Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên.. TÝnh c¸c gãc cña OIB.[r]
Trang 1UBND huyện Đông Hng Đề kiểm tra chọn nguồn HSG Môn Toán lớp 8
Phòng Giáo dục năm học 2005-2006
(Thời gian làm bài 90 phút)
Đề bài
Câu 1( 5điểm ) : Cho A=¿ [ x +7
x +9+(
x+7
x2+81 −18 x+
x +5
x2−81)¿:
x+7
x +9
a Rút gọn A
b Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
Câu 2 (6điểm ) Chứng minh rằng :
a Nếu (a+b +c)2 = 3.(ab + bc +ca) thì a = b = c
b Nếu 2 y +2 z− x
2 z +2 x − y
2 x+2 y − z c
và (a ; b ; c ; 2b + 2c –a ; 2c +2a – b ; 2a + 2b – c đều khác 0)
Thì x
2 b+2c −a=
y
2 c +2 a −b=
z
2 a+2 b − c
Câu 3( 3điểm) Giải phơng trình :
|x − 2005|2005+ |x −2006|2006=1
Câu 4( 4điểm ) :
Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E sao cho
BD = CE Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD
a Chứng minh : AOB KOI
b Tính các góc của OIB
Câu 5( 2điểm) :
Cho hình thang ABCD(AB//CD) , Giao điểm hai đờng chéo là O Đờng thẳng qua O song song với AB, cắt AD và BC lần lợt tại M và N Chứng minh : 1
AB +
1
CD=
2 MN
đáp án , biểu điểm môn toán lớp 8 chọn nguồn HSG
Câu 1 (5điểm)
a.(2,5điểm) Rút gọn A
=
x − 9¿2
¿
¿ :x +7
x +9
x +7
x +9+
x+7
¿
¿
( 0,5diểm)
= (x+7 x+9+
x +7 ( x+ 3)2+
( x+5 )( x −9 ) ( x+ 9) ( x+3 )2):x+7
Trang 2= (x +7)(x +3)2+ (x+ 7) (x + 9) + (x+5)(x −9)
(x+ 9)(x +3)2 :x +7
= (x +7 )( x +3)
2
+x2+16 x +63+x2− 4 x − 45 ( x +9 )( x +3)2 : x+7
= (x +7)(x +3)2+2 (x +3)2
(x +9) (x+3)2 :x +7
= (x +3)
2
( x+ 9)
(x +9 )( x +3)2⋅ x+9
= x +9
b.(2,5 điểm) Tìm các số nguyên x để A có giá trị là số nguyên
ĐK : x ≠ ± 9 ; x ≠ −3 ; x ≠ −7 (0,5điểm)
A = x +9
x +7 = 1 +
2
Để A nguyên thì 2
x +7 nguyên => Do x là số nguyên => x + 7 là ớc của 2 ; 2 = (
±1 ; ± 2 ) (0,5điểm)
trị là số nguyên (0,5điểm)
Câu 2 (6điểm)
a.(2,5 điểm) Chứng minh rằng : Nếu (a+b +c)2 = 3.(ab + bc +ca)
Thì a = b = c
(a+b +c )2 = 3.(ab + bc +ca) (0,5điểm)
=> 2a2 + 2b2 + 2c2 + 4ab + 4bc + 4ca = 6ab + 6bc + 6ca (0,5điểm) => 2a2 + 2b2 + 2c2 - 2ab – 2bc – 2ca = 0 (0,5điểm)
b.(3,5 điểm) Chứng minh rằng nếu 2 y +2 z − x
2 z +2 x − y
2 x+2 y − z c
Và a ; b ; c ; 2b + 2c –a ; 2c +2a – b ; 2a + 2b – c đều khác 0
Thì x
2 b+2c −a=
y
2 c +2 a −b=
z
2 a+2 b − c
Đặt : 2 y +2 z − x
2 z +2 x − y
2 x+2 y − z
=> 4 y +4 z − 2 x
4 z +4 x −2 y
2 x +2 y − z
=> 4 y +4 z − 2 x +4 z +4 x − 2 y −2 x − 2 y +z
=> 9 z
2 a+2b − c=k =>
z
2 a+2b − c=
k
Trang 3E D
K
O
I
Tơng tự : Đặt 2 x +2 y − z
