Kĩ thuật áp dụng bđt côsi

KĨ THUẬT SỬ LÍ CÔ SI CƠ BẢN Tức là ta sử dụng các bđt cô si cơ bản.. Nhận xét : Ví dụ trên cho thấy điểm rơi của khi sử dụng bđt cô si luôn thỏa mãn điều kiện... Tìm Min của 2 Nhận xét :

II BẤT ĐẲNG THỨC CÔ SI CƠ BẢN

B KĨ THUẬT SỬ LÍ CÔ SI CƠ BẢN

Tức là ta sử dụng các bđt cô si cơ bản Sau đây là một số ví dụ

Đây lại là một ví dụ minh họa cho việc vận dụng bđt cô si cơ bản , ta có lời giải như sau :

Áp dụng bđt cô si cơ bản cho 3 số dương (1+xy), (1+yz), (1+zx)

dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z

Mặt khác ta có (xy yz zx+ + ) ≤x2 +y2 + ≤z2 3 dấu ‘=’ xảy ra khi x=y=z

Nhận xét với điều kiện x2 +y2 +z2 = 3xyz này ta không thể làm như ví dụ 1 Để áp dụng bđt cô

si cơ bản ta biến đổi điều kiện và biểu thức P như sau :

bài toán trở về như VD 3

VD 5 : Cho x,y > 0 và x + y < 1 Tìm Min của 2 2 1

Ta có : ( )

( ) ( )2

I ĐIỂM RƠI CỦA CÔ SI LUÔN THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN:

VD : Cho x> 0 Tìm Min của P x 1

x

= +

Ta có lời giải sau:

Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương x và 1

x ta có P x 1 2 x.1 2

x

hay x = 1 Vậy Min P = 1

Nhận xét : Ví dụ trên cho thấy điểm rơi của khi sử dụng bđt cô si luôn thỏa mãn điều kiện

Tương tự : y zx+ = (x y y z+ ) ( + ) ≤ x+22y z+

z xy+ = (z x z y+ ) ( + ) ≤ x y+ +2 2z

Dấu ‘ = ‘ xảy ra khi x = y = z

2 2

II KĨ THUẬT CÔ SI ĐIỂM RƠI

Ta xét ví dụ sau: Cho x≥ 2 Tìm Min của 2

Nhận xét : Với cách áp dụng trực tiếp bđt cô si như trên ta thấy điểm rơi của cô si không thỏa

mãn điều kiện của bài toán do vậy lời giải trên là sai

*Cách giải đúng :

*Dự đoán : Điểm rơi của bđt

2

1 1 2

x x

x x

Như vậy việc tìm ra phương trình điểm rơi chính là mấu chốt để giải các bài toán như trên Với cách giải như trên ta gọi là kĩ thuật sử lí cô si điểm rơi trong phương pháp tách hạng tử Làm tương tự đối với câu b

1 Kĩ thuật cô si điểm rơi trong phương pháp thêm bớt hạng tử

VD 1: Cho x y, , z 0 > và xyz = 1 Tìm Min của

1 (1 )(1 ) 8

y x

 ⇒

 +

Cộng vế với vế của 2 bđt trên ta được:

*Dự đoán : Điểm rơi của bđt 3 12

*Dự đoán: Điểm rơi của bđt 1

Áp dụng bđt cô si cho 2 số dương ta có : 2 2 2 .

+ + dấu ‘ = ‘ xảy ra khi : c a=

Công 3 bđt trên ta được :

⇒ =  pt điểm rơi là ( )

3

9

2 2

x xy

y = Áp dụng bđt cô si ta

có: x53 xy 2 x53.xy 2x3

y + ≥ y = y dấu “ = “ xảy ra khi

5 3

x

( )3

*Dự đoán : điểm rơi của bđt

2 2

2 2

3 Kĩ thuật cô si điểm rơi trong phương pháp tách, nhóm hạng tử

VD 1: Cho x y, > 0và x2 +y2 = 1 Tìm Min của P (1 x) 1 1 (1 y) 1 1

2 2 4 4

x x y y z z

2 2 4 4

x x y y z z

x y z

Dấu “ = “ xảy ra khi

P P

2 15 5

a c b

x z y

D KĨ THUẬT CÔ SI NGƯỢC DẤU

Nếu A B≥ ≤ α ⇒Ngược dấu (Nghĩa là khi ta áp dụng bđt cô si nhưng chiều của bđt lại ngược

với chiều của bđt đã cho) Để giải quyết chiều của bđt ta cần biến đổi biểu thức đó xuất hiện dấu (-) Dưới đây là một số ví dụ minh họa cho việc sử lí cô si ngược dấu

VD 1: Cho x y, , z 0 > và x + y + z = 3 Tìm Min của 1 2 1 2 1 2

Công các bđt trên ta được :

+ + dấu ‘ = ‘ xảy ra khi z = 1.

Bài 1: Cho hai số dương x và y có tổng bằng 1

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

+ + + ≥ Đẳng thức xảy ra khi nào ?

Bài 4: Cho hai số dương x, y thỏa xy=3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P=3 9x+ −y 3x y26+Bài 5: Với a, b, c là các số dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 2 Tìm giá trị lớn nhất của

biểu thức Q = 2a bc + + 2b ca + + 2c ab +

Bài 6: Cho x, y là hai số thực dương thỏa mãn : x+2y 3£

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức S= x 3+ +2 y 3+

Bài 7: Cho x; y là hai số dương thay đổi Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

Bài 10: Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S a 4b 9c

Bài 13: Cho 2 số dương a, b thỏa mãn 1 1 2

a b+ = Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài 15: Cho hai số thực a; b thay đổi , thoả mãn điều kiện a + b ≥ 1 và a > 0

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 2

4

8

b a

Bài 17: Cho ba số thực a, b, c thoả mãn a 1; b 4;c 9 ≥ ≥ ≥

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :P bc a 1 ca b 4 ab c 9

25

>

+

++

+

c c

a

b c

b a

Bài 22: Cho a, b là hai số thực không âm thỏa: a + b ≤ 2

Đẳng thức xảy ra khi nào?

Bài 24: Cho ba số thực dương a, b, c Chứng minh rằng

Bài 26: Cho các số a, b, c đều lớn hơn 25

4 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

+

z z

x

y z

y x

Bài 28: Với x > 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M 4x2 3x 1 2011

Bài 32: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn 4xy = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: A =

Bài 33: Cho hai số thực dương x, y thỏa mãn: x + y = 4