MỘT số ví dụ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN cấp 2 có lời GIẢI

MỘT SỐ VÍ DỤ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 CÓ LỜI GIẢI... y  Phương pháp đưa về phuong trình giảm cấp... • Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với phương trình đã cho l

MỘT SỐ VÍ DỤ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 2 CÓ LỜI GIẢI

1 y ''– 5 ' y  x2 – 6 – 4 x

2 y '' 5 ' 4  y  y x e  2 4x

sin

x

  (Biến thiên la grang)

4 '' 6 ' 9 y  y  y  5 sin ex x

5 '' y  y  2sin cos x x

6 '' y  y  8 sin x x

7 y '' 3 '  y  e3x  18x

8 y '' 4 ' 3  y  y e  5x

9 xy ''  y '  x e2 x; (Phương pháp đưa về phuong trình giảm cấp)

10 y'' y sinxcos2x

11 '' 3 ' 2 6 y  y   x

12 '' 2 ' y  y  y   1 x

13 '' 5 ' 6 12

e

 (Biến thiên la grang)

14 '' 3 ' 2 y y  y   ex(4 3 )  x

15 '' 2 ' y y y 3 ex x 2

    (Biến thiên la grang)

16 y '''  y ''  y '  y  5 x x  2

17 ''

1

x x

e

e

 (Biến thiên la grang)

18 y''' y' cot x (Biến thiên la grang)

19 y'' 2 ' 3 y  x

20 y'' 4 y x 2

21 y'' 5 ' 6y y ex

22 y'' 4 ' 3 y  ysin 2x

23 y''y' 2 y2sinxcosx

24 y'' 4 ' 4 y  y x e  2x

25 '' y  y  cos x

26 y ''  y 't anx  y cos2x  0 , biết phương trình có 1 nghiệm s inx

1( )

y x e

27 y '' y ' x x ln

x

  ; Tìm nghiệm riêng thỏa mãn: (1) y  1; '(1) 1. y 

(Phương pháp đưa về phuong trình giảm cấp)

1

• Phương trình đặc trưng: k2 – 5k = 0, có hai nghiệm phân biệt

k = 0 và k = 5

• Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng với

phương trình đã cho là: y = C1 + C2e5x.

• Do α = 0 là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên

phương trình đã cho có một nghiệm riêng

Y = x(Ax2 + Bx + C) = Ax3 + Bx2 + Cx

Từ đó tính Y', Y'' Thay vào phương trình đã cho ta được, đồng nhất

hóa các hệ số suy ra A = 1

15

 ; B = 48

75; C = 396

375

và do đó Y = 1

15

 x3 + 48

75x2 + 396

375x

• Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = y + Y = C1 + C2e5x 1

15

 x3 + 48

75x2 + 396

375x

2

1 và 4 Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là:

4

y C e   C e

trình đã cho có dạng y*  xe4x(Ax2  Bx C)   e4x(Ax3 Bx2 Cx)

Tính y* ', * ''y thay vào phương trình đã cho thực hiện đồng nhất thức ta được

,B ,

x

Nghiệm tổng quát của Pt đa cho là.

x

3

Coi C C là các hàm số: 1, 2 y C x 1( )cosx C x 2( )sinx

Các hàm số C C được xác định từ hệ:1, 2

cos sin 0

1 sin cos

sin

x









Từ đó : 2

1

cos sin 1

x C

x C



 





  



2 1

ln sin

 



 





Nghiệm riêng cần tìm là y*sin ln sinx x  xco xs

Nghiệm tổng quát của phương trình :

1cos 2sin sin ln sin s

4

Giải phương trình đặc trưng k2 6k   , 9 0 k1 k2 3

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là

3

.

(3 4 )cos (4 3 )sinx 5sinx ;

x

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

3

x x

5

nghiệm riêng dạng:

* cos 2x sin 2x

Tính: * y  2Asin 2x 2 cos 2x B ; * y  4 cos 2A x 4 sin 2B x

3

3

Nghiệm tổng quát của phương trình là:

1 cos sin sin 2x

3

6

trình thuần nhất tương ứng là:

y = C 1 cosx + C 2 sinx.

phương trình có dạng Y = x[(Ax + B)cosx + (Cx + D)sinx].

Từ đó tính Y', Y'' thay vào phương trình đã cho ta được:

(4Cx + 2A + 2D)cosx + (– 4Ax – 2B + 2C)sinx = -8xsinx Đồng nhất ta được:



C 2 sinx + x(2 xcosx -2 sinx)

7

Tìm nghiệm riêng y của phương trình 1* y'' 3 ' y e3x(1)

1, 1', 1''

3

A 

2

y của PT : y'' 3 ' y 18xe0x(2)

2

y của PT (2) có dạng :

*

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

1

(3x 2), C ons 3

8

C 2 e 3x

8.

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

y = y + Y = C 1 e x + C 2 e 3x + 1

8e

5x

9

thuần nhất tương ứng xp' - p= 0 có nghiệm p = Cx,

coi C = C(x) thay p, p' vào phương trình trên ta tìm được C= e x + C Nghiệm tổng quát1

của phương trình (1) là p =xe x + C x hay y'=xe1 x + C x1

suy ra y = e x (x-1)+ C x1 2 + C2

Từ điều kiện (1) 1; '(1) y  y 1 ta tìm được C1  1 e

2

( 1) (1 ) 2

x

10

Phương thuần nhất tương ứng có dạng

'' 0

trình thuần nhất là y C 1cosx C 2sinx.

1( ) sin

có dạng y1*x(Acosx B sin )x Tính y* ', * ''1 y 1 thay vào phương trình đã cho ta có

1

0,

2

2

2( ) cos 2

có dạng y2* Acos2 x B sin 2x Tính y* ', * ''2 y 2 thay vào phương trình đã cho ta có

1

, 0

3

1

3

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

11

'' 3 ' 2 6

'' 3 ' 0

x

cho có dạng P(x) = x (Ax + B)

thay Y', Y'' vào phương trình đã cho ta tìm được A = 1, B = 0 nên Y = x 2

Từ đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

x

12

Phương trình đặc trưng có một nghiệm kép k = 1 do đó nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là y(C1C x e2 ) x , = 0 1

P(x) = 1 + x là đa thức bậc nhất Vậy nghiệm riêng của phương trình đã cho có dạng

x

hay Y = Ax + B thay Y', Y'' vào phương trình đã cho ta tìm được A = 1 và B – 2A = 1, suy ra A = 1, B = 3

nên Y = x + 3 Từ đó nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

13

Phương trình thuần nhất tương ứng " 5 ' 6 y  y  y0 có nghiệm tổng quát

x x

1

x

f x

e



*( ) ( ) x ( ) x

' ( ) ' ( ) 0

1

3 ' ( ) 2 ' ( )

1

x

e











suy ra

3

2 2

( 1)

1 ( ) ln(1 )

( 1)

x

x

x x

x

e

e

e x

e











Do ta chỉ cần tìm một nghiệm riêng nên các hằng số sau khi tích phân chọn bằng 0 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

1 arctan ln(1 )

2

14

Giải phương trình đặc trưng k2 3k   , 2 0 k11; k2 2

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất là

2

x x

1

  là một nghiệm đơn của phương trình đặc trưng nên nghiệm riêng có dạng

* x(Ax+B)

e [B (2 A B) xx x ]

* x[3A+2B (3 ) x ]

2

1 x 2 x x(3 x)

15

k  k   k k 

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng là: y (C1 C x e2 ) x

0

x x







Ta được: C13x x2;C23 x2

Do đó ta có:

1

6 4( 2) (2 )

5

Nghiệm riêng của pt đã cho là

* {4( 2) (2 ) 2( 2) }

5

x

Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là:

6

5

16

1 0

     có nghiệm

phương trình đã cho dưới dạng

2

*

Tính y*’,y*’’ sau đó thay y*, y*’,y*’’ vào phương trình đã cho ta tìm được

1;B 3;C 5

2

* 3x 5

2

1 x 2 osx 3sinx+ 3x 5

17

Phương trình thuần nhất tương ứng " y  y0 có nghiệm tổng quát y C e1 x C e2 x

Vì ở đây ( )

1

x x

e

f x

e



trình đã cho ta áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Lagrange Đặt

*( ) ( ) x ( ) x

trong đó 1( )x , 2( )x được xác định từ hệ

' ( ) ' ( ) 0 ' ( ) ' ( )

1

x

x

e

e















suy ra

1

2 2

1 ' ( )

2( 1)

' ( )

2( 1)

x x x

x

e e x

e















Do đó 1 2

x

nghiệm riêng nên các hằng số sau khi tích phân chọn bằng 0) Vậy nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

           

18

PT đặc trưng : k3k  0 k10,k2 i k, 3i

Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất tương ứng :

Tìm nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất bằng phương pháp Lagrang Xác định hàm C x C x C x từ hệ 1( ), 2( ), ( )3

1

3

' cot x ' ' osx 'sinx=0

os x 'sin x 'cosx=0 '

sin x ' osx- 'sinx=cotx ' osx

C

c





Do đó

1 cotxdx ln sinx , 2 cosxdx -sinx

2

3

cos

C  d co  d =12ln1 cos1 cos x x - cosx

x y

x





Do đó nghiệm tổng quát

ln sin x sin 2 x sinx.ln osx sinx

x

x





Phương thuần nhất tương ứng có dạng

'' 0

trình thuần nhất là y C 1cosx C 2sinx.

1( ) sin

có dạng y1*x(Acosx B sin )x Tính y* ', * ''1 y 1 thay vào phương trình đã cho ta có

1

0,

2

1

2

2( ) cos 2

có dạng y2* Acos2 x B sin 2x Tính y* ', * ''2 y 2 thay vào phương trình đã cho ta có

, 0

3

1

3

Nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là

12

26

Tính đạo hàm:

sinx 1

1

' cos x '' cos x sin x







( -1)cosx x 0  1

Rõ ràng y x y x là hai nghiệm độc lập tuyến tính1( ), ( )2

27.

Nghiệm tổng quát là : p= x2lnx - x2+ C1x

Theo cách đặt ta có: y' = p hay y' = x2lnx - x2+ C1x

Suy ra

= ln x

9

Vậy nghiệm riêng của phương trình cần tìm là:

= ln x

Hệ phương trình vi phân

1

t t

dx

dt

dy

dt









2

2

t t

dx

dt

dy

dt









3

4 6 2

t t

dx

dt

dy

dt









4

4

2

2

t t

dx

x y e dt

dy

dt









5

t dx

dt

dy

dt















7

(1) (2) (3)

dx

z y

dt

dy

z

dt

dz

z x

dt



 















 





8

4

t t

dx

dt

dy

dt









9

4

6 2

t t

dx

dt

dy

dt









10

(1)

(2)









