Rèn luyện cho học sinh lớp 12 một số kĩ thuật sử dụng số phức liên hợp

Hi vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng nghiệp dạy học hiệu quả hơn, giúp các em xử lý tốt không cảm thấy lúng túngtrong việc giải quyết các bài toán trắc nghiệm về số phức ở mức

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lý do chọn đề tài.

Căn cứ vào chủ trương đường lối, chính sách pháp luật của Đảng và nhànước Căn cứ vào phương hướng, nhiệm vụ và kế hoạch chuyên môn của trườngTHPT Hà Trung năm học 2016-2017

Trong quá trình giảng dạy, tôi được nhà trường tin tưởng giao cho dạycác lớp cũng có những học sinh khá, giỏi Chính vì vậy ngoài việc giúp các emnắm chắc kiến thức cơ bản tôi còn phải bồi dưỡng cho các em ôn thi đại học lànhiệm vụ quan trọng số một

Trong các nội dung thi Đại học – Cao đẳng phần số phức đóng vai tròquan trọng Những năm học trước đây thì phần số phức trong đề thi đại học chỉ

là một câu đơn giản cho tất cả học sinh Tuy nhiên theo tình hình thi mới của bộgiáo dục thì phần số phức có từ 7 câu đến 8 câu chiếm khoảng 15% lượng điểm

Vì vậy có những câu hỏi khó ở mức vận dụng cao đòi hỏi học sinh phải có cáchgiải nhanh chóng phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm

Từ lý do chọn đề tài, từ thực tiễn giảng dạy và bồi dưỡng học sinh ôn thiđại học, ôn thi học sinh giỏi cùng với kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy

Tôi đã tổng hợp, khai thác thành chuyên đề: ‘‘Rèn luyện một số kỹ thuật sử dụng số phức liên hợp’’ Hi vọng với đề tài nhỏ này sẽ giúp các bạn đồng

nghiệp dạy học hiệu quả hơn, giúp các em xử lý tốt không cảm thấy lúng túngtrong việc giải quyết các bài toán trắc nghiệm về số phức ở mức vận dụng cao

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Qua nội dung đề tài này tôi mong muốn cung cấp cho học sinh mộtphương pháp và kỹ năng cơ bản để học sinh có thể giải quyết các bài toántrắc nghiệm về số phức ở mức vận dụng cao, tránh tình trạng khi các em gặpphải các bài toán này thường làm phức tạp vấn đề làm mất nhiều thời gianhay không giải được Năm học mới này, với hình thức thi đại học trắcnghiệm đối với môn toán thì áp lực thời gian là một vấn đề, đòi hỏi học sinh

có cách giải quyết nhanh các bài tập Hy vọng đề tài nhỏ này ra đời sẽ giúpcác bạn đồng nghiệp cùng các học sinh có cái nhìn linh hoạt và chủ động khigặp các bài toán về số phức

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Học sinh thực hiện nội dung này học sinh lớp 12

Đối tượng nghiên cứu : các phép toán lấy số phức liên hợp tổng, hiệu,tích, thương của hai số phức và có thể mở rộng cho nhiều số phức, môđun của

số phức

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Phương pháp nghiên cứu lý luận : Nghiên cứu các tài liệu liên quan nhưsách giáo khoa, sách bài tập, sách tham khảo về toán trắc nghiệm số phức ở mứcvận dụng cao

Phương pháp điều tra quan sát : Tìm hiểu về việc vận dụng các phươngpháp dạy học tích cực ở một số trường phổ thông

Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tham gia dự giờ, rút kinh nghiệmtrong tổ bộ môn, tham dự các buổi họp chuyên đề, trao đổi ý kiến với đồngnghiệp.

Phương pháp thực nghiệm : Tiến hành thực nghiệm ở các lớp 12I, 12K,

12M trường THPT Hà Trung

1.5 Những điểm mới của sáng kiến.

Thông thường học sinh giải quyết bài toán trên tập số phức bằng cách gọiphần thực, phần ảo, việc sử dụng số phức liên hợp để giải quyết các bài tập tínhtoán, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên tập số phức cũng là điều mới lạ đối vớihọc sinh

Phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của học sinh

Bồi dưỡng phương pháp tự học

Rèn luyện kỹ năng lý thuyết vào thực tiễn

Tác động đến tình cảm, đem lại niền vui, hứng thú học tập cho học sinh.Trong đó hướng phát huy tích cực, tự giác, chủ động trong học tập của học sinhđược xem là chủ đạo, chi phối đến các hướng còn lại

2.2 Thực trạng vấn đề.

Giải các bài toán về số phức bằng phương pháp sử dụng số phức liên hợptương đối mới lạ đối với đa số học sinh lớp 12 Khi gặp các bài toán về vấn đềtrên, hầu như học sinh mất rất nhiều thời gian để biến đổi bài toán Một số họcsinh do năng lực tư duy hạn chế chưa biết cách thường gọi dạng tổng quát của sốphức nhưng rất khó khăn trong việc giải và cũng có thể không giải được Chính

vì vậy người dạy phải hướng dẫn học sinh tìm ra cách giải đơn giản, thuận lợi đểgiải quyết bài toán một cách nhanh chóng

2.3 Các giải pháp thực hiện.

Khi tiếp cận các bài toán, giáo viên phải giúp học sinh biết phải sử dụnglượng liên hợp của số phức nào Sau đó giúp học sinh xây dựng phương phápgiải phù hợp

Để giúp học sinh có cách giải phù hợp với các bài toán về số phức, trướchết giáo viên cần yêu cầu học sinh ôn tập các kiến thức về các phép toán trên tập

số phức, các tính chất môđun của số phức Sau đó giáo viên chọn một số bàitoán điển hình để học sinh vận dụng

Trong đề tài này, tôi xin đưa ra một số bài tập tương đối đầy đủ về các bàitoán về số phức sử dụng số phức liên hợp

2.3.1 Kiến thức toán và các kỹ năng có liên quan.

- Các phép toán trên tập số phức

- Các tính chất môđun của số phức.

- Các tính chất số phức liên hợp của tổng hiệu tích thương của các số phức.

- Kỹ năng sử dụng số phức liên hợp

2.3.2 Một số công thức liên quan.[1]

1 z z 2a (a là phần thực của số phức ), zz là số thực không âm

2 z z khi z là số thực, z z khi z là số ảo.

2.3.3 Một số bài toán thường gặp và phương pháp giải.

Dạng 1: Sử dụng số phức liên hợp để giải quyết bài tập về tìm số

phức, số phức liên hợp, số phức nghịch đảo, môđun của số phức.

Tôi trình bày bài này với một cách giải mới như sau

(z1)(z i ) là số thực nên ta sử dụng tính chất 2 ( một số công thức liên quan )





Suy ra 1i u2 2 1 i 1 i uu  4 1i u 2.Suy ra z 1và z 2 1i Chọn đáp án A

Nhận xét : Bài toán này nếu ta giải theo cách thông thường đó là gọi

z a bi a b   rồi đưa về hệ phương trình 2 ẩn thì việc giải quyết sẽ mấtthời gian hơn cách giải sử dụng số phức liên hợp

Ví dụ 2 Tìm số phức z thỏa mãn 2z1 1  i z1 1   i  2 2i.[3]

Với cách giải thông thường là gọi z a bi a b   ,  , rồi tìm a b, cũng mất thời

gian và khi thực hiện phép nhân cũng dễ nhầm lẫn

Từ giả thiết ta nghĩ tới việc nhóm số hạng liên quan đến z lại, nhóm số hạngliên quan đến z với nhau, sau đó lấy số phức liên hợp của hai vế trong phươngtrình đề bài cho ta được hệ 2 ẩn z và z

Giải

Từ giả thiết 2z1 1  i z1 1   i 2 2i 2 1 i z z  1 i 2 (1)Lấy liên hợp hai vế ta có 1i z 2 1z  i 2 (2)

Nhân hai vế của (1) với 2 trừ (2) ta được  z 13i z13 i Chọn đáp án B

Lưu ý: Tuy nhiên bài này ta có thể sử dụng máy tính để kiểm tra các đáp án.

