a   2 b2  0 a b  2 a b  0

đúng với mọi a, b dương

 Ta có: 3 abc3  abc c

a b abcab a b abc a b c 

 Tương tự:

b c abc bc b c abc a b c 

c a abc ca a b abca b c 

 Cộng vế theo vế ta có: 3 3 + 3 3 + 3 3 .

Câu 5* Cho a b c , , 0. Chứng minh 3 3 3 3 2 3

Hướng dẫn

 Chứng minh bất đẳng thức phụ x3y3 xy x y  

Dấu = khi x=y

 Ta có: a3b3 ab a b   Dau =  a=b

3 3

3 3

abc

 Tương tự:

abc

abc

 Cộng lại có:

a b c

 

Dấu = khi a=b=c

 Chứng minh bất đẳng thức phụ: a3b3 aba b , a b, 0

o Ta có: a2b2 2ab a2b2 a b 2ab a b  

Câu 6* Cho x y z , , 0; xyz=1. Chứng minh 5 5 5 5 5 5

1

Hướng dẫn

 Chứng minh bất đẳng thức phụ x5y5 x y x y2 2  

Dấu = khi x=y

1

1

o Thay xyz=1 và

1

xy z



1

1

o Thay xyz=1 và

1

yz x



o Ta có: 5 5 2 2   

1

1

o Thay xyz=1 và

1

xz y



1