Giải gần đúng phương trình vi phân cấp 2 bằng công thức Euler cải tiến va RungeKutta

2.Phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân cấp 2 bằng công thức Euler cải tiến và công thức Runge – Kutta... 4.1.Code tìm nghiệm chính xác phương trình vi phân cấp 2.. 4.2.Code tìm

1.Giới thiệu đề tài.

Giải gần đúng phương trình vi phân cấp 2:

y” = f(x, y, y’), ∀x ∈ [a,b]

y(a) = α1, y’(a) = α2 Bằng công thức Euler cải tiến va Runge-Kutta:

 Tính nghiệm gần đúng {y1k}, {y2k}

 So sánh với nghiệm chính xác

2.Phương pháp giải gần đúng phương trình vi phân cấp 2 bằng công thức Euler cải tiến và công thức Runge – Kutta.

Đặt y1 = y, y2 = y’

Ta chuyển phương trình vi phân bậc 2 về hệ 2 phương trình vi phân cấp 1:

y’1 = y2

y’2 = f(x, y1, y2)

với điều kiện ban đầu:

y1(a) = α1, y2(a) = α2

Sử dụng công thức Euler cải tiến hoặc công thức Runge – Kutta giải gần đúng phương trình vi phân cấp 2:

 Công thức Euler cải tiến

K11=h*f1(y2(i))

K12=h*f2(x(i),y1(i),y2(i))

K21=h*f1(y2(i)+K12)

K22=h*f2(x(i)+h,y1(i)+K11,y2(i)+K12)

y1(i+1)=y1(i)+(1/2)*(K11+K21)

y2(i+1)=y2(i)+(1/2)*(K12+K22)

 Công thức Runge – Kutta

K11=h*f1(y2(i))

K12=h*f2(x(i),y1(i),y2(i))

K21=h*f1(y2(i)+0.5*K12)

K22=h*f2(x(i)+0.5*h,y1(i)+0.5*K11,y2(i)+0.5*K12)

K31=h*f1(y2(i)+0.5*K22)

K32=h*f2(x(i)+0.5*h,y1(i)+0.5*K21,y2(i)+0.5*K22)

K41=h*f1(y2(i)+K32)

K42=h*f2(x(i)+h,y1(i)+K31,y2(i)+K32)

y1(i+1)=y1(i)+(1/6)*(K11+2*K21+2*K31+K41)

y2(i+1)=y2(i)+(1/6)*(K12+2*K22+2*K32+K42)

3.Các lệnh thường dùng trong Matlab trong vấn đề giải gần đúng phương trình vi phân cấp 2 bằng công thức Euler cải tiến và công thức Runge – Kutta.

 clear; xóa tất cả các biến khỏi vùng làm việc.

 clc; xóa cửa sổ lệnh.

 disp(‘ ’) trình bày nội dung của chuỗi ký tự ra màn hình.

 for biến điều khiển = giá trị đầu : giá trị cuối,

thực hiện công việc;

end

lệnh for : dùng để thực hiện một công việc cần lặp đi lặp lại theo một quy luật, với số bước lặp xác định trước

 format long; hiển thị 14 con số sau dấu chấm

 input(‘’) dùng để nhập vào một giá trị.

 inline() biến đổi chuỗi thành hàm.

4.Code Matlab cơ bản giải quyết đề tài 19.

4.1.Code tìm nghiệm chính xác phương trình vi phân cấp 2.

clear; % xoa tat ca cac bien khoi vung lam viec

clc; % xoa cua so lenh

format long; % hien thi 14 con so sau dau cham

disp(' Nghiem chinh xac phuong trinh vi phan cap 2') % trinh bay noi dung cua chuoi ky tu ra man hinh

h=input('Nhap buoc nhay h= ');

a=input('Nhap diem dau cua khoang cach ly nghiem a= ');

b=input('Nhap diem cuoi cua khoang cach ly nghiem b= ');

Yk=input('Nhap ham chinh xac y(x)= ');

Yk=inline(Yk); %bien doi chuoi thanh ham

Fk=input('Nhap ham chinh xac dao ham cua y(x)= ');

Fk=inline(Fk); %bien doi chuoi thanh ham

n=(b-a)/h; % chia doan [a,b] thanh n doan nho bang nhau

x(1)=a;

for i=1:n

x(i+1)=x(i)+h;

end

for i=1:n+1; % tim nghiem y(i), f(i) tai tung gia tri cua x(i)

y(i)=Yk(x(i));

f(i)=Fk(x(i));

end

disp('BANG GIA TRI') % Trinh bay bang gia tri ra man hinh

disp(' x y f ' )

for i=1:n+1;

disp( [ x(i) , y(i) , f(i) ] )

end

4.2.Code tìm nghiệm gần đúng phương trình vi phân cấp 2 bằng công thức Euler cải tiến.

clear; % xoa tat ca cac bien khoi vung lam viec

clc; % xoa cua so lenh

format long; % hien thi 14 con so sau dau cham

disp('Giai gan dung phuong trinh vi phan cap 2 bang cong thuc EULER CAI

TIEN') % trinh bay noi dung cua chuoi ky tu ra man hinh

f2=input('Nhap ham f2 theo y1 va y2= '); % nhap ham duoi dang chuoi ky tu trong dau ''

f2=inline(f2); % bien doi chuoi f2 thanh ham f2 theo y1,y2

f1=inline('y2'); % bien doi chuoi 'y2' thanh ham f1 theo y2

h=input('Nhap buoc nhay h= ');

y1(1)=input('Nhap gia tri y(a)= '); % y1(a)

y2(1)=input('Nhap gia tri dao ham cua y(a)= '); % y2(a)

a=input('Nhap diem dau cua khoang cach ly nghiem a= ');

b=input('Nhap diem cuoi cua khoang cach ly nghiem b= ');

n=(b-a)/h; % chia doan [a,b] thanh n doan nho bang nhau

x(1)=a;

for i=1:n

x(i+1)=x(i)+h;

end

for i=1:n+1;

K11=h*f1(y2(i)); % cong thuc EULER CAI TIEN

K12=h*f2(x(i),y1(i),y2(i));

K21=h*f1(y2(i)+K12);

K22=h*f2(x(i)+h,y1(i)+K11,y2(i)+K12);

y1(i+1)=y1(i)+(1/2)*(K11+K21);

y2(i+1)=y2(i)+(1/2)*(K12+K22);

end;

disp('BANG GIA TRI') % Trinh bay bang gia tri ra man hinh

disp(' x y1 y2' )

for i=1:n+1;

disp( [ x(i) , y1(i), y2(i)] )

end

4.3.Code so sánh nghiệm gần đúng trong công thức Euler cải tiến với nghiệm chính xác.

clear; % xoa tat ca cac bien khoi vung lam viec

clc; % xoa cua so lenh

format long; % hien thi 14 con so sau dau cham

disp('So sanh nghiem gan dung trong cong thuc EULER CAI TIEN voi NGHIEM CHINH XAC') % trinh bay noi dung cua chuoi ky tu ra man hinh

f2=input('Nhap ham f2 theo y1 va y2= '); % nhap ham duoi dang chuoi ky tu trong dau ''

f2=inline(f2); % bien doi chuoi f2 thanh ham f2 theo y1,y2

f1=inline('y2'); % bien doi chuoi 'y2' thanh ham f1 theo y2

h=input('Nhap buoc nhay h= ');

y1(1)=input('Nhap gia tri y(a)= '); %y 1(a)

y2(1)=input('Nhap gia tri dao ham cua y(a)= '); % y2(a)

a=input('Nhap diem dau cua khoang cach ly nghiem a= ');

b=input('Nhap diem cuoi cua khoang cach ly nghiem b= ');

Yk=input('Nhap ham chinh xac y(x)= ');

Yk=inline(Yk); %bien doi chuoi thanh ham

Fk=input('Nhap ham chinh xac dao ham cua y(x)= ');

Fk=inline(Fk); %bien doi chuoi thanh ham

n=(b-a)/h; % chia doan [a,b] thanh n doan nho bang nhau

x(1)=a;

for i=1:n

x(i+1)=x(i)+h;

end

for i=1:n+1;

K11=h*f1(y2(i)); % cong thuc EULER CAI TIEN

K12=h*f2(x(i),y1(i),y2(i));

K21=h*f1(y2(i)+K12);

K22=h*f2(x(i)+h,y1(i)+K11,y2(i)+K12);

y1(i+1)=y1(i)+(1/2)*(K11+K21);

y2(i+1)=y2(i)+(1/2)*(K12+K22);

end;

for i=1:n+1; % tim nghiem y(i), f(i) tai tung gia tri cua x(i)

y(i)=Yk(x(i));

f(i)=Fk(x(i));

end

disp('BANG GIA TRI') % Trinh bay bang gia tri ra man hinh

disp(' x y y1 f y2' )

for i=1:n+1;

disp( [ x(i) , y(i) , y1(i), f(i) , y2(i)] )

end

4.4.Code tìm nghiệm gần đúng phương trình vi phân cấp 2 bằng công thức Runge

- Kutta.

