CAC KI THUAT SU DUNG BDT COSI VA BUNHIA

Phơng pháp cân bằng tổng Đỏnh giỏ từ trung bỡnh cộng sang trung bỡnh nhõn Phơng pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi “ Nếu hai số dơng có tích khôn

Phần một BẤT ĐẲNG THỨC Cễ SI (AM-GM) VÀ KĨ THUẬT SỬ DỤNG

+ + + + với a i > ∀ =0, i 1,n (Bất đẳng thức Jen sen).

II-KỸ THUẬT SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC Cễ SI

1 Phơng pháp cân bằng tổng (Đỏnh giỏ từ trung bỡnh cộng sang trung bỡnh nhõn)

Phơng pháp này xuất phát từ một nhận xét sâu sắc trong sách giáo khoa, tức là khi

“ Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng của chúng nhỏ nhất khi

sau đó ta áp dụng bất đẳng thức Côsi

Ví dụ 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của f(x) = x +

Vậy f(x) đạt giá trị nhỏ nhất là 3 khi x = 2.

Ví dụ 2 Chứng minh rằng nếu x > -1 thì 2

1

x x

+

Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi thì ta thấy cha ra kết quả,

nhng

nếu tách 2x thành x+1+x+1-2 thì có ngay điều phải chứng minh

Ví dụ 3 Chứng minh rằng x³ 0 thì 1

)3(

27

3 ≥+

273

33

33

3

3 − ≥+

+

++

++

+

x

x x

x

)3(

273

33

33

3

3 ≥++

++

++

+

⇔

x

x x

ta có điều phải chứng minh

Dấu bằng xảy ra khi x=0

Để luyện tập ta có thể cho các em áp dụng những bài tơng tự sau:

1) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =

12

2

2 ≥+

+

x x

)1)(

+

−b b a b

4) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức Q = x + y biết x > 0, y > 0 thoả mãn:

3

−+

Q = 5

2

622

6

−+

−

=

−++

=+

x

x x

x y x

5) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc R =

ab

b a b a

2 2

++

a

a a

1

a a

2 Phơng pháp cân bằng tích ( Đỏnh giỏ từ trung bỡnh nhõn sang trung bỡnh cộng)

Từ một hệ quả quan trọng trong sách giáo khoa: “ Nếu hai số dơng có tổng

không đổi thì tích của chúng lớn nhất khi và chỉ khi chúng bằng

Phân tích: ta cần tách biểu thức ab2 thành một tích có tổng không đổi mà tổng đó

chắc chắn phải liên quan đến a + b = 1

Giải: ab2 =

2

.2

b/2,b/2

ta có:

27

42

.2.427

12

.2

.3

13

222

.2

3 ≤ + + = ⇒a b b ≤ ⇒ a b b ≤

b b a b b

Dấu bằng xảy ra khi a = 1/3; b = 2/3

Bài tọ̃p tự luyện

ab bc ca+ + − abc≥ abc − abc= abc − abc≥ abc− abc abc= ≥ .

(vì abc∈[ ]0;1⇒( )abc 23≥abc).

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Chú ý: Nhân thêm hằng số trong kĩ thuật đánh giá trung bình nhân sang trung bình cộng

5

≤ ≤



 ≤ ≤

 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A= −(3 x) (4−y) (2x+3y)

Bài 9 a) Cho ,x y>0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: f x y( ) (; x y2)3

Bài 11 (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An-Bảng A-1992-1993)

Cho a a a1, , , ,2 3 a là các số dương Tìm giá trị nhỏ nhất của 10

9

bc c

Phân tích: Nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Côsi cho 3 số hạng ta thấy khó có

thể làm ngay đợc, vì vậy ta cần linh hoạt vận dụng cho từng bộ hai số

Giải: Vì a > 0, b > 0, c > 0 nên >0, >0, >0

b

ac a

bc c

ab

áp dụng bất đẳng thức Côsicho các cặp:

⇒++

≥++

⇔

≥+

≥+

⇔

≥+

≥+

⇔

≥+

)(

2)(

22

.2

2

2

2

2

c b a b

ac a

bc c ab

a c

ba b

ac c

ba b

ac c

ba

b

ac

c b

ac a

bc b

ac a

bc b

ac

a

bc

b a

bc c

ab a

bc c

ab a

Ví dụ 2 Cho tam giác ABC Chứng minh rằng:

1) (p a p b p c− ) ( − ) ( − ≤) 18abc

21

3) + + + ≤

Tổng quát: Cho a a1, , ,2 a n>0(n≥3) Chứng minh rằng:

Ví dụ 3 Cho , ,2 2 0 2

2 1

1 2

2

2 2

2

(1)2

1

21

21

m k

k m

m

m m m

2 2

2 2

2 2

2 2

(2)2

1

( )2

1

m k

k m

m k

k n

n m

(vì 12k 22k 2k 1

n

Từ đó suy ra ĐPCM

Chú ý: Đánh giá mẫu số trong kĩ thuật Côsi ngược dấu

Ví dụ 4: Các số dương a, b, c thoả mãn: a b c+ + = 3 Chứng minh bất đẳng thức:

3 2

Cộng vế theo vế cả bất đẳng thức ta được: 2 2 2

3 3

Đẳng thức xảy ra khi ac= b = c = 1

Bài tập tương tự: 1).Chứng minh rằng với mọi số dương a, b, c thoả mãn: a b c+ + = 3

a b

+

= − +

Cộng 4 bất đẳng thức trên ta có:

1 4

abc bcd cda dab+ + + ≤ a b c+ + =

Xây dựng ba bất đẳng thức tương tự Đẳng thức xảy ra khi các biến bằng nhau

Bài tập tương tự: Chứng minh rằng với a, b, c, d là các số thực dương ta luôn có:

ca

c a ≥ − +

5 Phơng pháp thêm hạng tử và chọn điểm rơi Côsi

Đây là phơng pháp rất lôi cuốn học sinh, bằng cách thêm các số hạng phù hợp và sử dụng khéo léo

bất đẳng thức Côsi ta có thể đạt những kết quả không ngờ!

“ Kiểm tra điều kiện xảy ra dấu bằng, chọn điểm rơi và cõn bằng hệ số”

5.1).Dấu bằng xảy ra tại điểm mỳt.

Ví dụ 1 1).Cho a≥3 Chứng minh rằng: 1 10

3

a a

+ ≥

Phõn tích tỡm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = 3

Chọn số α sao cho khi ỏp dụng BĐT Cụ si cho a và1

Phõn tích tỡm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = 2

13

Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho a a v, µ 12

Dấu “=” xảy ra khi a = 2

3).Cho a≥6 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 18

S a

a

Phân tích tìm lời giải:

Dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi a = 6

Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho a v2 µ 18

Phân tích tìm lời giải:

Dự đoán giá trị nhỏ nhất đạt được khi a = 1

2Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho a a v, µ 2

2.

* Hãy so sánh ví dụ 2 và 4 để xem có điều gì thú vị ở đây?

5.2) Các biến đều bình đẳng , dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau

14

Ví dụ 2 Cho , 0

Phân tích tìm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = 1

Hãy giải tương tự câu a.

Ví dụ 3 (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An -Bảng B-98-99 )

Phân tích tìm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

2Chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho vµ 4xy

xy

α

thì dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

2Nghĩa là:

Dấu “=” xảy ra khi x = y = 1

với a, b là các số dơng thoả mãn điều kiện ab = 1

Hớng dẫn: Dấu bằng xảy ra khi a = b = 1, vậy ta phải thêm cho

3

1

a b

b b

a2 + 2 + 2 ≥ + +

Phân tích: trớc hết ta nhận thấy nếu áp dụng ngay bất đẳng thức Cô si thì

cũng không ra

đợc kết quả, kĩ thuật vòng cũng không giải quyết đợc

Bây giờ ta đánh giá dấu bằng xảy ra khi nào, dễ nhận thấy đó là khi a = b = c

b b b

a

,,,,,

2 2 2

a b

c c a

b c b

+

++

++

16

Phân tích: Ta cần thêm cho

c b

Và để tính a thì

α

c b m c b

4

b a

c a c a c

b c

Dấu bằng xảy ra khi a = b = c

Tuy nhiên thêm hạng tử nào cho hợp lí thì tùy từng bài và ví dụ cụ thể

Ví dụ 7: Chứng minh rằng với x,y,z > 0: 3 3 3 x2 y2 z2

x

z z

y y

Ví dụ 8 Chøng minh r»ng víi a, b, c>0 ta cã

a

c a

b b

a a

c c

b b

a

21

b

21

c

21

2

2

≥+

Ví dụ 9 NÕu a, b, c d¬ng và abc=1 th×

Ví dụ 10 Cho , , 0

Phân tích tìm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Phân tích tìm lời giải:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

3Cần chọn số α sao cho khi áp dụng BĐT Cô si cho 1 1 12; 2; ;2 ; µ

thì dấu “=” xảy ra khi a = b = c = 1

Tìm giá trị lớn nhất của: P x y z= + + ĐS: MaxP=3 6⇔ = = =x y z 6

Ví dụ 12 Cho x4+ + =y4 z4 48 Tìm giá trị lớn nhất của:

a) S1=xy yz zx+ +

b) 2 2 2 2 2 2 2

S =x y +y z +z x ĐS: 48

3

S = xy+ yz+ zx ĐS: 3 4 Phân tich tìm lời giải:3

Do vai trò bình đẳng của x, y, z nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi

x =y =z = ⇔ x= = =y z

Để xuất hiện biểu thức S1=xy yz zx+ + ta cần áp dụng BĐT Cô si cho 4 số:x y4, , ,4 α α

như sau: x4+ + α + α ≥y4 44α2 4 4x y =4 α xy và dấu “=” xảy ra khi α =x4=y4=16

( 4 4 4)

16S ≤2 x + +y z +96 192= ⇒ ≤S 12

Dấu “=” xảy ra khi ⇔ x= = =y z 2

Vậy MaxS1=12 khi x = y = z = 2 hoặc x = y = z = -2

Tổng quát 1: Cho x2n+y2n+z2n=M ( n là số tự nhiên khác 0; M là số không âm cho trước) Tìm giá trị lớn nhất của:

b) Tương tự câu a ta áp dụng bất đẳng thức Cô si như sau:

 ( n là số tự nhiên khác 0; M là số không âm cho trước).

Tìm giá trị lớn nhất của: P1=xy yz zx+ + ĐS: MaxP1= ⇔ = = =3 x y z 1

Với m = 2, n = 2009 và M = 9 ta có bài toán 2:

S =x + +y z

b) Cho , ,x y z là các số thực thoả mãn xy yz zx+ + =1 Tìm GTNN của S2=x2+ +y2 z2

Tổng quát: a) Cho , ,x y z là các số thực không âm thoả mãn xy yz zx+ + =1

Tìm GTNN của S1=x n+ +y n z n ; n là số tự nhiên lẻ ; n≥3 b) Cho , ,x y z là các số thực không âm thoả mãn xy yz zx+ + =1 Tìm GTNN của S2=x n+ +y n z n ; n là số tự nhiên chẵn ; n≥2.

Bài toỏn 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của P = 2 3

x+ y với x, y là các số dơng thỏa mãn x+y=1.

Giải: Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhng ta cũng cố thể làm nh sau:

Phõn tích và tỡm lời giải:

Do vai trũ bỡnh đẳng của x, y nờn cú thể dự đoỏn giỏ trị lớn nhất đạt được khi x y= và cỏc thao tỏc đối với x

và y là “giống nhau” Ta tỏch x2=mx2+ −(1 m x v y) 2 à 2=my2+ −(1 m y) (2 0≤ ≤m 1) đồng thời “chia đều”

Áp dụng BĐT Cô si như sau:

22

Bài toán 2 Cho , ,x y z thoả mãn n x( 2+y2)+kz2=M (k là hằng số dương; M là số không âm cho

trước) Tìm GTLN của S xy yz zx= + + .

Phân tich và tìm lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x y= và các thao tác đối với x

và y là “giống nhau” Ta tách x2=mx2+ −(n m x v y) 2 µ 2=ny2+ −(n m y) (2 0≤ ≤m n) đồng thời “chia

222

Phân tich và tìm lời giải:

a).Do vai trò bình đẳng của x, z nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x và z và các thao tác đối với

x và z là “giống nhau” Để xuất hiện biểu thức: S xy yz kxz= + + thì khi ta áp dụng BĐT Cô si

Áp dụng: (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An Lớp 11-Bảng A-2002-2003)

Cho , ,x y z thoả mãn x2+ + =y2 z2 1 Tìm GTLN của A xy yz= + +2zx.

Giải Ta áp dụng cho trường hợp: M=1 µv k=2

2 2

(Với n là số tự nhiên; n≥2, M là số không âm cho trước; a là hằng số dương).

Phân tich và tìm lời giải:

a).Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x y= và các thao tác đối với

x và y là “giống nhau” Để xuất hiện biểu thức: P x y az= + + thì khi áp dụng BĐT Cô si

b).Tương tự để xuất hiện biểu thức Q a x y= ( + +) z ta chọn các số ,α β sao cho :

Giải a).Ta áp dụng cho trường hợp: n=2, M=18 µv a=2

b).Ta áp dụng cho trường hợp: n=2, M=18 µv a=2

Bài toán 5 Cho , ,x y z thoả mãn xy yz zx M+ + = (M là số không âm cho trước)

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S n x= ( 2+y2)+kz2 (k là số dương)

Phân tich và tìm lời giải:

Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x y= và các thao tác đối với

x và y là “giống nhau”.” Ta tách x2=mx2+ −(n m x v y) 2 µ 2=ny2+ −(n m y) (2 0≤ ≤m n) đồng thời “chia

x y k

Bước 2: Kiểm nghiệm kết quả: 2 2 2 ( ) 9 17 1 17

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi (a a1, , ,2 a v b b n) (µ 1, , ,2 b là hai bộ số tỉ lệ. n)

II-MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP

1) Sử dụng trực tiếp BĐT Bunhiacôpxki

a).Đánh giá vế bé sang vế lớn

Ví dụ 1 Cho a2+ + =b2 c2 1 Chứng minh rằng: a+3b+5c≤ 35.

Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có: a+3b+5c≤ (1 3 52+ +2 2) (a2+ +b2 c2) = 35 đpcm

Ví dụ 2 Cho x2+y2=1 Chứng minh rằng: x 1+ +y y 1+ ≤x 2+ 2.

Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

Theo giả thiết ta có:

với mọi a, b, c, d thoả mãn điều kiện:a2+ + +b2 c2 d2=1

Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

Ví dụ 7 (Đề thi học sinh giỏi Tỉnh 10-Bảng A-Năm 1998-1999)

Cho biết phương trình ( ) (2 ) (2 )2 2

x a+ + +y b + +x y =c có nghiệm

Chứng minh rằng: ( )2 2

3

a b+ ≤ c Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

Cho a b i, i∈¡ (i=1,2,3)

a).Chứng minh rằng: ( 2 2 2) ( 2 2 2) ( )2

1 2 3 1 2 3 1 1 2 2 3 3

a + +a a b + +b b ≥ a b a b a b+ + b).Giả sử a a1 2+a a a a2 3+ 3 1=4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: P a= 14+ +a24 a34

Giải: a) Xét hàm số

f x = a + +a a x + a b a b a b x+ + + b + +b b = a x b+ + a x b+ + a x b+ ≥ ∀ ∈x ¡Nếu a12+ +a22 a32= ⇔ =0 a1 a2=a3=0thay vào BĐT đúng

Ví dụ 2 Cho a b c+ + =6 Chứng minh rằng: a2+ + ≥b2 c2 12.