2 y+2 z − x
2 z+2 x − y
=> 4 x +4 y −2 z
4 y +4 z − 2 x
2 z +2 x − y
=> 4 x +4 y −2 z +4 y+4 z −2 x −2 z − 2 x + y
=> 9 y
2 c +2 a −b=k =>
y
2 c +2 a −b=
k
Tơng tự ta có : x
2 b+2c −a=
k
Từ (*) ; (**) ; (***) => x
2 b+2c −a=
y
2 c +2 a −b=
z
2 a+2 b − c (0,5điểm)
Câu 3( 3đ) : Giải phơng trình |x − 2005|2005+ |x −2006|2006=1
x = 2005 ; x = 2006 Giá trị vế trái bằng giá trị vế phải và bằng 1 Vậy nghiệm của phơng trình là x1 = 2005 ; x2 = 2006 (0,5điểm)
Ta xét các trờng hợp sau :
* Nếu x < 2005 thì |x − 2005| > 0 và |x − 2006| > 1
do đó |x − 2005|2005+ |x −2006|2006 > 1 (0,5điểm)
* Nếu x > 2006 thì |x − 2005| > 1và |x − 2006| > 0
do đó |x − 2005|2005+ |x −2006|2006 > 1 (0,5điểm)
* Nếu 2005 < x < 2006 thì 0 < x – 2005 < 1
-1 < x – 2006 < 0
=> |x − 2005|2005 < |x − 2005| = x – 2005
|x − 2006|2006 < |x − 2006| = 2006 - x (0,5điểm)
=> |x − 2005|2005+ |x −2006|2006 < x – 2005 + 2006 – x = 1
Vậy Phơng trình chỉ có hai nghiệm là x1 = 2005 ; x2 = 2006 (0,5điểm)
Câu 4( 4đ ) : Cho ABC đều, trên cạnh AB lấy điểm D, trên cạnh AC lấy điểm E
sao cho BD = CE Gọi O là trọng tâm của ADE, EO cắt AB tại K, I là trung điểm của CD
a Chứng minh : AOB KOI
b Tính các góc của OIB
ABC (AB = BC = CD)
D AB ; E AC
BD = CE ; O – trọng tâm của ADE
EO x A = K ; ID = IC
a Chứng minh : AOB KOI
b Tính các góc của OIB
(Vẽ hình , ghi GT + KL đúng cho 0,5 điểm)
a ) Chứng minh : AOB KOI(2 điểm)
Chứng minh KI là đờng trung bình của tam giác ADC => KI//AC (0,5 điểm)
=> I ^ K E=K ^ E A=300=O ^A K (3) và KI= 1
2 AC=
1
2 AB (4) (0,5
điểm)
Trang 4CM tam giác AOK vuông ở K và có O ^ A K =300 => OK= 1
2 OA (5) (0,5
điểm)
Từ (3), (4), (5) có Δ OAB đồng dạng với Δ OKI (c,g,c) (0,5
điểm)
b) Tính các góc của OIB(1,5 điểm)
Từ Δ OAB đồng dạng với Δ OKI=> A ^ O B=K ^ O I và OK
OA=
OI
OB (0,25
điểm)
Từ đó chứng minh đợc: K ^ O A=B ^ O I và OK
OI =
OA
=> Δ KOA đồng dạng với Δ IOB (c,g,c) (0,5
điểm)
=> Tính đợc O ^I B=900;O ^B I=300;B ^ O I=600 (0,5 điểm)
Câu 5(2điểm)
ABCD(AB//CD) A B
GT AC x BD = O M N
KL 1
AB +
1
CD=
2
MN D C (Vẽ hình, ghi GT + KL đúng cho 0, 5 điiểm)
Chứng minh : 1
AB+
1
CD=
2 MN
MN // AB //CD = > Theo Đ/Lý TaLét ta có :
MO
CD =
AM
AD ;
MO
AB =
DM
DA =>
MO
CD +
MO
AB =
AM
AD +
DM
AD =
AM+DM
AD
AD=1 (0,5
điểm)
Tơng tự : NO
CD+
NO
AB =1 (0,25 điểm) Vậy MO+NO
MO+NO
AB = 2 <=>
MN
CD +
MN
AB =2 (0,5
điểm)
Chia cả 2 vế cho MN => 1
AB+
1
CD=
2
MN Điều phải chứng minh (0,25 điểm)