Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P Ví dụ 2.. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P Ví dụ 8.
Trang 1MỘT SỐ KĨ THUẬT SỬ DỤNG BĐT CÔ-SI – P2
Thầy Đặng Việt Hùng
DẠNG 2 SỬ DỤNG TRỰC TIẾP BĐT CÔ-SI
Ví dụ 1 Cho x, y, z > 0 và x+ + =y z xyz
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
P
Ví dụ 2 Cho x, y, z > 0 và x+ + =y z 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x y y z z x
xy z yz x zx y
Ví dụ 3 Cho x, y > 0 và x+ =y 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 3 1 3 1
x y xy
+
Ví dụ 4 Cho x, y > 0 và xyz=1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P 1 1 1 3
xy yz xz x y z
= + + +
+ +
Ví dụ 5 Cho x, y > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 1 1
P
= + + +
Hướng dẫn:
x z y z
+ + + + +
Tương tự cho hai biểu thức còn lại, sau đó nhân vào ta được P≥1
Ví dụ 6 Cho x, y, z > 0 và 1 1 1 2
1 x+1 y+1 z = + + +
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P=xyz
Hướng dẫn:
= − + − = + ≥
Tương tự 1 2
xz
+ + + ;
1 2
xy
Nhân vế theo vế các BĐT ta được 1 1 1 8 1
xyz
xyz
Ví dụ 7 Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
Ví dụ 8 Cho các số thực x > 1; y > 1
Trang 2Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
x y x y P
x y
=
Hướng dẫn:
Ta có
P
− + −
Lại có
1 1.( 1)
2
( 1)( 1)
4
1 1.( 1)
2
x
xy
y
− = − ≤
→ − − ≤
Từ đó dễ dàng suy ra P≥8
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 Chứng minh rằng:
a) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1
2
+ + ≤ + +
b) a b2 2 b c2 2 c2 a2 1 1 1
+ + ≤ + +
Bài 2: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 và 1 1 1 2
1 a+1 b+1 c≥ + + + Chứng minh rằng
1 8
abc≤
Bài 3: [ĐVH].Cho a, b, c bất kỳ Chứng minh rằng :
a) 2 2 2
a + + ≥b c ab bc+ +ca
b) ( )2 ( )
3
ab bc ca+ + ≥ abc a b c+ +
Bài 4: [ĐVH].Cho , , 0
1
a b c
a b c
>
+ + =
Chứng minh rằng 1 1 1 1 1 1 8
2
a b c
a b c
+ +
Bài 6: [ĐVH].Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0 ta có
a b abc+b c abc+c a abc≤ abc
Bài 7: [ĐVH].Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm giá trị lớn nhất của 3 13 3 13 3 13
P
Bài 8*: [ĐVH].Cho a, b, c dương thỏa mãn abc = 1
Tìm GTNN của
P
Hướng dẫn:
Trang 3( ) ( 2 2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
3 3
Tương tự cho các bất đẳng thức khác ta được Pmin = 2 khi a = b = c = 1
Bài 9: [ĐVH].Cho x, y, z dương thỏa mãn xyz = 1
Chứng minh rằng
6 x 3 3y 6 6 y 3 3z 6 6 z 3 3x 6 2
P
x x y y y y z z z z x x
Bài 10: [ĐVH].(Khối D – 2006) Cho các số dương x, y, z thoả mãn: xyz = 1
Chứng minh rằng
3 3
Khi nào đẳng thức xảy ra?
Bài 11: [ĐVH].Cho x, y, z > 0 Chứng minh rằng 23 x2 23 y2 32 z2 12 12 12
x y + y z + z x ≤ x + y + z
Bài 12: [ĐVH].Cho các số thực dương a, b, c Chứng minh rằng
a bc+b ac+c ab≥
Bài 13: [ĐVH].(Khối B – 2007) Cho x, y, z là các số thực dương thay đổi
= + + + + +
Bài 14: [ĐVH].Cho các số thực x, y Chứng minh rằng
a) ( )2
2 2
2
x y
4 4
8
x y
+ ≥
Bài 15: [ĐVH].Cho a, b, c > 0 và thoả mãn
1 1 1 4+ + =
Chứng minh rằng :
Bài 16: [ĐVH].Cho x, y, z > 0 và thoả mãn x+2y+4z=12
Chứng minh rằng: 2 8 4 6
x y+ y z+ z x≤
Bài 17: [ĐVH].Cho , ,x y z > 0 và thoả mãn: 2 xy+ xz =1
Tìm GTNN của biểu thức P 3yz 4zx 5xy
= + +
Bài 18: [ĐVH].Chox, y, z > 0 và thỏa mãn x2 +y2 +z2+2xy=3(x+y+z)
2
20 20
+
+ + + + +
=
y z x z y x