T×m phÇn nguyªn cña.[r]
Trang 1ĐỀ 13
Đề thi Thời gian làm bài: 120 phút
Câu 1 Với mọi số tự nhiên n 2 hãy so sánh:
a A= 1
22+
1
32+
1
42+ +
1
n2 với 1
b B = 1
2 2 + 1
4 2 + 1
6 2 + + 1
(2 n)2 với 1/2 Câu 2: Tìm phần nguyên của α , với α=√2+√3 3
2+ 4
√4
3+ +
n+1
√n+1
n
Câu 3: Tìm tỉ lệ 3 cạnh của một tam giác, biết rằng cộng lần lợt độ dài hai đờng cao của tam giác đó thì tỉ lệ các kết quả là 5: 7 : 8
Câu 4: Cho góc xoy , trên hai cạnh ox và oy lần lợt lấy các điểm A và B
để cho AB có độ dài nhỏ nhất
Câu 5: Chứng minh rằng nếu a, b, c và √a+√b+√c là các số hữu tỉ
Đáp án đề 26Câu 1: ( 2 điểm )
n2<
1
22−1+
1
32−1+
1
42−1+ +
1
n2−1 ( 0,2 điểm )
Mặt khác:
1 3+
1
2 4+
1
3 5+ +
1
(n −1) ( n+ 1) ( 0,2 điểm)
2(11−
1
3+
1
2−
1
4+
1
3−
1
5+ +
1
1
❑(1+1
2−
1
1
n+1)< 1
2.
3
2=
3
Vậy A < 1
22+
1
42+
1
62+ +
1
(2 n)2 ( 0,25 điểm )
22(1+1
22+
1
32+
1
42+ +
1
n2) ( 0,25 điểm )
Suy ra P < 1
2 2 (1+1)= 1
2 ;Hay P <
1
Câu 2: ( 2 điểm )
Ta có k+1√k +1
Trang 2áp dụng bất đẳng thức Cô Si cho k +1 số ta có:
k+1
√k +1 k =
k+1
√1 1 .1 k .
k +1
k <
1+1+ +1+k +1
k
k
1
1
k (k +1)
(0,5 điểm ) Suy ra 1 < k+1√k +1
k <1+(1k −
1
k +1) ( 0,5 điểm )
n < √2+√3 3
2+ +
n +1
√n+1
n <n+1 −
1
n<n+1 ( 0,5 điểm)
=> [α]=n
Câu 3 (2 điểm )
Gọi ha , hb ,hc lần lợt là độ dài các đờng cao của tam giác Theo đề bài ta có:
h a+h b
h b+h c
h c+h a
2(h a+h b+h c)
h a+h b+h c
=> h c
5=
h b
2=
h a
3 => ha : hb : hc = 3 : 2: 5 ( 0,4 điểm )
2a h a= 1
2bhb= 1
2chc ( 0,4 điểm )
=>
a
1
h a
= b
1
h b
= c
1
h c
(0 , 4 điểm )
=> a :b : c = 1
h a:
1
h b:
1
h c=
1
3:
1
2:
1
5=10:15 :6 (0 ,4 điểm )
Vậy a: b: c = 10 : 10 : 6
Câu 4: ( 2 điểm )
( 0,25 điểm )
( 0,25 điểm )
Gọi H và K lần lợt là hình chiếu
( cạnh huyền, góc nhọn )
( 0,5 điểm )
=> H A '=K B ' , do đó HK = A ' B '
Ta chứng minh đợc
điểm)
y
Trang 3VËy AB nhá nhÊt OA = OB = a
(0,25®iÓm )
C©u 5 ( 2 ®iÓm )
=> √a+√b=d −√a
=> 2 √bc=(d2+a− b −c)−2 d√a ( 1 ) ( 0,2 ®iÓm)
=> 4bc = (d2+a − b− c) 2 + 4 d2a – 4b (d2+a − b− c) √a ( 0,2 ®iÓm)
=> 4 d (d2
( 0,2 ®iÓm)
* NÕu 4 d (d2+a − b− c) # 0 th×:
d2+a −b − c¿2+4 d2a − 4 ab
¿
¿
√a=¿
** NÕu 4 d (d2+a − b− c) = 0 th×: d =0 hoÆc d 2+ a-b – c = 0 ( 0,25 ®iÓm ) + d = 0 ta cã : √a+√b+√c=0
=> √a=√b=√c=0 ∈ Q (0,25 ®iÓm )
+ d 2+ a-b – c = 0 th× tõ (1 ) => √bc=− d√a
Do a,b,c cã vai trß nh nhau nªn √a ,√b ,√c lµ c¸c sè h÷u tØ