Từ giả thiết z34z ta nghĩ tới việc môđun hai vế sẽ tìm được z Sau đó nhân 2

Lưu ý : Ta nghĩ tới việc sử dụng kỹ năng sử dụng số phức liên hợp cho số phức

nào đó, khi trong đề bài thường có các yếu tố z và z

Ví dụ 4 Cho số phức z 1 thỏa mãn 1

1

z z

Theo đề 1

1

z z

( Với b là phần ảo của số phức z )

Mà z  nên phần thực của số phức 5 z là 3 nên 3 4 1 3 4

Từ các giả thiết đề bài cho thì ta có:

   thì công việc này không hề đơn giản

Từ việc giả thiết cho z1 z2 1 bao giờ ta cũng nghĩ tới việc sử dụng tính chất

Nhận xét : Ta nhận thấy rằng việc giải các bài toán có nhiều biến trên tập

số phức thì việc rèn luyện kỹ năng sử dụng số phức liên hợp giúp cho học sinh

có cách biến đổi nhanh chóng

Ví dụ 11 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 6, z2 9, z1 z2  69.Tính z1z2 ?

tới việc thiết lập công thức quan hệ giữa các yếu tố như ví dụ 10.

Nhận xét: Bài này có nhiều số phức, nhiều điều kiện, nếu giải theo

phương pháp gọi z a bi a b   ,  thì việc giải quyết khá phức tạp, để ta thấyrằng tác dụng của việc sử dụng kỹ năng sử dụng số phức liên hợp

Tuy nhiên bài này ta cũng có thể giải theo hướng chuẩn hóa đó là đặt

z z   i, z2z31, rồi giải hệ tìm z z z từ đó giải1, 2 , 3

quyết được ví dụ, nhưng đòi hỏi học sinh suy luận trong bước chuẩn hóa số

phức và sẽ gặp trở ngại khi đề bài cho môđun của số phức bằng một số bất kỳkhác số 1.

1 2 2

2 2 3

Nhận xét: Ta thấy rằng việc tạo số phức liên hợp hầu như sử dụng tính

chất zz z2 kết hợp với việc biến đổi, từ giả thiết về yêu cầu đề bài Tuy nhiên

ta cũng phải được làm quen và tiếp cận với phương pháp này thì việc biến đổimới dễ dàng Nhận thấy rằng bài toán này với cách gọi z a bi a b   ,  dùngphương pháp đại số hoặc phương pháp hình học thì nó không hề đơn giản

Ví dụ 16 Cho số phức z thỏa mãn z 1 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏnhất của P   1 z 1 z z 2 lần lượt là.[2]

A 134 và 3 B 154 và 3

C 134 và 2 D 154 và 2

Phân tích.

Từ yêu cầu là tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của P   1 z 1 z z 2

Ta đặt t 1 z và dễ dàng tìm được điều kiện của t cần phải biến đổi lượng

Suy ra giá trị lớn nhất của P là 13

Nhận xét : Khi đề bài cho nhiều giả thiết liên quan đến môđun của số

phức, khi giải quyết bài toán bằng phương pháp thông thường là gọi số phức

Vậy giá trị lớn nhất của z là 1 Ta chọn đáp án A.

Nhận xét : Với việc sử dụng thành thạo các tính chất số phức liên hợp thì

bài toán này trở nên rất đơn giản

Ví dụ 19 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 z2 10và

3z  4z  2016 Tính giá trị nhỏ nhất của P4z13z2

A 2984 B 2884 C 2894 D 24

Phân tích.

Từ giả thiết 3z1 4z2  2016, P4z13z2 , có phần tương quan hệ số của z1

và z2 Mặt khác khi cho môđun của các số phức ta nghĩ tới việc sử dụng tínhchất zz z2 Vậy ta có cách giải bài toán như sau

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 2984 , chọn đáp án A.

Ví dụ 20 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1z2 8 6i và z1 z2 2.Tìm giá trị lớn nhất của Pz1  z2

Lời bình: ta thấy rằng việc giải quyết các bài toán cho nhiều số phức thì

việc tính toán cũng đã khó, mà những bài về tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất củabiểu thức nhiều biến trên tập số phức quả thật không đơn giản Với việc tạo kỹnăng sử dụng số phức liên hợp thì việc giải bài toán là phương án tối ưu

A z1z22 z2z32 z1z32 là số thuần ảo

B z1z22 z2z32 z1z32 là số nguyên tố

C z1z22 z2z32 z1z32 là số thực âm

D z1z22 z2z32 z1z32 là số 1

Bài 6 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn z1 z2 1, z z1 2  3 Tính z z1  2 ?

