Tài liệu HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1 ppt

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1... •Vị trí của  trên đường chéo tương ứng với vị trí của nghiệm cơ bản trong P... PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT...

HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CẤP 1

ĐỊNH NGHĨA

F 1 (t,x 1 ,x 2 ,…, x n , x 1 ’,x 2 ’,…,x n ’) = 0

….

F n (t,x 1 ,x 2 ,…, x n , x 1 ’,x 2 ’,…,x n ’) = 0

Hệ tổng quát

x 1 ’ = f 1 (t,x 1 ,x 2 ,…, x n )

….

x n ’ = f n (t,x 1 ,x 2 ,…, x n )

Hệ chính tắc

t : biến

x 1 , x 2 , …, x n : ẩn hàm

BÀI TOÁN CAUCHY

x 1 ’ = f 1 (t,x 1 ,x 2 ,…, x n )

………

x n ’ = f n (t,x 1 ,x 2 ,…, x n ) Tìm nghiệm hệ

Thỏa điều kiện x 1 (t 0 ) =  1

…………

x n (t 0 ) =  n

Hệ n ptvp cấp 1 tương đương 1 ptvp cấp n nên hệ nghiệm có n hằng số tự do.

PHƯƠNG PHÁP KHỬ

' '( ) 2

t

t







B 1 : xây dựng một ptvp cấp n theo 1 hàm chọn trước.

B 2 : giải ptvp cấp n vừa tìm được và rút về hệ với (n – 1) hàm

Vd:

(1) (2)

(3)

(3)  y " 3 ' 2  y  y  2 et Tt cấp 2 hệ số hằng

2

=

t

2

Vậy nghiệm hệ đã cho là:

2

2

2







HỆ PTVP TUYẾN TÍNH CẤP 1 HỆ SỐ HẰNG

1 2

( ) ( ) ( )

( )

n

x t

x t

X t

x t





1 2

( ) ( ) ( )

( )

n

x t

x t

X t

x t





1 2

( ) ( ) ( )

( )

n

f t

f t

F t

f t





X’(t) = AX(t) + F(t)

 ij : ma trận vuông cấp n

A  a

(Hệ ẩn hàm )

Cho trước

Vd: ' '( ) 2

1 /

t

t







( ) ( )

( )

x t

X t

y t

0 1

1 3

A    



( )

t t

e

F t

e

   

2

sin



( )

( )

x t

z t



2









PP TRỊ RIÊNG GIẢI HỆ KHÔNG THUẦN NHẤT

X’ = AX + F(t) A chéo hóa được(  P: P -1 AP = D (chéo) ) X’ = AX + F(t)  X’ = PDP -1 X + F(t)  P -1 X’ = DP -1 X + P -1 F(t)

Đặt Y = P -1 X:  Y’ = DY + G(t)























 





Hệ n ptvp tuyến tính cấp 1

X = PY

giải

1 2

2 (1)

3

t

t







0 2

, ( )

1 3

t t

e

e



P      D     

1

(1) Y DY P F t ( )



,

1 2

( )

P F t

                    

2

1 1 1 1

2

2 2 2

2

2

2 1

1 1 3

t t

te C e

         

2

2







Vậy nghiệm (1) là:

Cách tìm ma trận P và ma trận chéo D

Bước 1: tìm nghiệm pt: det(A – I ) = 0 (*)

Bước 2: với mỗi , tìm nghiệm hệ (A – I )P = 0, P 0

• Ma trận P có các cột là các nghiệm cơ bản của các hệ

pt trên.

• Ma trận đường chéo D có các phần tử trên đường

chéo là các  (số lần xuất hiện của mỗi  là số bội của

 trong pt (*)).

•Vị trí của  trên đường chéo tương ứng với vị trí của nghiệm cơ bản trong P.

PPTRỊ RIÊNG TÌM NGHIỆM HỆ THUẦN NHẤT

n n n













 





 

 

 

1 2

n

t t

t













 









1

k

n

t

k k k



X’(t) = AX(t)  Y’ = DY













 P: P -1 AP = D (chéo)

P k kà cột thứ k của P

hệ nghiệm đltt của hệ thuần nhất

k t

là



Định Lý: Hệ X’ = AX(t), ma trận A cĩ n giá trị riêng thực  1 ,  2

…  n (không bắt buộc phân biệt), tương ứng n vectơ riêng P 1 ,

P 2 , … , P n độc lập tuyến tính  Nghiệm tổng quát thuần nhất:

   1  2     

1

n

k



Vd: 1 1 2 3

2 4 4



A

2









1 2

0 6









 





1

( A   I P )  0

1 2 3

1 1 2

2 4 4

p p p

3

p

p



chọn 3

1 1 2

P

 

 



 

 

 

3

1 k k k



6

1

6

6

t t t

x

Cấu trúc nghiệm hệ tt không thuần nhất

X = X 0 + X r

X 0 : nghiệm tổng quát hệ pt thuần nhất

X’(t) = AX(t)

X r : nghiệm riêng hệ pt không thuần nhất Cấu trúc nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất

X 0 = C 1 X 1 + C 2 X 2 + …+ C n X n

{ X k , k = 1, ,n }: hệ nghiệm độc lập tuyến tính của (1)

(1)

PP biến thiên hằng số tìm X r X r = C 1 (t)X 1 + …+ C n (t)X n

C’ 1 (t)X 1 + …+ C’ n (t)X n = F(t)

C i tìm từ hệ pt: