Tài liệu PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 docx

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2... Vậy nghiệm bài toán là:.

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2

BÀI TOÁN CAUCHY

Tìm nghiệm của phương trình

F(x, y, y’, y”) = 0 (1) hoặc: y” = f(x, y, y’) (2)

thỏa diều kiện ban đầu : y(x 0 ) = y 0

y’(x 0 ) = y 1

Lưu ý: nghiệm tổng quát của ptvp cấp 2 có 2 hằng số

tự do, cần 2 điều kiện để tìm 2 hằng số này.

Vậy nghiệm bài toán là:

MỘT SỐ PTVP CẤP 2 GIẢM CẤP ĐƯỢC

LOẠI 1: pt không chứa y : F(x, y’, y”) = 0

Cách làm: đặt p = y’ đưa về ptvp cấp 1 theo p, x

LOẠI 2: pt không chứa x: F(y,y’,y”) = 0

Cách làm: đặt p = y’ đưa về pt cấp 1 theo

hàm p và biến y

LOẠI 3: F thỏa F(x,ty,ty’,ty”) = t n F(x,y,y’,y”)

Cách làm: đặt y’ = yz đưa về pt theo x, z

x 2 yy” – (y – xy’) 2 = 0 x 2 t y t y” – ( t y – x t y’) 2

= t 2 [x 2 yy” – (y – xy’) 2 ] Đặt y’ = yz  y” = y’z + yz’ = yz 2 + yz’

y C xe

PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 2

y” + p(x)y’ + q(x)y = f(x) p(x), q(x), f(x) liên tục

y” + p(x)y’ + q(x)y = 0 Phương trình thuần nhất

Cấu trúc nghiệm pt không thuần nhất: y = y 0 + y r

• y 0 là nghiệm tổng quát của pt thuần nhất,

• y r là 1 nghiệm riêng của pt không thuần nhất

Nguyên lý chồng chất nghiệm

Nếu y 1 và y 2 lần lượt là các nghiệm của pt

y” + p(x)y’ + q(x)y = f 1 (x)

y” + p(x)y’ + q(x)y = f 2 (x)

thì y 1 + y 2 là nghiệm của pt

y” + p(x)y’ + q(x)y = f 1 (x) + f 2 (x)

Giải phương trình thuần nhất

Nếu y 1 và y 2 là 2 nghiệm độc lập tuyến tính của pt

thuần nhất

y” + p(x)y’ + q(x)y = 0

thì nghiệm tổng quát của pt này là y 0 = C 1 y 1 + C 2 y 2

Nếu biết trước 1 nghiệm y 1  0, y 2 được tìm như sau

Giải pt: (1+x 2 )y” + 2xy’ – 2y = 4x 2 + 2 (k 0 t/nhất) biết phương trình có 2 nghiệm y = x 2 và y = x + x 2

nếu pt k 0 t/ nhất có 2 nghiệm y = x 2 và y = x + x 2

Thì y 1 = (x + x 2 ) – x 2 là nghiệm của pt thuần nhất

2 1

(1 )

x dx x

y” + ay’ + by = f(x) (a, b là hằng số )

Giải pt thuần nhất : y” + ay’ + by = 0

Bước 1: giải phương trình đặc trưng: k 2 + ak + b = 0 Bước 2: xác định 2 nghiệm cơ sở (đltt)

 k 1 , k 2 là nghiệm thực phân biệt:

Tìm nghiệm riêng yr của pt y” + ay’ + by = f(x)

Tổng quát: Biến thiên bằng số

Trong y 0 , xem C 1 =C 1 (x), C 2 = C 2 (x), giải hệ

vắng cos, sin: xem  = 0

s là bậc của đa thức trong f

VÍ DỤ

y” + y = x 2 + x Ptđt: k

2 + 1 = 0  k =  i

y 0 = C 1 cos x + C 2 sin x f(x) = x 2 + x   = 0,  = 0, s = 2

  + i = 0: không là nghiệm ptđt

 y r = Ax 2 + Bx + C

(1)

 y’ r = 2Ax + B, y r ” = 2A Thay y r vào (1): 2A + Ax 2 + Bx + C = x 2 + x, x

 A = 1, B = 1, 2A + C = 0

 A = 1, B = 1, C = 2

y r = x 2 + x – 2  y = y 0 + y r = C 1 cos x + C 2 sin x + x 2 + x – 2 Thay y r vào (1): 2A + Ax 2 + Bx + C = x 2 + x, x

y” + y’ = x – 2 (2) Ptđt: k 2 + k = 0  k = 0, k = –1

x

y C C e x x

Nghiệm TQ của (2):

y” – y = xsinx

f(x) = xsinx   = 0,  = 1, s = 1

  + i = i: không là nghiệm ptđt

y r = (Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx

y’ r = (Cx + A + D)cosx – (Ax + B – C)sinx

y r ” = – (Ax + B – 2C )cosx – ( Cx + 2A + D)sinx

y 0 = C 1 e x + C 2 e –x

y” + 4y’ + 4y = e – 2x + sinx

Giải pt: x 2 y” + xy’ – y = lnx.sin(lnx) (x > 0)

Đặt: t = lnx hay x = e t

1 ' dy dy dt dy dy t t t