clear; % xoa tat ca cac bien khoi vung lam viec

clc; % xoa cua so lenh

format long; % hien thi 14 con so sau dau cham

disp('Giai gan dung phuong trinh vi phan cap 2 bang cong thuc RUNGE KUTTA') f2=input('Nhap ham f2 theo y1 va y2='); % nhap ham duoi dang chuoi ky tu trong dau ''

f2=inline(f2); % bien doi chuoi f2 thanh ham f2 theo y1,y2

f1=inline('y2'); % bien doi chuoi 'y2' thanh ham f1 theo y2

h=input('Nhap buoc nhay h= ');

y1(1)=input('Nhap gia tri y(a)= '); % y1(a)

y2(1)=input('Nhap gia tri dao ham cua y(a)= '); % y2(a)

a=input('Nhap diem dau cua khoang cach ly nghiem a= ');

b=input('Nhap diem cuoi cua khoang cach ly nghiem b= ');

n=(b-a)/h; % chia doan [a,b] thanh n doan nho bang nhau

x(1)=a;

for i=1:n

x(i+1)=x(i)+h;

end

for i=1:n+1;

K11=h*f1(y2(i)); % cong thuc RUNGE - KUTTA

K12=h*f2(x(i),y1(i),y2(i));

K21=h*f1(y2(i)+0.5*K12);

K22=h*f2(x(i)+0.5*h,y1(i)+0.5*K11,y2(i)+0.5*K12);

K31=h*f1(y2(i)+0.5*K22);

K32=h*f2(x(i)+0.5*h,y1(i)+0.5*K21,y2(i)+0.5*K22);

K41=h*f1(y2(i)+K32);

K42=h*f2(x(i)+h,y1(i)+K31,y2(i)+K32);

y1(i+1)=y1(i)+(1/6)*(K11+2*K21+2*K31+K41);

y2(i+1)=y2(i)+(1/6)*(K12+2*K22+2*K32+K42);

end;

disp('BANG GIA TRI') % Trinh bay bang gia tri ra man hinh

disp(' x y1 y2')

for i=1:n+1;

disp( [ x(i) , y1(i), y2(i)])

end

4.5.Code so sánh nghiệm gần đúng trong công thức Runge - Kutta với nghiệm chính xác.

clear; % xoa tat ca cac bien khoi vung lam viec

clc; % xoa cua so lenh

format long; % hien thi 14 con so sau dau cham

disp('So sanh nghiem gan dung trong cong thuc RUNGE - KUTTA voi NGHIEM CHINH XAC')

f2=input('Nhap ham f2 theo y1 va y2='); % nhap ham duoi dang chuoi ky tu trong dau ''

f2=inline(f2); % bien doi chuoi f2 thanh ham f2 theo y1,y2

f1=inline('y2'); % bien doi chuoi 'y2' thanh ham f1 theo y2

h=input('Nhap buoc nhay h= ');

y1(1)=input('Nhap gia tri y(a)= '); % y1(a)

y2(1)=input('Nhap gia tri dao ham cua y(a)= '); % y2(a)

a=input('Nhap diem dau cua khoang cach ly nghiem a= ');

b=input('Nhap diem cuoi cua khoang cach ly nghiem b= ');

Yk=input('Nhap ham chinh xac y(x)= ');

Yk=inline(Yk); %bien doi chuoi thanh ham

Fk=input('Nhap ham chinh xac dao ham cua y(x)= ');

Fk=inline(Fk); %bien doi chuoi thanh ham

n=(b-a)/h; % chia doan [a,b] thanh n doan nho bang nhau

x(1)=a;

for i=1:n

x(i+1)=x(i)+h;

end

for i=1:n+1;

K11=h*f1(y2(i)); % cong thuc RUNGE - KUTTA

K12=h*f2(x(i),y1(i),y2(i));

K21=h*f1(y2(i)+0.5*K12);

K22=h*f2(x(i)+0.5*h,y1(i)+0.5*K11,y2(i)+0.5*K12);

K31=h*f1(y2(i)+0.5*K22);

K32=h*f2(x(i)+0.5*h,y1(i)+0.5*K21,y2(i)+0.5*K22);

K41=h*f1(y2(i)+K32);

K42=h*f2(x(i)+h,y1(i)+K31,y2(i)+K32);

y1(i+1)=y1(i)+(1/6)*(K11+2*K21+2*K31+K41);

y2(i+1)=y2(i)+(1/6)*(K12+2*K22+2*K32+K42);

end;

for i=1:n+1; % tim nghiem y(i), f(i) tai tung gia tri cua x(i)

y(i)=Yk(x(i));

f(i)=Fk(x(i));

end

disp('BANG GIA TRI')

disp(' x y y1 f y2')

for i=1:n+1;

disp( [ x(i) , y(i) , y1(i), f(i), y2(i)])

end

5.Ví dụ minh họa.

5.1.(Trích ví dụ 6.6, trang 78, giáo trình phương pháp tính, tác giả Lê Thái Thanh)

Xét phương trình vi phân cấp hai y ’’−2 y ’+2 y=e 2 x sinx , 0 ≤ x ≤ 1 với điều kiện

ban đầu y (0)=−0.4, y '(0)=−0.6 Bước nhảy h=0.1 Nghiệm chính xác

y1(x )=0.2 e 2 x

(sinx−2 cosx), y2(x )= y1'

(x )=0.2 e 2 x

(4 sinx−3 cosx)

Bằng công thức Euler cải tiến va Runge-Kutta:

 Tính nghiệm gần đúng {y1k}, {y2k}

 So sánh với nghiệm chính xác

Giải Tìm nghiệm chính xác phương trình vi phân cấp 2

B1.Nhập code 4.1

B2.Run(F5)

B3.Khai báo:

B4.Ghi nhận kết quả:

Tìm nghiệm gần đúng phương trình vi phân cấp 2 bằng công thức Euler cải tiến

B1.Nhập code 4.2

B2.Run(F5)

B3.Khai báo:

B4.Ghi nhận kết quả:

So sánh nghiệm gần đúng trong công thức Euler cải tiến với nghiệm chính xác

B1.Nhập code 4.3

B2.Run(F5)

B3.Khai báo:

B4.Ghi nhận kết quả:

Tìm nghiệm gần đúng phương trình vi phân cấp 2 bằng công thức Runge - Kutta

B1.Nhập code 4.4

B3.Khai báo:

B4.Ghi nhận kết quả:

So sánh nghiệm gần đúng trong công thức Runge - Kutta với nghiệm chính xác

B1.Nhập code 4.5

B2.Run(F5)

B3.Khai báo:

B4.Ghi nhận kết quả:

5.2.(Trích ví dụ trong bài giảng thầy Trịnh Quốc Lương).

Xét bài toán Cauchy:

y“(x) = (Mx+5) y2(x) – 2My’(x)+1.2x + M, 1≤x

điều kiện ban đầu

y(1) = 1.3M, y’(1) = 1.8M

Dùng công thức Euler cải tiến, xấp xỉ giá trị của hàm y(t) và y’(t) tại điểm x = 1.2 với bước h = 0.2 và M = 2.7

Giải B1.Nhập code 4.2

B2.Run(F5)

B3.Khai báo:

B4.Ghi nhận kết quả:

5.3.(Trích ví dụ trong bài giảng thầy Trịnh Quốc Lương).

Cho phương trình vi phân cấp 2:

y ’’=5 y ’+ x2y +2 M , 1 ≤ x ≤1.6

với điều kiện ban đầu y (1)=0.6 M , y '(1)=0.5 M Bước nhảy h=0.2, M=1.4.

Dùng công thức Euler cải tiến tính gần đúng y (1.2) và y (1.6).

Giải B1.Nhập code 4.2

B2.Run(F5)

B3.Khai báo:

B4.Ghi nhận kết quả:

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Bài giảng chương 6: Giải gần đúng phương trình vi phân, thầy Trịnh Quốc Lương.

2 Giáo trình Phương pháp tính, tác giả Lê Thái Thanh.

3 Các diễn đàn code phương pháp tính

4 Bài báo cáo bài tập lớn phương pháp tính của các anh Bùi Minh

Chung(G0804070), Ngô Minh Dũng (G0804121), Trần Quang

Vũ(G0804811).

5 Tài liệu hướng dẫn ứng dụng nhanh Matlab, tác giả đội “Chúng ta cùng

tiến”.