Giải: Theo Bất đẳng thức Bunhiacốpxki ta có:

y a

Nếu a= −4 thì 9

inf5

Ví dụ 5 (ĐỀ THI HSG Tỉnh Nghệ An-Lớp 10-Bảng A-2002-20030

Cho a, b, c, x, y, z là các số thực thoả mãn

2 2 2

2 2 2

253630

Ta cần chứng minh: a3+ + +b c3 3 24abc≤ + +(a b c)3⇔a b b c c a ab2 + 2 + 2 + 2+bc2+ca2≥6abc

Bất đẳng thức cuối cùng đúng theo BĐT Cô si Từ đó suy ra đpcm

Phần ba TÌM THÊM PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

I-MỘT PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

Để tìm C ta có thể theo các cách sau

Cách 1-Dựa trên hai bổ đề sau:

Bổ đề 1. “Trong ba số bất kì x x x1, ,2 3 luôn tồn tại hai số x x i; j (i, j thuộc tâp {1; 2; 3} sao cho:

Chứng minh: Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử x1≤x2≤x3.

Nếu x2≤a thì x1≤a v xµ 2≤a ta có điều phải chứng minh

Nếu x2≥a thì x2≥a v xµ 3≥a ta có điều phải chứng minh

Chứng minh: Từ giả thiết ta có: (x a y a− ) ( − ≥ ⇔) 0 xy a x y a≥ ( + −) 2 (đpcm)

II-VẬN DỤNG BỔ ĐỀ CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC

Ví dụ 1 Cho x, y, z là các số thực dương Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:

( 2 2 2) ( )

2 x + +y z +xyz+ ≥8 5 x y z+ + (Chào IMO 2007-Tạp chí THTT số 357 tháng 3 năm 2007)

Chứng minh: Theo Bổ đề 1 và vai trò x, y, z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát

  .Khi đó theo Bổ đề 2 ta có: xy x y≥ + − ⇒1 xyz xz yz z v z≥ + − ( × >0)

Suy ra: 2(x2+ +y2 z2)+xyz+ ≥8 2(x2+ +y2 z2)+ + − +xz yz z 8 (1)

Trong đó m là số thực cho trước n≥1”

c).“ Nếu x, y, z là ba số thực không âm thì: xyz x+ 2+ + + ≥ + + +y2 z2 2 x y z xy yz zx+ + ”

Ví dụ 2 Cho x, y, z là các số thực không âm Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:

5 x + +y z +3xyz+ ≥9 9 xy yz zx+ + Chứng minh:

Theo Bổ đề 1 và vai trò x, y, z trong bài toán bình đẳng nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

  .Khi đó theo Bổ đề 2 ta có: xy x y≥ + − ⇒1 3xyz≥3xz+3yz−3 ( ×z v z≥0)

Suy ra: 5(x3+ +y3 z3)+3xyz+ ≥9 5(x3+ +y3 z3)+3xz+3yz− +3 9z (1)

( 3 3 3)

Từ (1) và (2) suy ra: 5(x3+ +y3 z3)+3xyz+ ≥9 9(xy yz zx+ + ) (đpcm)

Ví dụ 3 Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1 Chứng minh rằng ta luôn có bất đẳng thức:

.Khi đó theo Bổ đề 2 ta có: 9xy≥3x+3y− ⇒1 9xyz≥3xz+3yz z v z− ( × ≥0)

Suy ra: 1 9+ xyz≥ +1 3xz+3yz z− (1)

9xyz k+ ≥4k xy yz zx+ + Đẳng thức xảy ra khi nào?

Ví dụ 4 Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

xy yz zx+ + = x y z xy yz zx+ + + + ≥ xyz xy yzzx= xyz

Suy ra: xy yz zx+ + −9xyz≥0.

Nếu m+ ≥9 0hay m≥ −9 thì (m+9)xyz≥0.

Chẳng hạn với m = -2 ta có bài toán:

Bài toán 1.Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

*) Nếu x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1 thì

x + + = −y z xy yz zx+ + ⇔x + + +y z xyz= − xy yz zx+ + − xyz

Do đó ta có bài toán sau:

Bài toán 2.Cho x, y, z là các số thực không âm thoả mãn: x + y + z = 1 Chứng minh rằng:

4

Từ đó ta có các bài toán sau:

Bài toán 1.1 Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác có chu vi bằng 1 Chứng minh rằng:

40