[r]
Trang 1
ĐÊTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9
Năm học :2008 -2009
Câu I/ Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mản đẳng thức:
Y(x-1) = x❑2+1
Câu II/ Chứng minh rằng nếu trong một tam giác vuông có số đo các cạnh
là a;b;7 trong đó a,b là các số nguyên.Chứng minh rằng cạnh 7 đơn vị không phải
là cạnh huyền
Câu III/ a/ Cho a+b+c =0 , Chứng minh rằng a3+b3+c3=3 abc
b/ Cho 1x+ 1
y+
1
z=0 , Tính P=yz
x2+
xz
y2+
xy
z2
Câu IV/ a/Rút gọn biểu thức: 1
1+√2+
1
√2+√3+ +
1
√n −1+√n
b/Cho A=1+ 1
√2+
1
√3+
1
√4+ +
1
√2008 Chứng minh: A 2 ¿)
Câu V/ Cho tam giác ABC, có AB<AC, với I là giao điểm của 3 đường
phân giác trong tam giác và G là trọng tâm của tam giác AIIG và AI cắt BCtại D
a/ Chứng minh rằng: AI > 2 ID
b/Chứng minh AB+AC >2BC
Đáp án:
CâuI/ (1,5 điểm)
Y =
2
X −1 ; X , Y ∈
¿
¿
Z ¿⇒ X −1 }¿
¿
(0,75điểm)
Giải tìm đúng các nghiệm (2;5) ,(0;-1), (3;5) ,(-1;-1) (0,75điểm)
CâuII/ (1,5 điểm)
Gỉa sử 7 là cạnh huyền thì a,b <7 vàa2+b2=72=49⇒a2
+b2 ⋮⋮7(1)(0,5điểm)
a2, b2là số chính phương có dạng 4n v 4n+1; 7là số nguyên tố có dạng 4k+3
do đó từ(1) ⇒a2 ⋮ 7∧b2⋮7⇔ a ⋮7 ∧ b⋮ 7(2) (0,5đ)
Nhưng 0<a,b<7⇒(2) không thể xảy ra (0,25đ)
Vậy 7 chỉ có thể là một cạnh góc vuông (0,25đ)
CâuIII/ a/ 1điểm
a3+b3+c3=(a+ b)3−3 ab (a+b)+c3.(1) Mà a+b+c=0⇒a+b=-c thay vào (1) ta có
a3
+b3
+c3
=(a+ b)3−3 ab (a+b)+c3
¿− c3−3 ab (− c )+ c3 =3 abc (1đ)
Trang 2b/ 1điểm
P=xyz(x13 + 1
y3 + 1
z3) theo câu a ta có P=xyz(x13+
1
y3+
1
z3)¿ xyz(xyz3 )= 3 (_1đ)
CâuIV/ a/ 1 điểm
: 1
1+√2+
1
√2+√3+ +
1
√n −1+√n¿
1−√2
1 −2 +
√2 −√3
2 −3 + +
√n −1 −√n
n −1 − n
¿√n −1
b/ 1 điểm
Ta có
1
√n=
2
2√n
√n+√n+1 ⇒ (0,25đ) A=1+ 1
√2+
1
√3+
1
√4+ +
1
√20082(
1 1+√2+
1
√2+√3+ +
1
√2008+√2009)(0,5đ)
Từ câu a ta suy ra A .2(
√2009− 1) (0,25đ)
CâuV/ a/ 1,75 điểm.
- Kẻ AG cắt BC tại M, dựng MN AD
Ta có:
ADC = BAD + B (t/c góc ngoài tam giác)
- Tượng tự ta có:
ADB = DAC + C mà AB < AC
=> C < B và BAD = DAC => ADC > ADB mặt khác ADC + ADB = 2V
=> góc ADC là góc tù nên ADC > 900 do đó D nằm giữa I và N=> IN >
ID (1đ)
Mặt khác từ IG // MN ta có:
AI
IN=
AG
b.1,25đ
- Áp dụng tính chất đường phân giác trong ta có:BDAB= AC
DC=
AI
ID>2.(1đ)
=> AB + AC > 2(BD + DC) > 2BC(đpcm).(0,25đ)
N
A
I
C
D
G
B
M