Tài liệu Phương trình và hệ phương trình đại số nâng cao pdf

Phương trình có ẩn ở mẫu: PP Giải: ðặt ðK mẫu thức khác không.. Ta phá giá trị tuyệt ñối theo ñịnh nghĩa, và giải phương trình trên từng tập con... Ngoài phương pháp biến ñổi tương ñươn

Phương trình và hệ phương trình đại số

nâng cao

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH ðẠI SỐ

* Nhận xét: Phương trình ax + b = 0 có hơn một nghiệm khi và chỉ khi mọi

x là nghiệm, khi và chỉ khi a = b = 0

* Các phương trình chuyển về phương trình ax + b = 0 :

1 Phương trình có ẩn ở mẫu:

PP Giải: ðặt ðK mẫu thức khác không Quy ñồng, bỏ mẫu Giải phương

trình ðối chiếu kết quả với ñiều kiện Kết luận nghiệm

VD1 Giải và biện luận phương trình:

m m

• a ≠0, a ≠0, a ≠b, a ≠- b: x 2

a b

= +

Vấn ñề là ở chỗ, ở cách 1, ta phải giải bất phương trình g x( ) ≥ 0; ở cách 2,

ñể lựa chọn thích hợp

Dạng 3 Nhiều giá trị tuyệt ñối

Ta phá giá trị tuyệt ñối theo ñịnh nghĩa, và giải phương trình trên từng tập con

có nghĩa là sự thay thế, lựa chọn một trong hai, lựa chọn bất phương trình

ñơn giản hơn)

Dạng 2 f x( ) =g x( )

Biến ñổi tương ñương f x( ) =g x( )

2 ( ) ( ) ( ) 0

Dạng 3 Nhiều căn thức không thuộc các dạng trên

Ngoài phương pháp biến ñổi tương ñương nói trên, các phương trình

chuyển về bậc nhất có thể giải bằng cách biến ñổi về tích,ñặt ẩn phụ hay sử

dụng các phương pháp khác (Xem Phương trình không mẫu mực)

VD Giải phương trình: x+ x+ = 1 1 (XBang)

HD Cách 1(Biến ñổi tương ñương):

x+ x+ = ⇔ 1 1 x+ = − 1 1 x

1 5

0

2 1

x x

• ∆= 0 (∆ '= 0): Phương trình có hai nghiệm bằng nhau

x

2

b b

x P

x S

x P

x S

4i) Các dấu hiệu cần, nhiều khi rất cần cho việc xét dấu các nghiệm:

VD Tìm tất cả các giá trị m sao cho phương trình sau có không ít hơn 2

1 0

x +mx +x +mx+ =

HD Thấy ngay x = 0 không thoả phương trình

Suy ra X < -2

Tóm lại phương trình (3) phải có hai nghiệm X1< − < < 2 0 X2

Nếu ñược dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai thì cần và ñủ là:

α β

( ) 0 ( ) 0

2

f f

af af S

α β

α β

Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 2 nghiệm thuộc(α ; +∞):

3.1.4 f(x) có nghiệm thuộc [ ; α +∞ ): Cần và ñủ ñể f(x) có ñúng 1 nghiệm thuộc [ ; α +∞ ) là một trong ba ñiều kiện:

α α

α α

3.2 Nếu không dùng ñịnh lý ñảo về dấu của tam thức bậc hai

•Phương pháp tốt nhất là khảo sát sự biến thiên của hàm số (xem VD ở phần trên)

•Nếu chỉ so sánh nghiệm với một số thực α khác không thì có thể ñặt

a

a P

a a

Cách 2 Không phải khi nào cũng có thể nhận ra X = 2 là một nghiệm của

(2) Nhưng nếu nhận ra ñược thì:

2 2 1

a a a a

•Có thể dùng phương pháp phần bù: Tìm các giá trị tham số ñể phương

trình có nghiệm thì ta tìm các giá trị làm cho phương trình vô nghiệm

VD Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm:

4 3 2

x + x + mx + x+ =

HD Phương trình ñã cho tương ñương với :

i) Phương trình (1) vô nghiệm ⇔ 4 2 − m+ < ⇔ 2 0 m> 3

ii) Phương trình (1) có hai nghiệm thuộc (- 2 ; 2) Trường hợp này không

xảy ra vì

2

b a

hai nghiệm thuộc khoảng (- 2 ; 2) thì

2

b a

Bỏ những m > 3 ta còn tất cả các giá trị cần tìm là m≤ 3

** Bạn nên luôn luôn hướng tới việc dùng ñạo hàm ñể khảo sát phương

trình nếu có thể thì bạn sẽ tránh ñược nhiều rắc rối

Các phương trình chuyển về bậc hai, tương tự như ñã nói về các

Bài 3 Tìm nghiệm (x; y) sao cho y lớn nh ất: 2 2

Giải phương trình khi m = 82

Bài 13 Tìm tất cả các giá trị m ñể phương trình sau có nghiệm:

a

c x

b) Với m tìm ñược ở a), tìm min(x + y)

Bài 2 Cho hệ phương trình:



Với giá trị nào của a rthì hệ có nghiệm (x ; y) thoả 2x + y > 0

Bài 3 Tìm b sao cho với mọi a hệ sau có nghiệm:

Gọi (x; y) là nghiệm Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc a

Bài 7 Cho hệ phương trình:

a) Với b = 0, giải và biện luận hệ theo a và c

b) Tìm b sao cho với mọi a, luôn tìm ñược c ñể hệ có nghiệm

Bài 8 Biết rằng hệ phương trình sau có nghiệm:

b) Chứng minh hệ có nghiệm với mọi m (ðHQuy Nhơn - A99)

Bài 3 Giải và biện luận theo a hệ phương trình:

a) Tìm m ñể hệ có hơn hai nghiệm

b) Giải hệ khi m = 4 (ðHQG Thfố HCM- A97)

Bài 6 Cho biết hệ phương trình sau có nghiệm với mọi b:

Chứng minh a = 0 (ðH Luật HN - A97)

2 Hệ phương trình ñưa ñược về dạng tích

Phương pháp:

Dạng 1

( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ) 0

( , ) ( , ) 0 0 ( , ) 0

( , ) 0 ( , ) 0 ( , ) 0

log ( ) log 2 1 log ( 3 ) log 4( ) log 2 ( 3 )

log ( 1) log (4 2 2 4) log 1 log 4( 1) log (4 2 2 4)

0 0 0

phương trình và do ñó trong hệ phương trình như nhau:

x y xy

xy x y

 + + =

Suy ra nghiệm của hệ ñã cho là: (1,-2); (-2,1); (2,-3); (-3,2)

• Dạng 3 Hệ ñã cho không ñối xứng ñối với x, y nhưng ñối xứng ñối với

Thấy ngay hệ không ñối xứng ñối với x,y

Có thể cảm giác ϕ ( , )x y =x xy( + 1), ( , ) ψ x y = y xy( − 1), tiếc rằng không có ñược ϕ ( , ) ( , )x y ψ x y

Ta biến ñổi hệ tương ñương

1

2 2 2

ñó thôi Như thế nên phải xét hai trường hợp:

2 2

Bài 5 Giải hệ phương trình

(ðH Ngoại Thương A99)

Bài 6 Giải hệ phương trình

2 1.

cho nhau thì phương trình này trở thành phương trình kia và ngược lại Vai trò của x, y trong từng phương trình không như nhau nhưng trong hệ phương trình thì như nhau:

Ta cĩ nghiệm (2; 2)

Tĩm lại, hệ phương trình đã cho cĩ hai nghiệm (0; 0), (2; 2)

VD2 Xác định a < 0 để hệ sau cĩ nghiệm duy nhất

(1) (2)

Bài 3 Giải hệ phương trình

b) Tìm m để hệ cĩ nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đĩ

(ðH Cơng đồn - A99)

Bài 5 Giải hệ phương trình

0 - ∞

Bài 6 Cho hệ phương trình

2 2

2 2

trong ñó f(tx, ty) = tkf(x, y), g(tx, ty) = tkg(x, y) : cùng ñẳng cấp bậc k

F(tx, ty) = tmF(x, y), G(tx, ty) = tmG(x, y) : cùng ñẳng cấp bậc m

PPGiải: Xét x = 0 có phải là nghiệm

***Chú ý: Có thể giải hệ ñã cho theo cách sau:

Hệ ñã cho tương ñương với :

Bài 3 Cho hệ phương trình 2 2

⇒ X 1hay X= = −2 Vậy hệ có 2 nghiệm x 1

Vậy f ñồng biến trên R

Nếu u > v ⇒f(u) > f(v) ⇒ 3v >3 ⇒u v > u ( vô lý )

Tương tự nếu v > u cũng dẫn ñến vô lý

1 3 ln u 1 u 3 u

'

g

2 2

=

Vậy g(u) ñồng biến trên R

Ta có g(0) = 1 Vậy u = 0 là nghiệm duy nhất của (1)

Nhận xét rằng (1) và (3) có cùng biệt số ∆' = a Suy ra a ≥ 0

(2) và (4) ta có 2 - x ≠ - 2 - x với ∀x nên hệ có ắt nhất 4 nghiệm Suy ra a >

Hai ựường thẳng này ựối xứng nhau qua O



1) Tìm tất cả các giá trị của a ựể hệ có hai nghiệm phân biệt

2) Gọi hai nghiệm là (x ; y ), (x ; y )1 1 2 2 là hai nghiệm Chứng minh rằng:

(x - x ) + (y - y ) ≤ 1

HD 1) Trong hệ toạ ựộ đê-các Oxy:

Xem phương trình x + ay - a = 0 là phương trình ựường thẳng d

2) Gọi A, B là các giao ựiểm của ựường tròn I(1

Từ (1)&(2) suy ra các véc tơ a i i( = 1,1980)



cùng phương, cùng hướng, cùng ñộ dài

HD Thấy rằng x = 0 không thoả phương trình thứ hai

2 2

1

6 6

Bài 2 Giải hệ phương trình x2

+ a2 = y2 + b2 =(x - b)2 + (y - b)2 (Bộ ñề thi TS)

Bài 3 Cho hệ phương trình

3 2 3 2

Chứng minh hệ có nghiệm duy nhất khi a > 0 Còn ñúng không khi a < 0 ?

Bài 4 Giải hệ phương trình



(ðH Công ðoàn - A2000)

Bài 14 Tìm tất cả các giá trị m ñể hệ sau có hai nghiệm phân biệt:

7 7

VII Phương trình lượng giác (Xem phương trình lượng giác)

VIII Phương trình vô tỷ

3 Biến ñổi tương ñương các phương trình

(xem các phương trình chuyển về phương trình bậc nhất)

4 Các phương trình vô tỷ không mẫu mực

(Xem phương trình không mẫu mực)

VD1 Giải phương trình 2009 2 2009 2 2009 2

2 (1 + x) + 3 1 - x + (1 - x) = 0

t = - 2

Bài 4 Giải và biện luận theo a phương trình: a+x= −a a−x

Bài 5 Giải phương trình: 2(1 - x) 2 2

Bài 8 Giải phương trình: 2 2

(ðHThương Mại - A98)

Bài 9 Giải phương trình: 2 2

3 − +x x + 2 + −x x = 1 (ðHNgoại Thương - A99)

Bài 10 Giải phương trình: x+ 2x− + 1 x− 2x− = 1 2

(ðHQuy Nhơn - A99)

Bài 11 Giải và biện luận theo a phương trình:

nghiÖm thùc ph©n biÖt: 4 2x + 2x + 6 - x + 6 - x = m ( m 4 ∈ R)

Bài 20 A2007 Tìm m để phương ttrình sau có nghiệm thực

3 x - 1 + m x + 1 = 2 x - 1

Bài 21 B2007 Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m,

phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:

=

ư

ư

1 xy x

0 m y x 2

2 Giải hệ trờn từng tập con của tập xỏc ủịnh

3 Biến ủổi tương ủương

4 Sử dụng cỏc phương phỏp giải phương trỡnh khụng mẫu mực

2 1

2u + - u - m + 2 = 0 4u - 2u - 2m + 5 = 0 (4") 2

2

1 21 4u - 2u - 5 = 0

4

u v

1 21

1 4

b) Gi¶i vµ biÖn luËn theo m:

khi vµ chØ khi (4”) cã hai nghiÖm kh«ng ©m:

VD5 Giải hệ phương trỡnh:

12

3 12

Suy ra f(t) đồng biến trên [1; + ∞)

(3) ⇔ f(u) = f(v); ∀u, v ∈ [1; + ∞) ⇔ u = v Thay vào (1):

u + 2 1 - u - 1 = u ⇔ u − u + 2 1 + u - 1 = 0 (4) Thấy rằng u = 2 thoả (4)

g (u ) = u − u + 2 1 + u - 1, u ≥ 1

g(u) liên tục phải tại u = 1 nên đồng biến trên [1; + ∞)

Suy ra u = 2 là nghiệm duy nhất của (4)

Vậy u = v = 2 là nghiệm của hệ (1)&(2) hay x = y = 1 là nghiệm của hệ đ6

x 2007 e

1 y

y 2007 e

2 y

2 x

= +

⇔

2007 x

g y f

2007 y

g x

x e

x

− +

2

3 2

1 x

1 e

x '

Vậy h(x) liờn tục và cú ủồ thị là ủường cong lừm trờn (1, +∞)

Do ủú ủể chứng minh (2) cú 2 nghiệm dương ta chỉ cần chứng minh tồn tại x0 > 1 mà h(x0) < 0

3

Suy ra: h(x) = 0 có ñúng 2 nghiệm x1 > 1, x2 > 1

−

−

1 xy x

0 m y x 2

có nghiệm duy nhất

Bài 15 A2006 Gi¶i hệ ph−¬ng tr×nh x + y - xy = 3