A 2 B 1 C 0 D  3

Bài 7 Cho hai số phức z z1, 2 thỏa mãn 6 2 3 , 1 2 1

3

z i   iz z  z  Tính z z1 2 ?

lượt là hai nghiệm của phương trình bậc hai đã cho Tính giá trị biểu thức

Bài 10 Cho ba số phức a b c a , , ( 0) thỏa mãn a b  c 0 Số phức z là

nghiệm của phương trình az2 bz c 0 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của z lần

Bài 14 Cho số phức z 0sao cho z không phải là số thực và w 2

1

z z



 là sốthực Tính giá trị biểu thức 1 2

z z

2.4 Hiệu quả của sáng kiến.

Năm học 2016-2017 tôi được giao nhiệm vụ giảng dạy môn Toán ở cáclớp : 12I, 12K, 12M Trong ba lớp đa số học sinh chăm ngoan và có ý thức học,đặc biệt các em rất có hứng thú học và giải toán Tuy nhiên khi gặp các bài sốphức ở mức vận dụng cao giải bằng phương pháp sử dụng số phức liên hợp các

em rất lúng túng không biết biến đổi như thế nào hay tạo lượng liên hợp của sốphức nào cho đúng, cho phù hợp Sau khi tiến hành thực nghiệm sáng kiến củamình tại các lớp dạy của mình, tôi đã thu được nhiều kết quả khả quan Hoạtđộng học tập của học sinh diễn ra khá sôi nổi, đa số học sinh hiểu bài và vậndụng được vào giải toán Một số học sinh khá giỏi đã biết tự tìm tòi, nghiên cứuthêm ở các đề thi và sách tham khảo để hệ thống hóa, đào sâu kiến thức

Kết quả kiểm tra:

Mặc dù đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sơ suất,thiếu sót Kính mong hội đồng khoa học các cấp và bạn bè đồng nghiệp góp ý,xây dựng, bổ sung cho bản kinh nghiệm của tôi đạt chất lượng tốt hơn

3.2 Kiến nghị.

- Đề nghị các cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh và giáo viên có nhiều hơn nữa tài liệu sách tham khảo đổi mới và phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ

- Nhà trường cần tổ chức các bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại các tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập của giáo viên hàng năm để làm cơ sở nghiên cứu phát triển chuyên đề

- Các bản sáng kiến kinh nghiệm được xếp loại cấp Tỉnh cần được phổ biến rộng rãi hơn và cần được áp dụng nhiều hơn trong giảng dạy và cho các đồng nghiệp cùng học tập

- Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng

Tôi xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 25 tháng 5 năm 2017

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết không sao chép nội dung

của người khác

Chữ ký

Lê Thị Liên

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sách giáo khoa giải tích 12; tác giả Đoàn Quỳnh, Nguyễn Huy Đoanchủ biên, Trần Phương Dung, Nguyễn Xuân Liêm, Đặng Hùng Thắng, NXBGiáo Dục năm 2010

2 Hướng dẫn giải các bài tập vận dụng – vân dụng cao…tác giả TS LêThị Hương, ThS Nguyễn Kiếm, ThS Hồ Xuân Thắng, NXB Đại Học Quốc Gia

Hà Nội, xuất bản năm 2016

3 Tài liệu ôn thi THPT quốc gia, tác giả Nguyễn Tất Thu, NXB Đại HọcQuốc Gia Hà Nội, xuất bản năm 2015

4 Nguồn khác: http://www.toanmath.com

MỤC LỤC

1 MỞ ĐẦU….….……… ………

…… 1

1.1 Lý do chọn đề tài……… 1

1.2 Mục đích nghiên cứu……….…… 1

1.3 Đối tượng nghiên cứu……….…… 1

1.4 Phương pháp nghiên cứu……… ….1-2 1.5 Những điểm mới của sáng kiến ……….……….2

2 NỘI DUNG CỦA SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM……….… …2

2.1 Cơ sở lí luận 2

2.2 Thực trạng vấn đề……… ……… … 2

2.3 Các giải pháp thực hiện……… ……… … 2

2.4 Hiệu quả của sáng kiến………… ……… 16

3 KẾT LUẬN……… ……… ……….… … ….16

3.1 Kết luận 16

3.2 Kiến nghị 17

TÀI LIỆU THAM KHẢO 18

SỞ GIÁO DỤC VÀ TẠO THANH HÓA

TRƯỜNG THPT HÀ TRUNG

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

RÈN LUYỆN CHO HỌC SINH LỚP 12 MỘT SỐ KỸ THUẬT

THANH HÓA NĂM 2017