Lu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính xác cũng đợc điểm tối đa.[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS NAM ĐÀ
Đề thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8
năm học 2008 2009–
Họ tên :
Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2,0 điểm)
Giải phơng trình : x(x+2)(x2+2x+5) = 6
Câu 2 : ( 4,0 điểm)
a) Tính giá trị của biểu thức :
A = x8 – 31x7 + 31x6 – 31x5 +31x4 – 31x3 + 31x2 – 31x + 27 với x = 30
b) Cho a - b = 4 tính giá trị của biểu thức B = a3 – 12ab - b3
Câu 3 : ( 2,0 điểm)
Rút gọn phân thức :
3 2
a a a
Câu 4 : ( 3,5 điểm)
Một ngời đi một nữa quãng đờng tử A đến B với vận tốc 15km/h , và đi phần còn lại với vận tốc 30km/h Tính vận tốc trung bình của ngời đó trên toàn bộ quãng đờng AB
Câu 5 : ( 2,0 điểm)
Chứng minh rằng :
a) S
2 2
4
a b
với S là diện tích của tam giác có độ dài hai cạnh bằng a , b
Câu 6 :( 6,5 điểm)
Cho tam giác IKP cân tại A có KP = 4 cm , M là trung điểm của KP lấy D, E thứ tự thuộc các cạnh
IK , IP sao cho DME Kˆ ˆ
a) Chứng minh rằng tích KD PE không đổi
b) Chứng minh rằng DM là tia phân giác của góc KDE
c) Tính chu vi IED nếu IKP là tam giác đều
-( Giám thị không giải thích gì thêm )
Họ và tên thí sinh : Số báo danh
Chữ kí giám thị 1 ……… Chữ kí giám thị 2 ………
hớng dẫn chấm thi môn toán
kỳ thi thông tin chọn học sinh giỏi lớp 8 THCS năm học 2008-2009
Câu 1 (4,0 điểm)
a) Ta có A = x6 – 19x5 + 19x4 – 19x3 +19x2 – 19x + 25
= x5 ( x – 18 ) – x4( x- 18 ) + x3 ( x-18) – x2( x-18) + x(x- 18) - ( x – 18 ) + 1,00
Trang 27
Do đó với x = 18 thì giá trị của biểu thức A = 7
b) Với x+y = 1 ta có : B = ( x3 + y3 )+ 3xy = ( x +y ) ( x2 - xy +y2) + 3xy
= x2 +2xy +y2
= ( x+y )2 = 1
1,00 1,00 1,00
Câu 2 (4,0 điểm)
a) ta có
3 2
x x x
x x x
=
2
2
2 2
x x x
x x x
2 2
x x
x x
=
x
x
b) Giải phơng trình :
(x2-x+1)(x2-x+2) = 12 (1)
Đặt t = x2-x+1 thay vào phơng trình (1) ta đợc pt :
t ( t+1 ) = 12
t2 + t – 12 = 0 ( t2 - 3t ) + (4t – 12) = 0 t( t - 3) + 4(t – 3) = 0
(t - 3) (t+ 4) = 0 t = 3 hoặc t = - 4
- Với t = 3 => x2-x+1 = 3 x2-x-2 = 0 x2-2x + x -2 = 0
x(x-2) + (x -2 ) = 0 (x-2) (x +1 ) = 0 x = 2 hoặc x = - 1
- Với t = - 4 => x2-x+1 = - 4 x2-x + 5 = 0 ( x-
1
2) 2 +
19
4 = 0 phơng trình này
vô nghiệm vì ( x-
1
2) 2 +
19
4 > 0 với mọi x
Vậy phơng trình (1) có hai nghiệm là : x = 2 , x = -1
1,00 0,50 0.50
0.50
0.75
0.25
0.25 0.25
Câu 3 : ( 4,5 điểm )
Gọi vận tốc mà ô tô dự định đi từ A đến B là : x ( điều kiện : x(km/h ) , x > 6 )
Ta có : Vận tốc ô tô đi nữa đầu quãng đờng là : x+10 ( km/h )
Vận tốc ô tô đi nữa sau quãng đờng là : x – 6 (km/h )
Thời gian ô tô đi nữa đầu quãng đờng là :
30 10
x (h)
Thời gian ô tô đi nữa sau quãng đờng là :
30 6
x (h)
Thời gian ô tô đi quãng đờng từ A đến B là :
60
x (h)
Ta có phơng trình :
30 10
x +
30 6
x =
60
x
x x
x x x
x x
x x x
x x
x x x
0.50 1.00
0.75 0.75 0.50
0.50 0.50
Trang 3=> x2 – 6x + x2 + 10x = 2x2 + 8x – 120 x2 – 6x + x2 + 10x - 2x2 - 8x = -120
4x = 120 x = 30 ( km/h )
Vậy thời gian ô tô dự định đi quãng đờng AB là :
60
30 = 2 ( giờ )
Câu 4 (3,5 điểm)
HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng
K
E H I
D
B
A
a) Ta có DMCˆ DME CMEˆ ˆ
, mặt khác DMC B BDMˆ ˆ ˆ
, mà DME Bˆ ˆ nên
CMEBDM
Do đó BDM và CME đồng dạng ( gg )
=>
BD BM
CM CE => BD CE = CM BM = a a = a2
Vậy tích BD CE luôn không đổi
b) BDM và CME đồng dạng còn suy ra :
DM BD
ME CM =>
DM BD
ME BM
( vì CM = BM )
Do đó DME và DBM đồng dạng => MDE BDMˆ ˆ hay DM là tia phân giác của
góc BDE
c) Từ câu b suy ra DM là tia phân giác của góc BDE , EM là tia phân giác của góc
CED Kẻ MH DE , MI AB , MK AC Ta có DH = DI , EH = EK , do đó chu
vi AED bằng AI + AK = 2AK
Ta lại có CK = 2 2
MC a
, AC = 2a nên AK = 1,5a Vậy chu vi tam giác ADE bằng 3a
0.5
0.50 0.50
0.50 0.50
0.50
0.50
Câu 5 : HS vẽ hình và ghi GT,KL đúng
0.50
Trang 4b D
C
B a
A
a) Gọi h là chiều cao tơng ứng với cạnh a , ta có S =
1
2 ah
=> 4S = 2ah 2ab a2 + b2
Vậy S
2 2
4
a b
Dấu bằng xảy ra h = b , a = b ABC vuông cân
b) Theo câu a ta có : SABC
2 2
4
a b
; SADC
2 2
4
c d
Mà S = SABC + SADC => S
2 2 2 2
a b c d
=> S
2 2 2 2
4
a b c d
Dấu bằng xảy ra ABC vuông cân ở B , ACD vuông cân ở D
ABCD là hình vuông
0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50 0.50
Lu ý : Nếu thí sinh làm theo cách khác đúng đầy đủ chính xác cũng đợc điểm tối đa